Chapitre 3 Un mod` ele r´ eduit ` a cinq ´ equations pour les ´ ecoulements diphasiques com-
3.3 Etude math´ ematique
On r´ealise ici l’´etude math´ematique du mod´ele r´eduit `a cinq ´equations c’est-`a-dire celui obtenu au paragraphe 3.2.4, en n´egligeant les termes d’ordreε. Pour des solutions suffisamment r´eguli`eres, l’´etude math´ematique du syst`eme peut ˆetre effectu´ee sur le syst`eme ´ecrit `a partir de n’importe quel vecteur de variables ind´ependantes. Ici nous avons choisi le vecteur t(s1, s2,u, p, Y2) o`u Yk =αkρk/ρ repr´esentent les fractions massiques et le mod`ele r´eduit `a cinq ´equations peut s’´ecrire sous la forme :
Ds1
Dt = 0 (3.78.1)
Ds2
Dt = 0 (3.78.2)
Du Dt +1
ρ∇p = 0 (3.78.3) Dp
Dt +ρˆa2divu = 0 (3.78.4) DY2
Dt = 0 (3.78.5)
o`uρest la densit´e de m´elange et ˆala vitesse du son, d´efinies dans le paragraphe 3.2.4. D’autre part, il est clair que le syst`eme est invariant par rotation. Nous pouvons alors par souci de clart´e, mener l’analyse pour le cas monodimensionnel.
3.3.1 Hyperbolicit´ e
Si on pose q = t(s1, s2, u, p, Y2), alors pour des solutions suffisamment r´eguli`eres, le syst`eme (3.78) s’´ecrit en une dimension d’espace sous la forme :
∂q
∂t +A(q)∂q
∂x = 0 (3.79)
o`u la matriceA(q) est d´efinie par :
A(q) =
u 0 0 0 0
0 u 0 0 0
0 0 u 1/ρ 0
0 0 ρˆa2 u 0
0 0 0 0 u
(3.80)
L’´equation caract´eristique de cette matrice A(q) s’´ecrit (u−λ)3((u−λ)2−aˆ2) = 0, et on obtient trois valeurs propres r´eelles et distinctes donn´ees par :
λ1(q) =u−ˆa
λ2(q) =λ3(q) =λ4(q) =u λ5(q) =u+ ˆa
(3.81)
o`u ˆa est donn´e par la relation (3.40). Puisque ˆa est r´eel, toutes les valeurs propres de A(q) le sont
´egalement. L’expression (3.40) dans laquelle l’imp´edance acoustique moyenne ρˆa2 apparaˆıt comme une moyenne harmonique des imp´edances phasiques implique que la vitesse du son dans un m´elange peut devenir plus petite que les deux vitesses du son des fluides purs. Ce fait est tr`es bien connu dans la litt´erature (voir par exemple [64] ou [18]) et il peut ˆetre ´egalement observ´e exp´erimentalement.
Les vecteurs propres `a droiteri(q) (pouri∈ {1, . . . ,5}) qui v´erifient la relationA(q)ri(q) =λi(q)ri(q) peuvent ˆetre choisis comme :
r1(q) = Le syst`eme est alors clairement hyperbolique puisque la matriceA(q) est diagonalisable dansIR et que ses vecteurs propres engendrent l’espace vectoriel completIR5. On notera aussi que cette hyperbolicit´e est inconditionnelle ´etant donn´e que les vitesses du son de chaque fluide sont r´eelles.
Remarque : Pour le “mod`ele de transport `a cinq ´equations” de [45], [2], la vitesse moyenne du son s’´ecrit : m´elange apparaˆıt comme une moyenne des vitesses du son phasiques. Cependant, les moyennes sont diff´erentes pour chaque mod`ele. Dans des cas extrˆemes de fluides r´eels, les coefficientsξk peuvent ˆetre n´egatifs et la formule (3.84) ne garantit pas que la vitesse du son du m´elange reste r´eelle alors que la formule (3.40) donne toujours une vitesse du son r´eelle.
La Figure 3.1 trace pour les deux mod`eles, la vitesse du son d’un m´elange d’air et d’eau sous pression atmosph´erique. Celles-ci sont trac´ees par rapport `a la fraction volumique d’air dans le m´elange et on peut observer une tr`es large diff´erence entre les deux syst`emes.
Fig.3.1 –Courbe de la vitesse du son pour un m´elange eau-air sous pression atmosph´erique.
Mod`ele r´eduit `a 5 ´equations (traits pleins) et mod`ele de transport `a 5 ´equations (traits pointill´es).
3.3.2 Existence d’une entropie math´ ematique
Puisque les deux entropies phasiques s1, s2 v´erifient les ´equations (3.78.1)-(3.78.2), l’existence d’une entropie math´ematique est ´evidente. Le choix le plus simple est de d´efinir une entropie de m´elangeSpar : ρS=α1ρ1s1+α2ρ2s2=ρY1s1+ρY2s2 (3.85) et on a alors :
∂ρS
∂t + div(ρSu) = 0 (3.86)
3.3.3 Structure des ondes
Dans ce paragraphe, on analyse la structure math´ematique des ondes pr´esentes dans ce mod`ele r´eduit.
L’objectif est de montrer que le syst`eme ne contient que des champs vraiment non lin´eaires ou lin´eairement d´eg´en´er´es (voir par exemple [23] pour la d´efinition de ces notions). Nous commen¸cons donc par les champs caract´eristiques associ´es aux ondesu−ˆaetu+ ˆa.
Proposition 1 :Les champs caract´eristiques associ´es aux ondesλ1(q) =u−aˆetλ5(q) =u+ ˆasont vraiment non lin´eaires c’est-`a-dire que nous avons ∇qλ1(q).r1(q) 6= 0 et∇qλ5(q).r5(q)6= 0 pour tout vecteur d’´etat admissibleq.
Preuve :On peut d´eduire des valeurs propres (3.81) et des vecteurs propres `a droite (3.82) la relation :
∇qλ1(q).r1(q) =∇qλ5(q).r5(q) = ˆa+ρˆa2∂ˆa
∂p (3.87)
La d´emonstration consiste donc `a montrer que le terme ˆa+ρˆa2∂ˆa/∂pest toujours non nul et la difficult´e principale r´eside dans l’´evaluation de la partie∂ˆa/∂p. Ainsi r´e´ecrivons tout d’abord la densit´e de m´elange (3.39) en termes de fractions massiquesYk, sous la forme :
1
ainsi que la vitesse du son (3.40) sous la forme : 1
Consid´erons `a pr´esent la diff´erentiation suivante de la vitesse du son ˆa, pour toute variable φ:
∂ˆa En utilisant cette relation (3.90) pourφ=pet en introduisant les expressions (3.88)-(3.89) on obtient :
ˆ
En introduisant ensuite les coefficients ψk = (∂ak/∂pk)sk pour chaque phase et en rappelant que la d´efinition des vitesses du son phasiques implique (∂ρk/∂pk)sk= 1/a2k, on obtient les r´esultats suivants :
ˆ
a+ρˆa2∂ˆa
∂p = ˆa−ρˆa3
"
−(ρˆa)2
2
X
k=1
Yk(1 +ρkakψk) ρ3ka4k +ρ
2
X
k=1
Yk
(ρkak)2
#
ˆ
a+ρˆa2∂ˆa
∂p = ˆa−ρˆa3
"
−(ρˆa)2
2
X
k=1
Yk(1 +ρkakψk) ρ3ka4k + 1
ρˆa2
#
ˆ
a+ρˆa2∂ˆa
∂p =ρ3ˆa5
2
X
k=1
Yk(1 +ρkakψk) ρ3ka4k
(3.92)
En supposant enfin queψk >0, c’est-`a-dire que la vitesse du son est fonction croissante de la pression, `a entropie constante, on obtient (1 +ρkakψk)>1 et ceci termine la d´emonstration.
Remarque : On notera que pour des fluides r´egis par une loi d’´etat de type Stiffened-Gas ; la condi-tionψk >0 est ´equivalente `aγk >1 o`u γk est le rapport des chaleurs sp´ecifiques de la phasek .
Examinons `a pr´esent le champ caract´eristique associ´e `a l’ondeu.
Proposition 2 : Le champ caract´eristique associ´e `a l’ondeλ2(q) = λ3(q) =λ4(q) =uest lin´ eaire-ment d´eg´en´er´e c’est-`a-dire que l’on a ∇qλi(q).ri(q) = 0 (pour i∈ {2,3,4}) et pour tout vecteur d’´etat admissibleq.
Preuve : On peut d´eduire de l’expression des valeurs propres (3.81), la relation :
∇qλi(q).ri(q) = (0,0,1,0,0).ri(q) pour i∈ {2,3,4} (3.93) En introduisant alors les vecteurs propres `a droite (3.82) dans cette relation (3.93), on peut facilement voir que∇qλi(q).ri(q) = 0 (pouri∈ {2,3,4}) et ceci compl`ete la preuve.
3.3.4 Invariants de Riemann
Dans ce paragraphe on propose le calcul des invariants de Riemann du syst`eme. Commen¸cons par le calcul des invariants de Riemannω associ´es `a la valeur propreλ1(q) =u−ˆa. Le probl`eme consiste donc
`
a chercher les fonctionsω telles que∇qω.r1(q) = 0. Ainsi, si on rechercheωtel que le gradient∇qωsoit colin´eaire `a tl2(q), tl3(q) et tl4(q), on obtient imm´ediatement que s1, s2 et Y2 sont trois invariants de Riemann associ´es `a cette onde. Maintenant si on cherche∇qω colin´eaire `a t(2ˆal5) = (0,0,1,1/ρˆa,0), on en d´eduit le dernier invariant :
u+ Z
p
dp
ρˆa (3.94)
On note que cette derni`ere expression pour ω est formellement ´equivalente `a l’invariant de Riemann u+ 2a/(γ−1) pour les gaz parfaits dans le cadre des ´equations d’Euler. Si on r´esume les r´esultats obtenus ; les invariants de Riemann associ´es `a l’ondeu−ˆasont d´efinis par :
{ s1, s2, Y2, u+ Z
p
dp
ρˆa } (3.95)
Apr`es des calculs similaires, on en d´eduit les invariants de Riemann associ´es `a l’ondeu+ ˆa: { s1, s2, Y2, u−
Z
p
dp
ρˆa } (3.96)
Enfin, il est trivial de montrer que les invariants de Riemann associ´es `a l’onde mat´erielleusont donn´es par :
{u, p} (3.97)
Pour terminer ce paragraphe, notons que si le syst`eme est ´ecrit en termes de variables conservatives, les quatre premi`eres ´equations (3.42) sont ´ecrites sous une forme conservative et nous donnent un ensemble de quatre relations de saut ou de Rankine-Hugoniot, v´erifi´ees par les discontinuit´es :
∆[α1ρ1(u−σ)] = 0 (3.98.1)
∆[α2ρ2(u−σ)] = 0 (3.98.2)
∆[ρu(u−σ) +p] = 0 (3.98.3)
∆[ρe(u−σ) +pu] = 0 (3.98.4)
avec ∆φ=φR−φL et σla vitesse de la discontinuit´e. Cependant, l’´equation pour la fraction volumique α2 ne s’´ecrit pas sous forme conservative. De ce fait, le syst`eme doit ˆetre compl´et´e ou r´egularis´e pour permettre connaˆıtre les solutions discontinues admissibles. Comme il est propos´e dans [35], des r´ egu-larisations de ce type peuvent ˆetre obtenues `a l’aide d’un examen pr´ecis de la structure des zones de relaxation ou bien encore par construction de sous mod`eles des processus physiques intervenant `a l’int´ e-rieur des zones de discontinuit´e. On adopte ici une approche plus simple qui laisse la viscosit´e artificielle du sch´ema num´erique r´egulariser le mod`ele.