Procédure générale de la méthode

La procédure générale de la méthode à deux échelles est présentée sur l’organigramme de la figure 3.14. Sans perte de généralité, on considère une fracture rectangulaire de dimensions Lx et Ly dans les directions x et y respectivement. Les étapes principales de cette procédure sont détaillées ci-dessous :

1. Le champ des ouvertures de la fracture entière, h(x, y), constitue la donnée d’entrée de la méthode à deux échelles. Ce champ des ouvertures peut être obtenu de diverses manières (calcul de contact mécanique entre surfaces rugueuses, mesure directe de l’ouverture, etc.), bien que ceci ne soit d’aucune importance ici, car cette géométrie est considérée comme indéformable (pas d’interaction fluide–structure ni de mouve- ment relatif entre les deux surfaces). Numériquement, cette donnée se présente sous forme d’une grille régulière structurée de nx et ny points dans les directions x et y respectivement. En chacun de ces points discrets, l’ouverture est connue.

2. Ce champ des ouvertures à l’échelle mégascopique est subdivisé en un certain nombre régulier de pavés rectangulaires. Leur nombre total est fixé à np = npx× npy, où npx et npy désignent le nombre de pavés dans les directions x et y respectivement. Dans l’exemple de la figure 3.14, on a npx= 3 et npy = 2. Chaque pavé va ainsi englober une certaine quantité des points définissant la fracture à l’étape 1. Le choix de npx et npy constitue alors un degré de liberté supplémentaire dans la procédure, mais qui doit toutefois être guidé par la géométrie sous-jacente du champ des ouvertures, dans l’optique de satisfaire la contrainte d’échelle r0  L1, dans laquelle r0 peut

3.3 – Modélisation de la fuite à l’échelle du joint – une approche à deux échelles Donnée d'entrée : champ des ouvertures Subdivision du domaines en pavés Calcul de la transmissivité de chaque pavé Résolution du problème méga- scopique par BEM

Solution convergée ? Donnée de sortie : transmissivité de la fracture oui non Non-linéarité : itérations 1 2 3 4 5 6 Périodicité Périodicité

Figure 3.14 – Organigramme général de la méthode à deux échelles.

3. Chaque pavé est désormais vu comme un « domaine macroscopique local » avec sa propre masse volumique considérée uniforme sur un pavé, mais pouvant varier de l’un à l’autre. Sur chaque pavé, un tenseur de transmissivité est alors calculé en résolvant le problème de fermeture (3.87) puis en utilisant l’équation (3.92) (sur la figure3.14, ces tenseurs sont représentés schématiquement par des ellipses, donnant leurs valeurs et orientation principales). Il est également possible d’utiliser la forme décomposée du tenseur de transmissivité (3.105), en résolvant successivement les problèmes (3.100) à (3.102) et en utilisant les relations (3.106). Chaque tenseur est alors fonction de la microstructure locale et du libre parcours moyen représentatif local ¯λ, donné par l’équation (3.50). À l’échelle mégascopique, le champ de tenseurs est alors hétérogène, potentiellement anisotrope et uniforme par morceaux. D’un point de vue numérique, le calcul des tenseurs est une opération parfaitement parallèle, la valeur de l’un étant indépendante de celle des autres. Ce découplage permet d’accélérer les calculs. 4. L’écoulement dans le champ de tenseurs hétérogène, anisotrope et uniforme par mor-

ceaux calculé à l’étape précédente est résolu à l’échelle mégascopique en utilisant une méthode d’éléments finis de frontière qui sera présentée en détails par la suite (sec- tions 3.3.2 et 3.3.3). L’information tensorielle à l’échelle macroscopique constitue donc l’échelle locale du problème mégascopique. À noter que la méthode d’éléments finis de frontière employée ici permettra de préserver le caractère hétérogène et com- plètement anisotrope du champ de tenseurs. La résolution du problème à l’échelle de la fracture requiert l’application de conditions aux limites. Comme présenté sur la figure3.14, une différence de pression est créée selon la direction x par imposition 109

3 – Application au problème de l’étanchéité

des pressions interne Pi et externe Pe sur les faces extrêmes de la fracture. Dans la direction y, une condition de périodicité est utilisée.

5. Le problème traité ici est non-linéaire. En effet, la masse volumique uniforme sur chaque pavé varie de l’un à l’autre (ainsi que le libre parcours moyen représentatif), et la valeur des tenseurs de transmissivité en dépend. Pour estimer la valeur de ¯λ sur un pavé, il est nécessaire de connaitre la pression moyenne sur le pavé, disons

b

p, définie comme la moyenne superficielle du champ de pression interne calculé par

la méthode des éléments finis de frontière (voir équation (3.137)). Ensuite, la masse volumique moyenne ρb = ϕ(bp) sur le pavé est calculée à partir de la loi d’état du gaz. Le libre parcours moyen représentatif est déterminé en conséquence en utilisant l’équation (3.50). Numériquement, un processus itératif de Picard est utilisé pour traiter la non-linéarité (Huyakorn et Pinder, 1983). En partant d’une estimation initiale, les tenseurs de transmissivité et le champ de pression moyenne sont mis à jour d’itération en itération en bouclant dans les étapes 3 et 4. Ce processus est répété jusqu’à ce que convergence soit obtenue sur le champ de pression moyenne calculé. À noter que dans le cas d’un écoulement sans glissement, les tenseurs de transmissivité sont intrinsèques et ont besoin d’être calculés qu’une seule fois. 6. Une fois la convergence atteinte, le débit massique total au travers de la fracture

est aisément obtenu avec la méthode des éléments finis de frontière. La transmissi- vité apparente du contact, K, dans la direction x est déduite de la loi de Darcy (3.32), décrivant l’écoulement d’un gaz parfait entre deux plaques planes et parallèles

(Zimmerman et Bodvarsson,1996;Beskok et Karniadakis,1999).

Q= ¯ρK µ

Ly

Lx

∆p (3.32)

avec Q le débit massique total, ∆p = Pi − P_e la différence de pression imposée et ¯ρ = ϕ(¯p) la masse volumique moyenne, liée par la loi des gaz parfaits à la pression moyenne ¯p = (Pi+ Pe)/2 sur la fracture.

En résumé, la présente méthode sépare effectivement le problème en deux échelles qui peuvent être traitées séparément. Tout d’abord, l’information microscopique est incor- porée dans des tenseurs de transmissivité locaux, permettant de construire l’information macroscopique sur toute la fracture. Ensuite, en utilisant cette information macrosco- pique, le problème d’écoulement en résultant est résolu pour en déduire le coefficient de transmissivité apparent de la fracture dans son ensemble.