Probl` emes diphasiques : comparaison avec le mod` ele ` a sept ´ equations

Chapitre 3 Un mod` ele r´ eduit ` a cinq ´ equations pour les ´ ecoulements diphasiques com-

3.5 R´ esultats num´ eriques

3.5.2 Probl` emes diphasiques : comparaison avec le mod` ele ` a sept ´ equations

Premier probl`eme diphasique

Cette deuxième série d’expériences présente des problèmes d’écoulements diphasiques (et non plus des problèmes d’interface) où les deux phases sont simultanément présentes au même endroit. Le premier test reprend le même problème que précédemment excepté le fait que la fraction volumique de gaz est constante dans tout le domaine et égale àα1= 0.5. Les lois d’états des deux fluides sont une nouvelle fois données par les formulations suivantes de type Stiffened-Gas, avecρ1= 50 kg.m⁻³etρ2= 1000 kg.m⁻³:







p= (γ1−1)ρ1ε1−γ1π1 avec γ1= 1.4 et π1= 0 air (3.140.1) p= (γ2−1)ρ2ε2−γ2π2 avec γ2= 4.4 et π2= 6.10⁸ eau (3.140.2)

Du côté gauche (x < 0.5) la pression est égale à 10⁹ Pa tandis qu’elle est égale à 10⁵ Pa du côté droit. La vitesse initiale de l’écoulement à l’instantt= 0 est nulle. On garde la même discrétisation que précédemment et une loi de CFL identique. On utilise une nouvelle fois le schéma de type VFRoe à l’ordre 1 en espace et en temps. Les résultats sont montrés à l’instant t = 200µs. On compare en Figure 3.6, les résultats obtenus avec le modèle réduit et ceux donnés par le modèle complet à sept équations. La méthode numérique utilisée pour résoudre le modèle à sept équations est celle présentée dans [56], excepté pour les procédures de relaxation qui sont celles présentées dans [42]. Les résultats sont très proches et ceci confirme que le modèle réduit à cinq équations est une bonne approximation du modèle complet à sept équations pour des temps de relaxation infiniment petits. En particulier, on observe que même si la composition initiale du mélange est constante, elle évolue dans le temps et dans l’espace et de fa¸con quasiment identique pour les deux modèles.

Deuxi`eme probl`eme diphasique

On considère à présent le même problème que ci-dessus où l’on change la composition initiale du mélange. On modifie également la position initiale de la discontinuité ainsi que la valeur de la densité phasique du gaz prise égale àρ₁= 1 kg.m⁻³. Les condition initiales sont alors données par :











ρ1= 1 kg.m⁻³ si x < 0.7 ρ1= 1 kg.m⁻³ sinon ρ2= 1000 kg.m⁻³ si x < 0.7 ρ2= 1000 kg.m⁻³ sinon p= 10⁹ Pa si x < 0.7 p= 10⁵ Pa sinon u= 0 m.s⁻¹ si x < 0.7 u= 0 m.s⁻¹ sinon

α₁= 0.2 si x < 0.7 α₁= 0.8 sinon

(3.141)

On présente les résultats à l’instantt= 200µs (voir Figure 3.7). On garde les mêmes paramètres de calcul que ci-dessus, pour le maillage, le schéma et le CFL. Les courbes de pression et de vitesse obtenues pour les deux modèles sont identiques mais on peut noter quelques différences sur les courbes de la fraction volumique et de la densité de mélange. En particulier, les valeurs de la densité et de la fraction volumique après le choc sont quelque peu différentes pour les deux modèles. Le modèle à sept équations donne une oscillation près de la discontinuité de contact, qui n’est pas présente dans les résultats du modèle réduit.

Actuellement, nous ne connaissons pas les raisons exactes de ces différences. Des tests supplémentaires ont été faits en changeant le solveur hyperbolique et les procédures de relaxation pour la résolution du modèle complet à sept équations. Ils ont donné les mêmes résultats. De ce fait, il semble que les différences observées ne soient pas purement numériques et qu’elles viennent vraiment de la solution du modèle complet.

Fig.3.6 – Modèle réduit à 5 équations (gauche) et modèle complet à 7 équations (droite).

Premier problème diphasique. Variables de mélange. Solutions calculées sur un maillage de 1000 nœuds (symboles).

Fig.3.7 –Modèle réduit à 5 équations (gauche) et modèle complet à 7 équations (droite).

Deuxième problème diphasique. Variables de mélange. Solutions calculées sur un maillage de 1000 nœuds (symboles).

Propagation des ondes de choc dans les alliages

On souhaite à présent évaluer la capacité du modèle à capturer correctement des ondes de choc très violentes se propageant dans des mélanges diphasiques non réactifs, c’est-à-dire à composition figée.

Pour cela, on considère des alliages métalliques. En effet lors de la propagation d’une onde de choc forte, chaque constituant de l’alliage devient compressible. Il est alors possible d’utiliser le modèle à cinq

equations pour décrire le comportement de cet alliage. Ce genre de test est particulièrement important pour les applications de détonique. Même si le modèle n’admet pas un système complet de relations de Rankine-Hugoniot, il est tout de même possible de résoudre les équations pour des régimes instationnaires et de déterminer ainsi des vitesses de choc données par la méthode numérique. Ceci est réalisé en simulant des impacts de piston sur le mélange diphasique comme le décrit la Figure 3.8.

Fig.3.8 –Repr´esentation de l’impact d’un piston sur un milieu diphasique.

Dans le but d’évaluer la précision des résultats, on les comparera à ceux donnés par le modèle à sept

equations ainsi qu’à ceux obtenus expérimentalement. En fait, pour un certain nombre de matériaux, la relation entre la vitesse du choc et la vitesse d’impact du piston est linéaire. Cette relation intrinsèque aux caractéristiques du matériau que l’on appelle courbe d’Hugoniot expérimentale, peut être déterminée expérimentalement et s’exprime sous la forme :

u_s=a₀+su_p (3.142)

oùa₀ est la vitesse de propagation du son dans le matériau sous conditions atmosphériques,u_sla vitesse du choc,u_p la vitesse d’impact du piston et sun nombre constant sans dimension. La relation (3.142) est connue pour un certain nombre de matériau. Ici, nous considérons un alliage d’époxy-spinel. Les lois d’état respectives des matériaux sont modélisées par les formulations suivantes de type Stiffened-Gas :







p= (γ1−1)ρ1ε1−γ1π1 avec ρ1= 1185 kg.m⁻³ γ1= 2.94 et π1= 3.2.10⁹ époxy (3.143.1) p= (γ2−1)ρ2ε2−γ2π2 avec ρ2= 3622 kg.m⁻³ γ2= 1.62 et π2= 141.10⁹ spinel (3.143.2) Plusieurs situations d’impact sont simulées en considérant différentes vitesses de conditions limites de piston et la vitesse du choc est évaluée en fonction de la vitesse matérielle de piston. Ceci permet alors de déterminer numériquement la courbe (3.142) que l’on compare à la courbe d’Hugoniot expérimentale.

La Figure 3.9 trace les résultats aux différents instantst= 30, 60 et 90µs pour une simulation où la vitesse d’impact est deup= 3000 m.s⁻¹ et la proportion d’époxy dans l’alliage est deα1= 0.595.

Plusieurs simulations de ce type effectuées pour différentes vitesses de piston, donnent les résultats présentés en Figure 3.10. Tous les tests ont été faits sur une maillage comportant 1000 cellules et avec un CFL égal à 0.6, excepté dans les premières itérations où CFL = 0.005n. On utilise le schéma de type VFRoe à l’ordre 1 en espace et en temps. On peut constater un bon accord entre les résultats numériques et les courbes expérimentales. De plus, la Figure 3.10 présente aussi les résultats obtenus avec le modèle complet à sept équations. La méthode numérique utilisée pour résoudre le modèle à sept équations est celle qui figure dans [56], excepté pour les procédures de relaxation qui correspondent à celles présentées dans [42].

Par rapport aux données expérimentales, on observe que les résultats du modèle réduit à cinq équations présentent une précision “comparable” à celle donnée par la résolution du modèle complet.

Fig.3.9 –Modèle réduit à 5 équations pour le problème d’Hugoniot. Variables de mélange et phasiques pour une vitesse d’impact de 3000 m.s⁻¹. Solutions calculées sur un maillage de 1000 nœuds.

Fig.3.10 –Modèle réduit à 5 équations (traits pleins) et modèle à 7 équations de [56] (traits pointillés) pour le problème d’Hugoniot. Vitesse du choc en fonction de l’impact. Solutions calculées sur un maillage de 1000 nœuds. Résultats expérimentaux (symboles).

Sur ce type de cas test, un meilleur accord a été obtenu dans [9] en résolvant un modèle à 7 équations avec une méthode numérique adaptée aux ondes de choc dans les milieux diphasiques. Comme l’illustre la figure 3.11, la méthode décrite dans [9] produit des résultats en très bon accord avec l’expérience, au prix toutefois d’une complexité supérieure puisque le modèle fait intervenir deux vitesses et deux pressions.

Fig.3.11 –Modèle à 7 équations résolu avec la méthode des équations discrètes [9] (traits pointillés) pour le problème d’Hugoniot. Vitesse du choc en fonction de l’impact. Solutions calculées sur un maillage de 1000 nœuds. Résultats expérimentaux (symboles).

Dans le document The DART-Europe E-theses Portal (Page 82-88)