Dans la section pr´ec´edente, nous avons pr´esent´e diff´erentes approches pour r´esoudre le probl`eme de la composition. Ensuite, nous les avons com-
par´ees `a notre approche. Dans cette section, nous nous int´eressons `a un probl`eme dual au probl`eme de la composition, `a savoir le probl`eme de la synth`ese de contrˆoleurs, pour les syst`emes `a ´ev´enements discrets. Nous com- men¸cons par pr´esenter bri`evement quelques travaux dans ce domaine. En- suite, nous expliquerons o`u r´eside la dualit´e entre le probl`eme de la compo- sition et le probl`eme de contrˆole.
2.3.1 Synth`ese de contrˆoleurs
La th´eorie du contrˆole des syst`emes `a ´ev´enements discrets a ´et´e introduite par Ramadge et Wonham [RW89] et a fait l’objet de diff´erents travaux de recherche [KG95, CS06]. Dans cette th´eorie, les syst`emes `a ´ev´enements dis- crets repr´esentent des syst`emes dynamiques qui ´evoluent selon l’occurrence de certains ´ev´enements. Concr`etement, ces syst`emes peuvent repr´esenter : un r´eseau routier, un r´eseau de communication ou un syst`eme robotique. Formellement, ces syst`emes sont repr´esent´es par des automates finis sur une alphabet d’´ev´enements. Par ailleurs, le comportement d’un syst`eme est repr´esent´e par le langage reconnu par l’automate.
Dans l’approche propos´ee par Ramadge et Wonham, le probl`eme de la synth`ese de contrˆoleurs consiste `a d´eterminer l’existence d’un syst`eme, nomm´e contrˆoleur, qui a pour objectif de restreindre le comporte- ment/langage d’un syst`eme donn´e, appel´e plant, afin que le comportement de ce dernier soit inclus dans un comportement dit admissible. Formellement, le contrˆoleur est ´egalement repr´esent´e par un automate fini. Quant `a la no- tion de contrˆole elle est repr´esent´ee par le produit synchrone du contrˆoleur et du plant. Cependant, le contrˆoleur ne peut ni contrˆoler ni observer tous les ´ev´enements. D’o`u les notions de contraintes de contrˆolabilit´e et d’ob- servabilit´e, que le contrˆoleur doit satisfaire8. Ramadge et Wonham se sont
´egalement int´eress´es `a la synth`ese de contrˆoleur maximal. Ce dernier permet de restreindre le comportement du plant de sorte `a avoir un comportement ´equivalent `a un comportement souhait´e. Il existe une autre variante de ce probl`eme, celle qui consiste `a restreindre le comportement du plant de sorte `a obtenir un comportement appartenant `a un intervalle de comportements. L’objectif de cette variante est d’´eviter d’avoir un contrˆoleur qui n’ex´ecute aucun ´ev´enement.
Il existe d’autres variantes du probl`eme de la synth`ese de contrˆoleurs. Parmi elles, nous citons celle propos´ee par Arnold, Vincent et Walukie- wicz [AVW03]. Dans cette approche, l’objectif est de contrˆoler le plant afin
8Ces notions sont d´efinies formellement dans le Chapitre 6. Plus pr´ecis´ement, dans la
de satisfaire une formule du µ-calcul. Cette formule, peut repr´esenter par exemple des propri´et´es de vivacit´e de syst`eme. Dans le cas de programmes in- formatiques, une propri´et´e de vivacit´e serait que le syst`eme termine. D’autres approches bas´ees sur la logique sont d´ecrites dans [FP07, PR05b, JK06].
Dans l’approche propos´ee dans [AVW03], ainsi que l’approche de base propos´ee par Ramadge et Wonham, le plant est repr´esent´e par un auto- mate d´eterministe. Le cas o`u le plant est non d´eterministe a ´et´e consid´er´e dans [ZKJ06, BK06, PR05a]. La sp´ecification non d´eterministe est utile, pour la description d’un syst`eme d’un haut niveau d’abstraction. Une autre raison serait que certains ´ev´enement effectu´es par le plant ne soit pas mod´elis´es, `a cause d’un manque d’information. Dans [ZKJ06], le probl`eme de la synth`ese de contrˆoleurs devient : ´etant donn´es un plant et une sp´ecification, d´eterminer l’existence d’un contrˆoleur qui restreint le plant pour obtenir un syst`eme bisimilaire `a la sp´ecification.
2.3.2 Relation entre composition et contrˆole
Dans la section ci-dessus, nous avons vu qu’il existe des approches dans lesquelles le probl`eme de la synth`ese de contrˆoleurs est d´ecrit comme suit : ´etant donn´es un automate P, repr´esentant le plant, un automate S, repr´esentant la sp´ecification `a r´ealiser et des contraintes de contrˆolabilit´e et d’observabilit´e, d´eterminer l’existence d’un automate C, repr´esentant le contrˆoleur tel que : C satisfait les contraintes et le produit synchrone de P et C est ´equivalent `a S. Ici, l’´equivalence peut ˆetre l’´equivalence de traces ou la bisimulation. Il est ´egalement possible de consid´erer des relations de pr´eordre comme l’inclusion de traces et la simulation.
Une description abstraite9 du probl`eme de la composition, que nous
consid´erons, serait la suivante : ´etant donn´es un automate D, repr´esentant le syst`eme disponible10 et un automate B, repr´esentant le but `a r´ealiser,
d´eterminer l’existence d’un automate M, repr´esentant le m´ediateur11 tel
que : le produit asynchrone de D et M est ´equivalent `a B.
La diff´erence ´evidente entre ces deux probl`emes est le produit consid´er´e. Dans la description du probl`eme de la synth`ese de contrˆoleurs, le produit synchrone permet de restreindre le comportement du plant en utilisant le
9Dans le mod`ele que nous consid´erons, nous distinguons les actions de communication
et les actions internes des services. De plus, nous consid´erons des pr´econditions et des effets, dans les transitions.
10L’automate
D repr´esente un ensemble de n services disponibles. Formellement c’est un produit asynchrone de n automates.
11Dans notre mod`ele, le m´ediateur permet aux services disponibles de communiquer. Il
contrˆoleur. En revanche, dans la description du probl`eme de la composition, le produit asynchrone permet d’enrichir le comportement du syst`eme dis- ponible en utilisant le m´ediateur. C’est pour cette raison que nous pouvons dire que le probl`eme de la composition est le dual du probl`eme de la synth`ese de contrˆoleurs.
Dans le Chapitre 6, nous donnons le d´etail de la r´eduction du probl`eme de la composition vers le probl`eme de la synth`ese de contrˆoleurs, en consid´erant un probl`eme de la composition moins abstrait que celui d´ecrit ci-dessus. L’id´ee intuitive de la r´eduction est la suivante. Nous consid´erons un m´ediateur, appel´e large m´ediateur. Ce dernier, peut ex´ecuter toutes les actions `a partir de son ´etat initial. L’objectif est de contrˆoler le syst`eme compos´e de ce m´ediateur et du syst`eme disponible, en consid´erant que les actions effectu´ees par le large m´ediateur sont les seules actions observables et contrˆolables.