3.5 Traitement des donn´ ees
3.5.3 Proc´ edure d’ajustement des pics γ
Dans ce paragraphe on va d´efinir la proc´edure d’ajustement des pics γ la mieux adapt´ee dans le but de d´eterminer l’efficacit´e du d´etecteur aux ´energies caract´eristiques du rayon- nement γ ´emis par le 60Co.
Fonction d’ajustement :
Le programme d’ajustement gf3 [52] est con¸cu principalement pour l’analyse des spectres de rayonnement γ `a l’aide de d´etecteurs HPGe. Il permet d’ajuster jusqu’`a 15 pics simultan´ement avec un bruit de fond simul´e `a l’aide d’une droite, d’un polynˆome de degr´e deux ou bien d’une fonction en « marche d’escalier ». La fonction d’ajustement de chaque pic est compos´ee de :
– une gaussienne : un photopic r´esulte d’une collection compl`ete par le d´etecteur de la charge ´electrique associ´ee `a un ´ev´enement photo´electrique, dont la valeur se distribue de mani`ere gaussienne autour d’une valeur moyenne x0. L’´ecart type de la distribution gaussienne est le reflet de la r´esolution intrins`eque du d´etecteur et du
bruit ´electronique associ´e `a la chaˆıne de traitement ´electronique du signal (depuis le pr´eamplificateur de charge associ´e au d´etecteur jusqu’au module de codage),
Y1(x) = constante × e
(x−x0)2
2σ2 (3.11)
– une gaussienne asym´etrique : elle permet de reproduire une collection incompl`ete de la charge ´electrique dans le d´etecteur, une fraction de la charge ´etant pi´eg´ee par des dislocations du r´eseau cristallin du d´etecteur. Elles peuvent ˆetre dues `a des impuret´es ou `a des dommages caus´es par des neutrons par exemple. Si le d´etecteur ´
etait caract´eris´e par une r´esolution parfaite et si la chaˆıne ´electronique de traitement du signal du d´etecteur ne pr´esentait pas de bruit, la partie gaussienne serait une fonction delta et la gaussienne asym´etrique une traˆıne exponentielle `a basse ´energie. La gaussienne asym´etrique est donn´ee par la fonction suivante :
Y2(x) = constante × e x−p β × ERF C (x − p) × p4ln(2) W + W p(16ln(2)) × β ! (3.12) avec ERFC : la fonction d’erreur compl´ementaire, x le num´ero de canal, p le centre de la partie gaussienne de distribution, W la largeur `a mi-hauteur de la partie gaussienne de la distribution et β la largeur de la traˆıne exponentielle,
– le bruit de fond associ´e `a la d´etection de raies γ ´emises par l’environnement ainsi qu’aux ´ev`enements de diffusion Compton est approxim´e par une droite de pente B sous le photopic :
Y3(x) = A + B × x (3.13)
Ces trois composantes de la fonction d’ajustement sont illustr´ees dans la figure 3.10.
Fig. 3.10 – La figure pr´esente les diff´erentes composantes de l’ajustement d’un pic γ au moyen du programme gf3 : une gaussienne sym´etrique, une gaussienne asym´etrique et le bruit de fond (une fonction en marche d’escalier dans cette illustration).
Dans le paragraphe qui suit on d´etaillera les diff´erentes ´etapes permettant de trouver les valeurs les mieux appropri´ees des param`etres d’ajustement des pics.
Choix des param`etres d’ajustement :
Les param`etres libres de la fonction d’ajustement sont :
– la hauteur du pic H, sa largeur `a mi-hauteur W et son centre p,
– la hauteur de la gaussienne asym´etrique par rapport au pic R ainsi que sa largeur β,
– les param`etres de bruit de fond : une droite caract´eris´ee par les coefficients A et B. Les deux param`etres H et R sont fonctions des constantes apparaissant dans les ´equations 3.11 et 3.12. En lib´erant tous les param`etres `a la fois, l’ajustement ne converge pas pour certains pic. Il faut donc fixer certains param`etres `a des valeurs moyennes qui seront va- lables pour l’ajustement des deux pics γ associ´es `a la d´ecroissance de 60Co. On ne peut pas fixer les param`etres d´ecrivant le bruit de fond (A, B ) ni les param`etres d´ecrivant les pics (H, W, p) parce qu’ils d´ependent de l’´energie et de l’intensit´e des pics. Les seuls param`etres que l’on peut fixer sont ainsi R et β, les param`etres d´ecrivant la gaussienne asym´etrique.
La premi`ere ´etape de l’ajustement consiste `a d´eterminer des valeurs repr´esentatives de ces deux param`etres, `a fixer l’un et/ou l’autre, et `a calculer ensuite les incertitudes syst´ematiques associ´ees `a cette proc´edure. Pour cela on commence d’abord par s´electionner les pics du bruit de fond pour caract´eriser la r´eponse du d´etecteur sur une large gamme d’´energies. Comme on le voit dans la figure 3.11, la majorit´e des pics associ´es au bruit de fond pr´esente une largeur `a mi-hauteur raisonnable (entre 3 et 5 keV), qui en premi`ere approximation varie lin´eairement par rapport `a l’´energie de la raie γ d´etect´ee [53]. Ce
(keV)
γ
E
0 500 1000 1500 2000 2500
Largeur à mi-hauteur (keV)
2.5 3 3.5 4 4.5 5 + 3.12(1) γ *E -4 W = 5.3(1)10
Fig. 3.11 – Variation en fonction de l’´energie de la largeur `a mi-hauteur des pics associ´es au bruit de fond. La plupart des points se r´epartissent comme attendus suivant une droite. test a ´et´e effectu´e pour toutes les donn´ees obtenues avec les deux amplificateurs afin de s’assurer que la r´esolution en ´energie est rest´ee la mˆeme pendant toute la dur´ee du test. La largeur `a mi-hauteur des pics ´etudi´es (W ) sera par la suite fix´ee suivant l’´equation
obtenue avec l’ajustement des donn´ees s´electionn´ees :
W = 5,310−4× Eγ+ 3,12 keV (3.14)
Choix du param`etre R : Parmi les pics de bruit de fond qui pr´esentent une largeur `a mi-hauteur acceptable, selon la figure 3.11, on a choisi ceux qui sont les plus intenses : les pics `a 662 keV, 911 keV, 1461 keV et 2615 keV associ´es respectivement la d´ecroissance de 137Cs,228Ac,40K et208Tl. On fixe ensuite, pour les donn´ees issues des deux amplificateurs, certains des param`etres d’ajustement des pics : la largeur `a mi-hauteur (obtenue d’apr`es l’ajustement effectu´e pr´ec´edemment) et la largeur de la gaussienne asym´etrique β qui est arbitrairement fix´ee `a 1 keV. La variation de R en fonction de l’´energie pour les donn´ees de l’amplificateur `a seuil automatique de d´etection d’empilement est pr´esent´ee dans la figure 3.12 pour une mesure donn´ee.
La figure montre que R augmente lin´eairement avec l’´energie du rayonnement γ d´etect´e. Cette augmentation lin´eaire traduit un d´efaut de collection de charge proportionnel `a la charge totale collect´ee. La mˆeme d´ependance lin´eaire est obtenue pour les donn´ees issues de l’amplificateur pour lequel le mode de rejet d’empilement est op´er´e manuellement. Les valeurs de R obtenues pour les deux pics de 60Co sont donn´ees dans le tableau 3.1. Par la suite on a d´ecid´e de fixer R `a une valeur moyenne arbitraire de 15 pour les deux pics observ´es dans la d´ecroissance de 60Co, ind´ependamment du mode de rejet d’empilement. Ce choix engendrera une incertitude syst´ematique sur l’ajustement des pics que l’on va estimer ult´erieurement.
(keV) γ E 500 1000 1500 2000 2500 R 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 - 15.7(2) γ *E -2 R = 2.15(1)10
Fig. 3.12 – La figure pr´esente pour les donn´ees prises avec l’amplificateur `a seuil automa- tique de d´etection de l’empilement la variation de la hauteur de la gaussienne asym´etrique (param`etre R) par rapport `a la gaussienne sym´etrique pour les pics principaux associ´es `
a la d´ecroissance de 137Cs, 228Ac,40K et208Tl. La largeur de la gaussienne asym´etrique a ´
et´e fix´ee arbitrairement `a 1 keV et la largeur `a mi-hauteur du pic total a ´et´e fix´ee suivant la valeur attendue d’apr`es l’´equation 3.14.
Amplificateur R(1173 keV) R(1332 keV)
A1 10 13
A2 14 17
Tab. 3.1 – Valeurs de la hauteur de la gaussienne asym´etrique pour les deux pics observ´es dans la d´ecroissance de 60Co obtenues avec l’amplificateur `a seuil automatique (A1) et manuel (A2).
Choix du param`etre β : Pour ´etudier l’influence du param`etre β, on fixe pour les mˆemes pics de bruit de fond associ´es `a 137Cs, 228Ac et 208Tl, le param`etre R `a 15 et la largeur `a mi-hauteur des pics d’apr`es l’´equation 3.14. La variation de β en fonction de l’´energie pour les donn´ees de l’amplificateur `a seuil automatique de d´etection d’empilement est pr´esent´ee dans la figure 3.13 pour une mesure donn´ee.
(keV) γ E 500 1000 1500 2000 2500 β 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -2 + 2(2)10 γ *E -4 = 6.20(9)10 β
Fig. 3.13 – Variation de la largeur de la gaussienne asym´etrique β en fonction de l’´energie pour les trois pics de bruit de fond les plus intenses associ´es `a 137Cs, 228Ac et 208Tl, pour une mesure donn´ee. La hauteur de la gaussienne asym´etrique par rapport `a la gaussienne sym´etrique est fix´ee arbitrairement `a 15.
Les valeurs de la largeur de la gaussienne asym´etrique pour les deux amplificateurs sont donn´ees dans le tableau 3.2. Elles sont proches de 1 keV. Une d´ependance lin´eaire de β en fonction de l’´energie est attendue du fait de la forte corr´elation entre la largeur de la gaussienne asym´etrique et de sa hauteur R. C’est ce qui est apparaˆıt dans la figure 3.14, qui montre la variation de β en fonction de l’´energie pour trois valeurs diff´erentes de R, fix´e `a 1, 10 et 20 pour les pics associ´es au bruit de fond consid´er´es pr´ec´edemment. La figure 3.14 montre que la valeur de β `a une ´energie donn´ee d´epend de la valeur de R choisie, par exemple pour une ´energie de 2500 keV, la valeur de β varie d’un facteur 7 suivant que R est fix´e `a 1 ou `a 20. Du fait de la forte corr´elation entre R et β, on ne peut ni les lib´erer ni les fixer simultan´ement lors de l’ajustement. Compte tenu des r´esultats
Amplificateur β (1173 keV) β (1332 keV)
A1 0,7 0,8
A2 0,7 0,8
Tab. 3.2 – Valeurs en keV de la largeur de la gaussienne asym´etrique pour les deux pics de 60Co obtenues avec l’amplificateur `a seuil automatique (A1) et manuel (A2).
(keV) γ E 500 1000 1500 2000 2500 β 0 1 2 3 4 5 6 7 (R=1) β (R=10) β (R=20) β
Fig. 3.14 – La variation de la largeur de la gaussienne asym´etrique pour les trois pics associ´es `a la d´ecroissance de 137Cs, 228Ac et 208Tl et pour trois valeurs diff´erentes de R : 1, 10 et 20.
obtenus et pour optimiser l’ajustement on a d´ecid´e de fixer R `a la valeur de 15 et de lib´erer β lors des ajustements des photopics.