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Le probl` eme continu

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Chapitre 2 Comportement des sch´ emas de type Godunov dans la limite des faibles

2.2 Le probl` eme continu

Pour faciliter la compr´ehension du comportement des sch´emas d´ecentr´es dans la limite des faibles nombres de Mach, on rappelle un certain nombre de r´esultats pour les ´equations continues. On com-mence avec le cas isentropique pour lequel la th´eorie math´ematique est assez compl`ete et on se restreint au cas p´eriodique. (On notera que si on consid`ere l’espace infini, mˆeme pour des donn´ees initiales g´en´ e-rales, on peut montrer des r´esultats plus forts grˆace `a la disparition `a l’infini de l’´energie des composantes acoustiques. Comme il est prouv´e dans [74], les solutions limites des ´equations compressibles satisfont le syst`eme des ´equations incompressibles bien que la convergence uniforme soit rompue pr`es de t= 0.)

Les ´equations d’Euler isentropiques s’´ecrivent sous la forme :

∂ρ

∂t + u.∇ρ + ρdivu = 0

∂u

∂t + (u.∇)u + 1

ρ∇p = 0

(2.4)

Dans ces ´equations,u= (u, v) est un champ vectoriel etρun champ scalaire, d´efinis surIR×T2o`uT2est un domaine p´eriodique bidimensionnel. La pressionpest reli´ee `a la densit´eρpar la loi d’´etat isentropique p= Aργ o`uAest une constante etγest le rapport des chaleurs sp´ecifiques. Pour l’analyse de ce syst`eme, il est pratique de mettre celui-ci sous forme sym´etrique, en d´efinissant la nouvelle variable :

˜ r= 2

γ−1

pp0(ρ) = 1

˜ γ

pp0(ρ) (2.5)

En termes de variables (r,u), le syst`eme (2.4) peut s’´ecrire sous la forme :

∂r

∂t + u.∇r + γrdivu˜ = 0

∂u

∂t + (u.∇)u + γr∇r˜ = 0

(2.6)

D´efinissons alorsρref une valeur de r´ef´erence pour le champ de densit´e etaref = q

γAργ−1ref la vitesse du son de r´ef´erence. De plus, on noterauref une valeur de r´ef´erence pour la vitesse des particules. Le nombre de Mach de r´ef´erence est d´efini comme le rapportM=uref/aref et on s’int´eresse au comportement des solutions du syst`eme (2.6) quand ce param`etre tend vers z´ero. Pour analyser ce comportement, on peut d´ej`a observer qu’`a une constante pr`es, la variable r correspond `a la vitesse du son p

p0(ρ). Ainsi dans le syst`eme (2.6), on remplace le syst`eme de variables original par les nouvelles variables adimensionn´ees suivantes :

r=aref(r0+Mr1) u=aref(0 +Mu1)

(2.7)

o`ur0 est une constante. Ensuite, on d´esigne parxref une longueur de r´ef´erence, et on d´efinit une ´echelle de temps caract´eristiquetref ´egale au temps n´ecessaire aux particules pour parcourir la longueurxref. On a donctref =xref/uref =xref/(arefM) et on d´efinit alors les deux variables adimensionn´ees suivantes :

t=trefτ x=xrefξ

(2.8)

Avec ce choix de variables, le syst`eme (2.6) s’´ecrit alors sous la forme :

∂r1

∂τ + u1.∇r1 + γr˜ 1divu1 + ˜γr0

Mdivu1 = 0

∂u1

∂τ + (u1.∇)u1 + γr˜ 1∇r1 + ˜γr0

M∇r1 = 0

(2.9)

D’apr`es (2.9), on peut s’attendre `a ce que pour des ´echelles de temps tr`es petites de l’ordre deτ=O(M) (c’est-`a-dire de l’ordre det=xref/aref), le comportement des solutions de (2.9) soit totalement domin´e par la partie acoustique ˜γr0(divu1,∇r1)t et que ces solutions de (2.9) soient proches des solutions du syst`eme :

∂r1

∂θ + γr˜ 0divu1 = 0

∂u1

∂θ + γr˜ 0∇r1 = 0

(2.10)

avecθ=τ /M(c’est-`a-dire θ=areft/xref).

Cependant, comme le noyau de l’op´erateur lin´eaire acoustique est non nul d’apr`es (2.9), on peut

´

egalement s’attendre `a ce que les composantes des solutions de (2.9) contenues dans le noyau (c’est-`a-dire la partie incompressible de la solution caract´eris´ee par divu1 = 0 et ∇r1 = 0) ne soient pas affect´ees par l’op´erateur acoustique et soient pr´esentes dans la solution pour de grandes ´echelles de temps. Ces composantes ob´eissent aux ´equations d’Euler incompressibles :

∂u1

∂τ +P((u1.∇)u1) = 0 (2.11)

o`uP est la projection sur des champ de vecteurs `a divergence nulle. Ainsi de mani`ere g´en´erale, d’apr`es la structure du syst`eme (2.9), on s’attend `a ce que dans la limite des faibles nombres de Mach, les solu-tions soient caract´eris´ees par une partie incompressible lente (o`u les ´echelles de temps sont de l’ordre de xref/uref) et une partie rapide acoustique (o`u les ´echelles de temps sont de l’ordre dexref/aref).

Comme premi`ere ´etape dans l’analyse de ce comportement complexe, on consid`ere un probl`eme mod`ele plus simple et obtenu par lin´earisation du syst`eme (2.9) autour de l’´etat (r1,u1) = (0,a) o`u a est un vecteur constant. Par la suite, on posera ˜γr0= 1 pour simplifier les calculs et le syst`eme lin´eaire mod`ele s’´ecrit :

∂r1

∂τ + a.∇r + 1

Mdivu1 = 0

∂u1

∂τ + a.∇u1 + 1 M

∇r1 = 0

(2.12)

On r´e´ecrit alors ce syst`eme lin´eaire sous la forme :

∂q

∂τ +Hq+ 1

MLq= 0 (2.13)

o`u Hq =a.∇q est un op´erateur lin´eaire d’advection `a vitesse constante. En ´ecrivant le syst`eme (2.13) dans l’espace de Fourier, les composantes ˆq(k) du vecteurq, v´erifient :

∂ˆq(k)

∂τ +i

Hˆ(k) + 1 M

L(k)ˆ

ˆ

q(k) = 0 pour k∈Z2 (2.14)

o`u la matrice ˆH(k) + 1

aveca.b le produit scalaire euclidien des deux vecteurs a et b. Cette matrice est diagonalisable et ses vecteurs propres sont donn´es par :

s1(k) = 1

tandis que les valeurs propres s’´ecrivent : λ1=a.k−|k|

M, λ2=a.k, λ3=a.k+|k|

M (2.17)

Ainsi la solution de (2.14) est donn´ee par :

ˆ (2.18), on voit que la solution se divise en une partie oscillante rapide qui d´epend de la variable rapide θ=τ /M :

et une partie lente ind´ependante de cette variable rapide : ˆ

qslow(k, τ) = 1

|k|(−k21(k,0) +k1ˆv1(k,0))e−ia.kτs2(k) (2.20) Dans l’espace de Fourier, le noyau de l’op´erateur acoustique lin´eaire ˆL(k) est l’espace vectoriel engendr´e par le vecteurs2(k) = (0,−k2, k1)t. Cet espace correspond `a l’espace physique d´efini par :

kerL={(r1,u1);r1= constante,divu1= 0} (2.21) La partie lente qslow = P

kqˆslow(k, t)eik.x est alors la projection de la solution dans cet espace et repr´esente la composante incompressiblede la solution. Elle est solution du “syst`eme incompressible” :

∂qslow

∂τ +Hqslow= 0 (2.22)

muni de la condition initialeqslow(τ= 0) =P q(τ= 0) o`uP est la projection sur kerL.

D’apr`es l’expression (2.19), il est `a noter queqosctend vers 0 au sens des distributions, quandM→0.

Cependant cette convergence correspond seulement `a une convergence au sens faible.

Ainsi except´e pour une classe sp´eciale de conditions initiales, la solution contient toujours une composante oscillante tr`es rapide qui ne disparaˆıt pas quandM→0. En g´en´eral, mˆeme pour de tr`es faibles nombres de MachM, il faut ´ecrire :

q(x, t) =qslow(x, t) +qosc(x, t, t/M) (2.23) On d´ecrit `a pr´esent une classe particuli`ere de conditions initiales pour lesquelles il y a convergence forte des solutions du syst`eme compressible vers les solutions du syst`eme incompressible. Une condition n´ eces-saire pour queq(x, t) converge au sens fort vers la limite incompressibleqslow(x, t) est que la composante qosc(x, t, t/M) converge au sens fort vers 0. Ceci n’est pas possibleexcept´edans le cas o`u les conditions initiales sont proches du noyau deL. C’est ce cas pr´ecis que nous avons appel´e le cas de “donn´ees initiales bien pr´epar´ees”. Pour les ´equations d’Euler isentropiques, cette situation a ´et´e examin´ee dans [37] et [39]

tandis que pour les ´equations non isentropiques, on peut se r´ef´erer aux travaux de [60].

Pour notre probl`eme lin´eaire mod`ele (2.12), le cas de “donn´ees initiales bien pr´epar´ees” peut ˆetre d´ecrit comme suivant. Il est clair d’apr`es (2.18), que si









(ˆr1(k,0)− k1

|k|uˆ1(k,0)− k2

|k|vˆ1(k,0)) =O(M) (ˆr1(k,0) + k1

|k|uˆ1(k,0) + k2

|k|vˆ1(k,0)) =O(M)

(2.24)

alors la composante oscillante de la solution qosc converge vers 0 au sens fort. On a donc convergence forte de la solution vers la limite incompressibleqslow quand M→0.

Dans l’espace physique, les deux conditions initiales (2.24) impliquent que les donn´ees initiales soient de la forme suivante :

r1(x,0) =Mr2(x,0)

u1(x,0) =u01(x,0) +Mu2(x,0)

(2.25) o`ur2(x,0) est un scalaire d’ordreO(1),u01(x,0) etu2(x,0) sont deux champs de vecteurs d’ordreO(1) et le champu01(x,0) est tel que divu01= 0.

Revenons `a pr´esent aux ´equations d’Euler isentropiques (2.4). Bien que l’analyse et les techniques requises pour prouver les r´esultats pr´ec´edents soient beaucoup plus complexes que dans le cas du syst`eme lin´eaire, les r´esultats sont essentiellement les mˆemes. Les travaux de [61], [25] montrent que dans la limite des faibles nombres de Mach, la solution peut s’´ecrire sous la forme :

q(x, τ) =qslow(x, τ) +qosc(x, τ, τ /M) +O(M) (2.26) et peut ˆetre d´ecompos´ee en une partie acoustiqueqosc(x, τ, τ /M) qui d´epend d’une variable rapideτ /M

et en une partie lenteqslow(x, τ). De plus, la partie lente est solution des ´equations incompressibles :

div(u1) = 0 (2.27.1)

ρ0( ∂

∂τu1+ div(u1⊗u1)) +∇π= 0 (2.27.2)

En g´en´eral qslow(x, τ) correspond seulement `a la limite des solutions au sens faible, except´e pour des

“donn´ees initiales bien pr´epar´ees” proches du noyau deL. Comme pour le probl`eme lin´eaire mod`ele, cette classe particuli`ere de conditions initiales est caract´eris´ee par :

r1(x,0) =Mr2(x,0)

u1(x,0) =u01(x,0) +Mu2(x,0) avec divu01= 0

(2.28) Et si on revient aux variables originales (p,u), cela implique que les conditions initiales soient de la forme :

p(x,0) =ρrefa2ref(Constante +M2p2(x,0))

u(x,0) =aref(0 +Mu1(x,0) +M2u2(x,0)) avec divu1= 0

(2.29) o`up2(x,0),u1(x,0),u2(x,0) sont des fonctions r´eguli`eres de classeC1.

2.3 Etude du probl` eme de Riemann dans la limite des faibles

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