∂t(Xkρk) + div(Xkρkuk) +ρk(uk−σ).nkδ= 0 (1.6.1)
∂
∂t(Xkρkuk) + div(Xkρkuk⊗uk) +∇Xkpk+ div(−Xkτ¯k)
+ρk(uk⊗uk).nkδ−ρkuk(σ.nk)δ+pknkδ−¯τk.nkδ=Xkρkfvk (1.6.2)
∂
∂t(Xkρkek) + divXk(ρkek+pk)uk+ divXk(qk−τ¯k.uk)
+ρkek(uk−σ).nkδ+pkuk.nkδ+ (qk−τ¯k.uk).nkδ=Xkρkfvk.uk (1.6.3)
Les ´equations (1.6) sont une extension des ´equations locales (1.1) `a tout le domaine de l’´ecoulement et sont ´egalement valables aux interfaces.
1.3 Equations sur les grandeurs moyennes
Les ´equations des ´echanges locaux instantan´es (1.6) ne peuvent ˆetre r´esolues car on ne connaˆıt pas la position de l’interface qui est distribu´ee al´eatoirement dans le temps et dans l’espace. On ´ecrit donc les ´equations en moyenne, ce qui permet de reconstituer deux milieux continus fictifs. On introduit donc un op´erateur de moyenne <.> qui v´erifie les propri´et´es classiques de lin´earit´e <a+b>=<a>+ <b>
et < λa >= λ < a >, d’idempotence << a > b >=< a >< b > et de commutativit´e avec les op´erateurs de diff´erentiation.
On peut alors d´ecomposer une variable locale instantan´ee quelconqueaen une valeur moyenne<a>
et une fluctuationa0 qui v´erifie<a0>= 0. L’op´erateur<.>peut ˆetre d´efini comme la limite de la moyenne arithm´etique sur un nombreN de r´ealisations tendant vers l’infini, du ph´enom`ene :
<a>= lim
N→∞
1 N
X
N
a (1.7)
Par rapport `a des moyennes spatiales, temporelles ou spatio-temporelles, la moyenne statistique est la seule valable pour des ´ecoulements non homog`enes instationnaires. On d´efinit le taux de pr´esence de la phasekcomme la moyenne de la fonction caract´eristique de cette phase :
αk
def=<Xk> (1.8)
Dans la suite du m´emoire, on d´esignera la variableαk comme la fraction volumique de la phasek. Cette d´enomination peut s’expliquer si on interpr`ete la moyenne<.>comme une moyenne volumique. En effet dans ce cas, on aura :
αk = lim
V→0
<Vk>
V (1.9)
o`uVk ⊂V est le volume occup´e par la phasek: Vk =
Z
V
XkdV et <Vk>=
Z
V
αkdV (1.10)
On d´efinit la moyenne Eul´erienne phasique classique, not´ee ak, d’une grandeur quelconque ak par la formule :
ak= <Xkak>
<Xk> = <Xkak>
αk (1.11)
En d´ecomposant les variables en une valeur moyenne plus une fluctuation :ak =ak+a0k, on obtient grˆace au th´eor`eme d’idempotence :
<Xka0k>= 0 (1.12)
L’examen des ´equations de bilan montre cependant qu’il est plus pratique de d´efinir, pour les ´ecoulements compressibles, la moyenne de la vitesse et de l’´energie interne comme une moyenne pond´er´ee par la masse volumique, appel´ee moyenne de Favre et qui s’´ecrit :
eak= <Xkρkak>
αkρk (1.13)
Dans ce cas on aura `a la place de l’expression (1.12), les relations < Xkρku00k>= 0 et < Xkρkε00k>= 0 o`uu00k et ε00k sont respectivement les fluctuations de la vitesse et de l’´energie interne. On applique alors l’op´erateur de moyenne<.>aux ´equations (1.6) et on obtient le syst`eme d’´equations suivant :
∂
∂t <Xkρk>+div<Xkρkuk>+<ρk(uk−σ).nkδ>= 0 (1.14.1)
∂
∂t <Xkρkuk>+div<Xkρkuk⊗uk>+∇<Xkpk>+div<−Xkτ¯k>
+<ρk(uk⊗uk).nkδ>−<ρkuk(σ.nk)δ>+<pknkδ>−<¯τk.nkδ>=<Xkρkfvk> (1.14.2)
∂
∂t <Xkρkek>+div<Xk(ρkek+pk)uk>+div<Xk(qk−τ¯k.uk)>
+<ρkek(uk−σ).nkδ>+<pkuk.nkδ>+<(qk−τ¯k.uk).nkδ>=<Xkρkfvk.uk> (1.14.3) A l’aide des d´efinitions (1.11) et (1.13), l’´equation de conservation de la masse (1.14.1) devient :
∂
∂t(αkρk) + div(αkρkuek)+<ρk(uk−σ).nkδ>= 0 (1.15) Et l’´equation de quantit´e de mouvement (1.14.2), peut alors s’´ecrire sous la forme :
∂
∂t(αkρkuek) + div(αkρkuek⊗uek) +∇(αkpk) + div(−αk(¯τk−ρku00k⊗u00k)) +<ρk(uk⊗uk).nkδ>−<ρkuk(σ.nk)δ>+<pknkδ>−<¯τk.nkδ>=αkρkfvk
(1.16)
On notera aussi que les d´efinitions (1.11) et (1.13) entraˆınent<Xkρkek>=αkρkeek+αkρku00k2/2 o`u on a not´eeek =eεk+ue2k/2 l’´energie totale moyenne. Et l’´equation de conservation de l’´energie (1.14.3) s’´ecrit alors sous la forme :
∂
∂t(αk(ρkeek+ρku00k2
2 )) + div(αk(ρkeek+pk+ρku00k2
2 )uek) + div(αk(qk−τ¯k.uek+ρkHku00k−¯τk.u00k)) +<ρkek(uk−σ).nkδ>+<pkuk.nkδ>+<(qk−τ¯k.uk).nkδ>=αkρkfvk.uk
(1.17) o`uHk =ek+pk/ρk d´esigne l’enthalpie totale sp´ecifique de la phaseket o`u ρku00k2/2 repr´esente l’´energie cin´etique turbulente. En introduisant ¯τkT =−ρku00k⊗u00k et qTk =ρkHku00k−τ¯k.u00k le flux turbulent de chaleur prenant en compte l’´energie turbulente de convection et le travail li´e `a la turbulence, on r´e´ecrit les ´equations (1.15), (1.16) et (1.17) sous la forme :
∂
∂t(αkρk) + div(αkρkuek)+<ρk(uk−σ).nkδ>= 0 (1.18.1)
∂
∂t(αkρkuek) + div(αkρkuek⊗uek) +∇(αkpk) + div(−αk(¯τk+ ¯τkT))
+<ρk(uk⊗uk).nkδ>−<ρkuk(σ.nk)δ>+<pknkδ>−<¯τk.nkδ>=αkρkfvk (1.18.2)
∂
∂t(αk(ρkeek+ρku00k2
2 )) + div(αk(ρkeek+pk+ρku00k2
2 )uek) + div(αk(qk−τ¯k.uek+qTk))
+<ρkek(uk−σ).nkδ>+<pkuk.nkδ>+<(qk−τ¯k.uk).nkδ>=αkρkfvk.uk (1.18.3)
Le terme Γk =− <ρk(uk−σ).nkδ>dans l’´equation de conservation de la masse (1.15) repr´esente la densit´e volumique des apports de masse `a la phase k, r´esultant des ´echanges aux interfaces. Il v´erifie l’´equation de bilan aux interfacesP2
k=1Γk = 0.
On notera respectivementMk=−<ρk(uk⊗uk).nkδ>+<ρkuk(σ.nk)δ>−<pknkδ>+<¯τk.nkδ>
etEk=−<ρkek(uk−σ).nkδ>−<pkuk.nkδ>−<(qk−τ¯k.uk).nkδ>les termes sources de quantit´e de mouvement et d’´energie, li´es au transfert interfacial. On r´e´ecrit alors le syst`eme sous la forme :
∂
∂t(αkρk) + div(αkρkuek) = Γk (1.19.1)
∂
∂t(αkρkuek) + div(αkρkuek⊗uek) +∇(αkpk) + div(−αk(¯τk+ ¯τkT))
=Mk+αkρkfvk (1.19.2)
∂
∂t(αk(ρkeek+ρku00k2
2 )) + div(αk(ρkeek+pk+ρku00k2
2 )uek) + div(αk(qk−¯τk.uek+qTk))
=Ek+αkρkfvk.uk (1.19.3)
On s’int´eresse maintenant `a la mod´elisation des termes de transfert Γk,Mk, Ek. Dans tous ces termes apparaˆıt le gradient ∇Xk = −nkδ qui est diff´erent de z´ero seulement aux interfaces et qui d´efinit la position de l’interface `a l’´echelle microscopique. Les produits−aknkδ=ak∇Xk et −uk.nkδ=uk.∇Xk d´efinissent les valeurs de la fonction ak et du vecteur uk aux interfaces, not´ees akI et ukI. Le terme macroscopique de transfert de quantit´e de mouvementMk peut alors s’´ecrire sous la forme :
Mk=−<ρk(uk⊗uk).nkδ>+<ρkuk(σ.nk)δ>−<pknkδ>+<¯τk.nkδ>
Mk=−<ρk(uk−σ)uk.nkδ>−<pknkδ>+<¯τk.nkδ>
Mk=MΓk+pkI∇αk+Fdk
(1.20)
o`u on a pos´e−<pknkδ>def
= pkI∇αk. Le termeMΓk =−<ρk(uk−σ)uk.nkδ> repr´esente le transfert de quantit´e de mouvement dˆu au transfert de masse et s’effectuant aux interfaces et Fdk =<¯τk.nkδ >
correspond `a la force de frottement interfacial s’exer¸cant sur la phase k. Le terme macroscopique de transfert d’´energieEk est alors r´e´ecrit sous la forme :
Ek=−<ρkek(uk−σ).nkδ>−<pkuk.nkδ>−<(qk−¯τk.uk).nkδ>
Ek=−<ρkHk(uk−σ).nkδ>−<pkσ.nkδ>−<qk.nkδ>+<(¯τk.uk).nkδ>
Ek=HkΓ−pkI
∂αk
∂t +Fdk.ukI +QkI
(1.21)
o`u on a pos´e<(¯τk.uk).nkδ>def
= Fdk.ukI. Le termeHkΓ=−<ρkHk(uk−σ).nkδ>repr´esente le transfert d’´energie dˆu au transfert de masse etQkI =−<qk.nkδ>le transfert de chaleur interfacial. En rempla¸cant Mk etEk par les expressions (1.20) et (1.21), le syst`eme (1.19) devient :
∂
∂t(αkρk) + div(αkρkuek) = Γk (1.22.1)
∂
∂t(αkρkuek) + div(αkρkuek⊗uek) +∇(αkpk) + div(−αk(¯τk+ ¯τkT))
=MΓk+pkI∇αk+Fdk+αkρkfvk (1.22.2)
∂
∂t(αk(ρkeek+ρku00k2
2 )) + div(αk(ρkeek+pk+ρku00k2
2 )uek) + div(αk(qk−τ¯k.uek+qTk))
=HkΓ−pkI
∂αk
∂t +Fdk.ukI +QkI +αkρkfvk.uk (1.22.3) Le proc´ed´e d’homog´en´eisation nous a donc conduit `a ´ecrire le syst`eme (1.22) auquel il faut rajouter les conditions d’interface moyenn´ees :
2
X
k=1
Γk= 0 (1.23.1)
2
X
k=1
MΓk +pkI∇αk+Fdk = 0 (1.23.2)
2
X
k=1
HkΓ−pkI
∂αk
∂t +Fdk.ukI +QkI = 0 (1.23.3)
Un tel mod`ele est dit bi-fluides. N´eanmoins, cette forme g´en´erale constitue un syst`eme ouvert et nous verrons les diff´erentes relations de fermeture dans le prochain paragraphe 1.4. Il reste de plus `a mod´eliser un certain nombre de termes tels que Γk, pk,τ¯k,¯τkT,MΓk, pkI,Fdk,fvk,qk,qTk, HkΓ,ukI, QkI et c’est ce que nous d´ecrivons maintenant.
Commen¸cons par la mod´elisation de pk. Dans un fluide pur, la pression est fonction de la masse volumique et de l’´energie interne. Nous ferons l’hypoth`ese que la pression moyenne suit cette mˆeme loi d’´etat :pk=pk(ρk,eεk).
On s’int´eresse `a pr´esent aux termes de transfert interfacial li´es au transfert de masse Γk,MΓk, HkΓ. Dans la suite du travail, le transfert de masse n’est pas pris en compte (Γk = 0) et par cons´equent les termes MΓk, HkΓ s’annulent ´egalement. Les conditions d’interface `a l’´echelle microscopique se r´esument
`
a ukI = uI =<σ> pour les vitesses. Notons simplement que la mod´elisation du transfert de masse est un point qui pose de r´eelles difficult´es et que souvent on utilise les approximationsMΓk =ukIΓk et HkΓ=HkIΓk. Toute la difficult´e de la mod´elisation repose alors sur l’approximation du terme Γk.
G´en´eralement, le terme de transfert de chaleur QkI est consid´er´e comme ´etant ´egal `a l’expression α1α2ρk(hsk−hk)/τ o`uhsk d´esigne l’enthalpie sp´ecifique de saturation de la phasek.
Quand au terme de force de frottement interfacial Fdk, son expression d´epend extrˆemement de la topologie de l’´ecoulement et il existe un grand nombre de corr´elations dans la litt´erature. La partie prin-cipale de ce terme est la force de traˆın´ee. Pour les ´ecoulements `a bulles, on rencontre souvent l’expression suivante o`uCf est une constante positive :
Fdk =−Cfαk(1−αk)ρk(uk−uk0) (1.24) mais il existe beaucoup d’autres corr´elations exp´erimentales. Dans le cadre des mod`eles `a sept ´equations, les travaux [36], [56], [58] justifient, par des crit`eres physiques, la proportionnalit´e au diff´erentiel de vitesses entre phases et on aFdk =λ(uk0−uk) o`uλest un param`etre positif de relaxation qui peut tendre vers l’in-fini dans le cadre des probl`emes `a interfaces ou de d´etonations dans les mat´eriaux condens´es ´energ´etiques.
On consid`ere par la suite que les valeurs moyennes d´efinissent les grandeurs moyennes de l’´ecoulement et on n´eglige les termes de turbulenceρku00k2/2, ¯τkT,qTk.
On supposera aussi que le tenseur des contraintes visqueuses, le flux de chaleur et l’ensemble des forces volumiques ext´erieures sont ´egaux `a leurs valeurs moyennes ¯τk = ¯τk, qk = qk et fvk =fvk. On obtient alors le syst`eme d’´equations suivant :
∂
∂t(αkρk) + div(αkρkuk) = Γk (1.25.1)
∂
∂t(αkρkuk) + div(αkρkuk⊗uk) +∇(αkpk) + div(−αk¯τk)
=MΓk+pkI∇αk+Fdk+αkρkfvk (1.25.2)
∂
∂t(αkρkek) + div(αkρkek+αkpk)uk+ div(αk(qk−τ¯k.uk))
=HkΓ−pkI
∂αk
∂t +Fdk.ukI +QkI +αkρkfvk.uk (1.25.3)
Enfin il reste `a traiter de la mod´elisation des grandeurs interfacialesukI et pkI qui repr´esente un point d´elicat dans la description des ´ecoulements diphasiques. Il est cependant n´ecessaire de se donner ces valeurs pour pouvoir r´esoudre le syst`eme d’´equations. Le choix des valeurs aux interfaces pr´esente deux probl´ematiques : d’une part le “meilleur” choix pour ces valeurs peut d´ependre des applications et d’autre part ce choix peut modifier la structure math´ematique du syst`eme [12]. Nous d´etaillerons cette mod´ eli-sation dans le cadre des mod`eles bi-fluides `a six ´equations d´ecrits au paragraphe 1.4.1 et dans le cadre des mod`eles `a sept ´equations de type Baer-Nunziato d´ecrits au paragraphe 1.4.2.