Exercice E.20. SoitEun espace euclidien de dimensionn≥2, muni d’une base orthonor-méeB. Montrer queSO(E) est engendré par les rotations sur les plans de coordonnées de la baseB(valant l’identité sur l’orthogonal de ces plans). Montrer queSO(E)est engendré par les rotations sur le premier plan de coordonnées de la baseBet les permutations paires de la baseB.
Exercice E.21. SoitE un espace euclidien de dimension n≥2.
(1) Montrer que le groupe spécial orthogonalSO(E)deE agit transitivement sur l’en-semble descroix orthogonales, c’est-à-dire desn-uplets de droites deux à deux orthogonales.
(2) SupposonsE orienté, muni de son produit vectoriel. Montrer que G=
u∈GL(E) : ∀x1, . . . , xn−1∈E, u(x1∧ · · · ∧xn−1) =u(x1)∧ · · · ∧u(xn−1) . est un sous-groupe de GL(E)et que G= SO(E).
Exercice E.22. Montrer qu’une matrice antisymétrique réelleSne peut avoir pour valeur propre−1. Montrer que(I−S)(I+S)−1 est une matrice spéciale orthogonale. En déduire que SO(n)est connexe.
Exercice E.23. SoientE un espace hermitien de dimension finie, etu∈L(E). Montrer que uest trigonalisable en base orthonormée.
Exercice E.24. Dans l’espace euclidien usuel Rn, identifions tout vecteur au vecteur colonne de ses coordonnées dans la base canonique. SoientA une matrice réelle inversible n×n, dont toutes les valeurs propres sont réelles, notées λ1, . . . , λn de sorte que
|λ1| ≥ |λ2| ≥ · · · ≥ |λn|>0. (1) Montrer que
λ21λ22 ≤ sup
kxk≤1,kyk≤1
hAx, Axi hAx, Ayi hAx, Ayi hAy, Ayi
(2) Soient µ1, . . . , µn les racines carrées des valeurs propres de tAAde sorte que55 µ1≥µ2 ≥ · · · ≥µn>0.
Montrer que |λ1λ2| ≤µ1µ2.
55. Notons queµ1, . . . , µnsont les valeurs singulières de la matrice inversibleA, voir la partie1.10.
2.7 Indications pour la résolution des exercices
Correction de l’exerciceE.20. Soitu∈SO(E), montrons qu’il est produit de rotations sur les plans de coordonnées de la baseB. Raisonnons par récurrence surn≥2, le résultat étant immédiat pour n= 2.
Notons B = (e1, . . . , en). Soient λ1, . . . , λn ∈ R tels que u(e1) = Pn
i=1λi ei. Soit k∈ {1, . . . , n}tel que λk6= 0 etλi = 0 sik < i≤n.
Montrons par récurrence sur k que nous pouvons supposer que k = 1 quitte à post-composer u par des rotations sur des plans de coordonnées. En effet, si k≥2, soit r une rotation du plan de coordonnées Vect{ek−1, ek} telle que r(λk−1 ek−1+λk ek) ∈ Rek−1, qui existe puisque les rotations d’un plan euclidien agissent transitivement sur les droites vectorielles de ce plan. Alors postcomposer par la rotation d’angle π sur le premier plan de coordonnée, nous pouvons donc supposer que u(e1) = e1. Comme u est orthogonal, il préserve alors l’hyperplan e⊥1 orthogonal à e1 (voir la remarque (1) de la partie 1.5), et la restriction v de u à e⊥1 appartient à SO(e⊥1). Par récurrence, v est une composition de rotations sur les plans de coordonnées de la base (e2, . . . , en) de e⊥1. En les étendant par l’identité sur Re1, nous obtenons donc que u est une composition de rotations sur les plans de coordonnées deB. La dernière affirmation découle du fait que le groupe des permutations paires deBagit transitivement sur les plans de coordonnées, et donc que toute rotation dans un plan de coordonnées est conjugué par une permutation paire de B à une rotation sur le premier plan de coordonnées de B.
Correction de l’exercice E.19. (1) En écrivantx∈R3 comme somme d’un vecteur x0 colinéaire à ~net d’un vecteurx00 orthogonal à~n, nous avons par définition
R~n, ψ(x) =x0+ (cosψ)x00+ (sinψ)~n∧x00 La première formule en découle.
En utilisant les relations~n∧x0 = 0 et, pour tous les a, b, c∈R3, a∧(b∧c) =ha, cib− ha, bic ,
(voir l’exerciceE.12), la dernière formule (25) en découle.
(2) Cette assertion découle de la formule (25) en prenant pour(~n, x)les divers couples d’éléments de {e1, e2, e3}.
(3) Par l’assertion (1), l’application linéaire dψd
|ψ=0R~n(ψ)est égal àx7→~n∧x. Un petit calcul56montre que cette application a pour matriceP3
k=1nkηk. Puisque ψ7→R~n(ψ)est
56. Rappelons (voir l’exercice E.12) que
un sous-groupe à un paramètre deGL3(R), la proposition 3.4(6) montre que R~n(ψ) = exp
ψ
3
X
k=1
nkηk
.
Ceci montre le résultat.57
Correction de l’exercice E.21. (1) Puisque le groupe orthogonalO(E)agit transitive-ment sur l’ensemble des bases orthonormées, il agit transitivetransitive-ment sur l’ensemble des croix orthogonales. Comme il est possible de changer un vecteur de base par son opposé, l’action de SO(E) est aussi transitive.
(2) Il est immédiat de vérifier queGest un sous-groupe de GL(E).
Soitu∈SO(E). Puisquedetu= 1, nous avons, pour tous les x1, . . . , xn−1, z∈E, hu(x1)∧ · · · ∧u(xn−1), zi= det(u(x1), . . . , u(xn−1), z) = (detu) det(x1, . . . , xn−1, u−1(z))
=hx1∧ · · · ∧xn−1, u−1(z)i=hu(x1∧ · · · ∧xn−1), zi.
Puisque ceci est vrai pour tout z et par la définition du produit vectoriel (voir la formule (22)), nous avons donc u(x1)∧ · · · ∧u(xn−1) =u(x1∧ · · · ∧xn−1) pour tous les éléments x1, . . . , xn−1 ∈E, etu∈SO(E).
Réciproquement, soitu∈G. Pour toute droite (vectorielle)D de E, puisqueu appar-tient àGL(E), nous avons queu(D)etu(D⊥)⊥sont des droites deE. De plus, tout élément non nul de u(D) s’écrit commeu(x1∧ · · · ∧xn−1) avecx1, . . . , xn−1 des éléments linéaire-ment indépendants de l’hyperplanD⊥. Donc il s’écrit de la formeu(x1)∧ · · · ∧u(xn−1)avec u(x1), . . . , u(xn−1) des éléments deu(D⊥). Par conséquent (voir la proposition 1.24(iii)), u(D)est contenu dans(u(D⊥))⊥, avec égalité par argument de dimension. Fixons-nous une croix orthogonale C0. Comme toute droite d’une croix orthogonale est l’intersection des n−1hyperplans orthogonaux aux autres droites de cette croix, le groupeGenvoie la croix orthogonale C0 sur une autre croix orthogonale. Puisque le groupe SO(E) agit transitive-ment sur les croix orthogonales par l’assertion (1), et puisqueGest un groupe qui contient SO(E), quitte à précomposer u par un élément de SO(E), nous pouvons supposer que u fixe la croix orthogonale C0. Dans une base orthonormée positive (e1, . . . en) de vecteurs de la croix orthogonale C0, la matrice de u est donc diagonale. Si λ1, . . . , λn ∈ R− {0}
sont ses coefficients diagonaux, nous avons l’égalitée1∧ · · · ∧en−1 =en (voir la proposition 1.24 (iv)), ainsi que ses permutations cycliques. Nous avons donc
λnen=u(en) =u(e1∧ · · · ∧en−1) =u(e1)∧ · · · ∧u(en−1)
= (λ1. . . λn−1)e1∧ · · · ∧en−1= (λ1. . . λn−1)en.
57. Il possible d’utiliser les matrices J1 = i η1, J2 = i η2, J3 = i η3, qui sont hermitiennes, au lieu des matricesη1, η2, η3. Cette utilisation est due aux physiciens, qui préfèrent travailler avec des matrices hermitiennes plutôt qu’avec des matrices antihermitiennes. Ceci fait aussi apparaître une analogie avec l’expression des rotations dans le plan euclidien orienté usuel, qui sont les applications linéairesz7→eiθz de multiplication pareiθ pourθ∈R: nous avons
R~n(ψ) = exp
−i ψ
3
X
k=1
nkJk
.
Donc λ1. . . λn−1 = λn et de même par permutations cycliques. En prenant les rapports des équations consécutives, ceci montre que les λ21 = · · · = λ2n, donc que les λi sont des racines de l’unité. Puisqu’elles sont réelles, elles ne peuvent être que ±1. Donc u∈ O(E) etdetu=λ1. . . λn−1λn=λ2n= 1. Ceci montre queu∈SO(E).
Correction de l’exercice E.23. Puisque le polynôme caractéristique deuest scindé sur C, l’endomorphisme u est trigonalisable. Soit(f1, . . . , fn) une base de E dans laquelle la matrice deuest triangulaire supérieure. Soit(e1, . . . , en)la base orthonormée deEobtenue par le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt. Puisque
Vect{e1, . . . , ek}= Vect{f1, . . . , fk}
pourk= 1, . . . , n, la matrice deudans la base(e1, . . . , en)est aussi triangulaire supérieure.
3 Groupes unitaires définis positifs
Dans cette partie, le corps de base est C, muni de son automorphisme involutif de corpsz7→z. Soientn∈NetE un espace hermitien de dimensionn, de forme quadratique hermitienne (de signature (0, n)), de norme et de produit scalaire notés respectivementq, x7→ kxket(x, y)7→ hx, yi. Une référence générale pour cette partie est [MT].
3.1 Propriétés de transitivité
Appelons suite orthonormée dansE une suite finie (x1, . . . , xk), oùk∈N, d’éléments de E, de norme1 et deux à deux orthogonaux.
Proposition 3.1. Pour tout k = 0, . . . , n, l’action diagonale de U(q) sur l’ensemble des suites orthonormées à k éléments deE est transitive, et simplement transitive si k=n.
Si k < n, l’action de SU(q) sur l’ensemble des suites orthonormées à kéléments de E est transitive.
Pour tout k = 0, . . . , n, le groupe SU(q) agit transitivement sur l’ensemble des sous-espaces vectoriels de E de dimension k.
En particulier, l’action deU(n) sur la sphère unité
S2n−1={(z1, . . . , zn)∈Cn:|z1|2+. . .|zn|2 = 1}
de l’espace hermitien standard Cn est transitive, ainsi que celle de SU(n) si n ≥ 2. Par contre SU(1)est trivial, donc n’agit pas transitivement sur le cercleS1.
Démonstration. La dernière affirmation lorsque k < n découle de l’avant-dernière, en prenant des bases orthonormées. Elle est immédiate lorsquek=n.
Il est immédiat que l’image d’une suite orthonormée deE par un élément deU(n) est encore une suite orthonormée. Puisque l’action deGL(E)sur l’ensemble des bases deEest simplement transitive, et puisqu’être une isométrie deqse vérifie sur les couples de vecteurs de n’importe quelle base de E, l’action deU(q) sur l’ensemble des bases orthonormées est simplement transitive.
Toute suite orthonormée à k éléments se complète en une base orthonormée de E, en lui concaténant une base orthonormée de son orthogonal. Donc l’action de U(q) sur l’ensemble des suites orthonormées à k éléments est transitive. Sik < n, il est possible de modifier l’action d’un élémentg∈U(q)sur le dernier élément d’une base orthonormée par un nombre complexe de module 1 pour obtenir un élément de SU(q) qui coïncide avec g sur lesn−1premiers éléments. Ceci montre que l’action deSU(q)sur l’ensemble des suites
orthonormées à k éléments est transitive sik < n.