Les modèles élasto-plastiques

L’obtention de l’étanchéité d’un assemblage par la mise en contact de deux surfaces ru- gueuses nécessite généralement des efforts importants. Lorsque des matériaux métalliques sont utilisés, le contact ne reste pas purement élastique et de la déformation plastique apparaît. Il est alors nécessaire de tenir compte de la plastification et de ses effets sur le déplacement de la surface dans le modèle de contact rugueux.

En utilisant le théorème de réciprocité, Jacq et al.(2002) ont développé un modèle de contact élasto-plastique semi-analytique utilisant une relation entre le déplacement verti- cal de la surface, la pression de contact et la déformation plastique. Ce modèle se place dans l’hypothèse d’un massif semi-infini, en petites déformations et pour un matériau à 15

1 – État de l’art lié aux problématiques d’étanchéité

écrouissage isotrope suivant le critère de plasticité de Von-Mises. La loi de comportement du matériau reste cependant une donnée d’entrée du problème, permettant au modèle de rester général. En raison de la présence de déformation plastique, il y aura une déforma- tion permanente de la surface de contact, cela a pour conséquence l’introduction d’une nouvelle composante de déplacement permanent plastique de la surface dans l’expression de l’ouverture qui s’écrit donc :

we(x, y) + wp(x, y) + h(x, y) − δ

(

= 0 si (x, y) ∈ Ωc

>0 si (x, y) /∈ Ωc (1.26)

Dans l’expression (1.26), h(x, y) est l’ouverture entre les deux surfaces avant défor- mation, δ est le déplacement vertical de corps rigide, we(x, y) est le déplacement vertical élastique de la surface, wp(x, y) est le déplacement vertical permanent de la surface et Ωc désigne l’ensemble des zones de contact. Selon Jacq et al. (2002), le déplacement perma- nent est lié à la déformation plastique. Pour le déterminer, le domaine plastique sous la surface de contact est divisé en plusieurs petits cubes dans lesquels la déformation plas- tique est considérée constante. En supposant que la déformation plastique dans chaque cube apporte une certaine déformation en surface, le déplacement permanent est alors déterminé en effectuant la somme des contributions de chaque cube. Le déplacement per- manent wp est alors lié via un coefficient d’influence D (dont l’expression est donnée dans

Jacq et al. (2002)) à la déformation plastique εp.

wp_ij = n X k=1 m X l=1 Dijklεpkl (1.27)

Outre l’évolution élasto-plastique du déplacement total de la surface de contact au cours du chargement, le déplacement permanent de la surface permet également de déter- miner l’ouverture du contact lors de la décharge.

La structure de l’algorithme utilisé pour ce modèle de contact élasto-plastique semi- analytique incrémental est résumée ci-dessous, plus de détails sont donnés par les figures 4 et 5 deJacq et al. (2002).

1. On dispose d’un jeu de paramètres initiaux que sont la charge totale, la géométrie initiale, la déformation plastique existante et son déplacement permanent associé, le champ de pression de contact et les paramètres d’écrouissage du matériau.

2. Le problème de contact élastique est résolu en prenant en compte l’incrément de chargement appliqué et les paramètres initiaux.

3. L’incrément de déformation plastique est ensuite calculé.

4. Le calcul se poursuit par la détermination de l’incrément de déplacement permanent à partir de l’incrément de déformation plastique jusqu’à convergence. Si la conver- gence n’est pas atteinte, le calcul élastique est réeffectué en actualisant l’incrément de déplacement permanent.

5. Une fois que la valeur de l’incrément de déplacement permanent a convergé, la charge, le champ de pression de contact, les déformations plastiques, les déplacements rési- duels ainsi que les paramètres d’écrouissage sont actualisés en leur ajoutant la valeur de leurs incréments respectifs. Ces nouvelles valeurs servent de condition initiale pour l’étape de chargement suivante.

Comme la déformation plastique doit être calculée avec ce modèle de contact semi- analytique, le volume sous-jacent au contact doit être maillé dans les zones plastifiées. De plus, le nombre d’itérations permettant de résoudre le problème complet est plus important que dans le cas élastique car, en plus de la résolution élastique, un second processus itératif est requis pour déterminer les contraintes et les déformations plastiques dans une partie du massif. Les temps de calculs s’en trouvent alors augmentés par rapport au modèle de contact purement élastique, tout en étant plus faible qu’avec un code de calcul par éléments

1.1 – Modélisation mécanique du contact entre surfaces rugueuses

finis. D’autres modèles à la philosophie similaire tels que ceux de Wang et al. (2010a,b) mettent en œuvre des schémas numériques différents pour la résolution des contraintes et des déformations plastiques.

Une modèle de contact élasto-plastique parfait simplifié est utilisé par Vallet (Vallet,

2008;Vallet et al.,2009) dans le cas de surfaces fractales. Le critère de plasticité n’est plus

appliqué sur les contraintes mais directement sur les pressions de contact, cela permet de ne discrétiser que la surface du massif. Dans ce cas, la pression de contact est supposée bornée par une pression maximale égale à la dureté H du matériau le plus mou. Cela vient donc ajouter une inégalité supplémentaire au problème (1.20) qui peut alors se réécrire de la façon ci-dessous. Les mêmes méthodes de résolution que celles présentées précédemment peuvent être employées.

wij = n X k=1 m X l=1 Mijklpkl (1.28a) 1 nm n X i=1 m X j=1 pij = Pa (1.28b) wij + hij− δ= 0 si (i, j) ∈ Ωc (1.28c) wij + hij− δ >0 si (i, j) /∈ Ωc (1.28d)

0 < pij 6 H si (i, j) ∈ Ωc (1.28e)

pij = 0 si (i, j) /∈ Ωc (1.28f)

Un modèle similaire bornant la pression de contact par la dureté est également appliqué par Sahlin (Sahlin, 2008) pour l’étude d’un contact rugueux. Ce modèle introduit un déplacement permanent de la surface, visible sur la figure1.6.

x1(mm) ue (μ m ) x1(mm) up (μ m ) W = 50 MPa W = 100 MPa W = 400 MPa W = 800 MPa 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 0 0.5 1 0 0.5 1

Figure 1.6 – Composante élastique (à gauche) et plastique (à droite) du déplacement de la surface pour différentes charges le long d’un contact (portion de la figure E.4 deSahlin

(2008)). Le déplacement plastique permanent augmente avec la charge.

Pour modéliser le contact élasto-plastique entre un plan lisse rigide et une surface ru- gueuse, Durand (Durand, 2012) a employé une approche phénoménologique. Ce modèle phénoménologique, appelé « modèle réduit », est basé sur la représentation de la sur- face rugueuse par une multitude d’aspérités de formes sinusoïdales et permet de réduire considérablement le temps de calcul. Afin de prendre en compte les interactions élasto- plastiques entre aspérités (comportement généralement non-linéaire et complexe) au cours de l’écrasement, Durand a étudié l’écrasement d’une aspérité sinusoïdale isolée et a décrit le déplacement vertical de la surface au voisinage de cette dernière par un ajustement avec une relation du type suivant :

w(r) = aw0 r2r L exp  −2br L  (1.29) avec L le diamètre de l’aspérité à la base, w0 le déplacement vertical au sommet de

l’aspérité et r la distance horizontale au centre de l’aspérité. Cette relation fait également intervenir deux paramètres d’ajustement a et b, que Durand considère comme constants quelle que soit la géométrie de l’aspérité. Cette expression (1.29) ne prend cependant 17

1 – État de l’art lié aux problématiques d’étanchéité

pas en compte la présence d’un bourrelet de matière proche de la zone de contact et ne considère pas le déplacement horizontal de la matière. Une fois ceci acquis, le modèle réduit de contact développé par Durand procède de la manière suivante :

1. Localisation et caractérisation des aspérités sinusoïdales représentant la surface ru- gueuse.

2. Déplacement vertical progressif du plan lisse et rigide.

3. Lorsqu’une aspérité est détectée comme étant en contact (présence d’interférence entre l’aspérité et le plan), la loi d’interaction entre aspérités (1.29) est appliquée pour chacune des aspérités en contact. L’influence de chaque aspérité est supposée additive.

4. L’effort normal, l’aire réelle de contact et le champ des ouvertures peuvent être déterminés.

Figure 1.7 – Comparaison du champ des ouvertures entre un calcul par éléments finis (à gauche) et le modèle réduit (à droite) pour deux valeurs de déplacement imposé (0,89 µm en (a) et 1,35 µm en (b)). Les zones bleues sont les zones de contact (fig. 4.12 de Durand

(2012)).

Ce modèle réduit a été testé sur plusieurs surfaces rugueuses et comparé avec d’autres résultats obtenus par éléments finis. La figure 1.7 montre par exemple le champ des ou- vertures obtenu pour deux écrasements distincts. Il s’avère que le modèle réduit fournit des résultats en très bon accord avec les simulations par éléments finis, tant en termes de réponses globales que de topologies locales, tout en offrant un temps de calcul fortement réduit. On peut néanmoins soulever la question de la représentation d’une surface rugueuse quelconque par un type d’aspérités donné.

Les modèles de contact présentés dans cette section s’intéressent majoritairement à la déformation des aspérités rugueuses par un plan lisse, ce qui est l’exact opposé de ce qui sera abordé dans ce travail. En effet, l’étude du bouchage des aspérités est dans notre cas celle d’une surface rugueuse rigide déformant un plan lisse et ductile, situation se rapprochant le plus du cas réel d’un contact entre une bride (généralement usinée en acier) et d’un joint d’étanchéité (fait d’un métal ductile plus mou). D’autre part, nos travaux s’intéressent au cas de surfaces à la géométrie anisotrope ce qui n’est pas le cas de ceux présentés dans cette section. Bien que cet aspect ne revêt aucune importance pour les modèles « complets » (de type élastique, élasto-plastique, etc.), cela est crucial pour un modèle réduit basé sur une approche phénoménologique car la loi phénoménologique de déformation est justement déterminée à partir de cas de référence pour un type de surface donné. L’aspect temps de calcul proposé par ces modèles est également d’une grande importance lorsqu’il s’agit de déterminer l’ouverture sur des surfaces de grandes dimensions à des échelles de détails très fines. En ce sens, les modèles réduits apparaîssent plus compétitifs.