Après avoir donné les repères épistémologiques, nous sommes donc amenés à préciser le cadre didactique qui sous-tend notre étude. Il s’agit de revenir tout d’abord sur le type de dispositif que nous envisageons de questionner, les situations didactiques de recherche de problème, leurs caractéristiques et objectifs, mais surtout leur action envisagée sur le système de connaissance des élèves et le produit de ces actions. Pour cela après avoir rappelé quelques éléments sur les dispositifs didactiques qui mettent au cœur de leur réflexion des recherches de problèmes nous reviendrons sur la définition d’une SDRP et les dialectiques/connaissances savoirs attendues dans la mise en œuvre de telles situations.
La suite du chapitre est consacrée aux outils choisis pour l’étude des transformations du système de connaissances des élèves, en appui, en particulier, sur les travaux de Bloch, Gibel et Muller.
52 Chapitre 3. Cadres théoriques. Aspects didactiques
3.1 Les situations didactiques de recherche de problème (SDRP)
3.1.1 Des dispositifs portés par la résolution de problème en classe
La thèse récente de Marie-Line Gardes, (Gardes, 2013), positionnant très clairement les développements récents par rapport aux travaux déjà anciens sur le thème, nous ne reprenons pas ici l’historique et la revue des dispositifs didactiques qui se sont développés autour de la ré-solution de problème. Nous insistons toutefois sur quelques points et, en particulier, la question des objectifs des dispositifs évoqués. Gardes s’appuyant sur les écrits initiaux de Polya autour du problem-solving, (Polya, 1945), (Polya, 1954), (Schoenfeld, 1985) insiste sur la conception du problem-solving qui place la résolution de problème au cœur des mathématiques. Dans cette conception la résolution de problèmes est, entre autres, le moyen d’une appropriation par les étudiants de certaines façons de faire expertes. Dans ce cadre,
la pratique de référence est donc celle des mathématiciens, vus comme des per-sonnes « disposant d’un ensemble large et structuré de ressources : savoirs mathé-matiques académiques (concepts et théorèmes), savoirs pratiques allant des algo-rithmes, routine procédures jusqu’aux heuristiques ou problem-solving strategies ». (Gardes,2013, p.54)
Mais Gardes met en évidence que les propositions de Schoenfeld associent fondamentalement heuristiques et savoirs :
Cette approche de la résolution de problèmes laisse donc une place centrale aux savoirs mathématiques. Si elle constitue un but à part entière, elle est aussi vue comme favorisant une meilleure compréhension des concepts et théorèmes enseignés. (Idem)
Toutefois, dans ces propositions novatrices au XXesiècle sur l’approche des mathématiques en classe, l’accent est mis sur les heuristiques, et la philosophie des mathématiques sous-jacente ne permet sans doute pas le développement d’une réflexion conjointe sur les objets mathéma-tiques et les savoirs en jeu.
Si cette conception de la résolution de problèmes met en évidence la place cen-trale des savoirs mathématiques et un lien avec les concepts enseignés, elle ne nous semble pas assez mettre en lumière l’aspect dialectique de l’activité de recherche mathématique entre la mobilisation, l’acquisition des connaissances et le dévelop-pement d’heuristiques. (Idem)
Dans la même optique, dans la revue des dispositifs français qui se sont ancrés sur la résolu-tion de problèmes, Gardes met en évidence les différentes orientarésolu-tions qui se sont développées. Elle évoque le dispositif pensé à l’IREM de Lyon, (Arsac et al.,1991) et (Arsac et Mante,2007) autour des problèmes ouverts où l’accent est mis sur la pratique de résolution de problèmes et non sur l’apprentissage de nouvelles connaissances, les ateliers MATh.en.JEANS, (Duchet et Audin,2009) qui vise à faire en sorte que les élèves deviennent eux-mêmes des chercheurs, les situations de recherche pour la classe de Math-à-modeler, (Grenier et Payan,2002), où
L’objectif premier des situations recherche pour la classe « est donc la résolu-tion (au moins partielle) d’une quesrésolu-tion dont on ne connaît pas la réponse, et non l’apprentissage ou le travail d’une notion mathématique désignée » (Site internet de l’équipe, http://mathsamodeler.ujf-grenoble.fr/).(Gardes,2013, p.53)
Il est à noter que les travaux prenant comme objet le développement d’heuristiques lui-même n’ont jamais fait leur preuve. Il est indéniable que les travaux de Polya sur la logique du raison-nement plausible en mathématiques, ainsi que ceux de Lakatos sur « preuves et réfutations » ont mis au jour l’importance d’une approche s’écartant des lois de la logique déductive classique
3.1. Les situations didactiques de recherche de problème (SDRP) 53
pour l’étude de la découverte en recherche de problèmes, en révélant dans cet type d’activité le rôle de différentes formes de raisonnement, généralisations, particularisations et analogies et également le rôle des erreurs et des réfutations comme sources de découverte, les dialectiques, les notions de domaine de validité, la question de l’objet de connaissance. Ils ont ainsi ou-vert la voie à l’étude de l’usage de la résolution de problèmes à l’école pour l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques. Toutefois, comme le rappelle Julo :
Il est vrai que la méthode proposée par Polya n’a jamais fait ses preuves et ceci, comme l’a remarqué très tôt un spécialiste de la résolution de problèmes en mathé-matiques, parce que « nous savons trop peu de choses à propos de la manière dont les sujets utilisent les règles heuristiques et absolument rien à propos de la manière dont ils adaptent ces heuristiques à différentes sortes de problèmes. » (Kilpatrick, 1969). (Julo,2002, p.3)
Ainsi,
En dehors du fait que rien ne permet d’étayer, ni théoriquement ni empirique-ment, les fondements de cette approche, le risque de faire « de la résolution de problèmes pour la résolution de problèmes », indépendamment de toute finalité conceptuelle, est grand. (Ibid., p.4)
Dès lors, dans la diversité des approches, il semble aujourd’hui premier d’interroger la place laissée à l’institutionnalisation des savoirs dans les dispositifs proposés. C’est ce que tente le groupe de recherche DREAM, auquel nous contribuons, (Aldon et al., 2010). Les choix concernant la place et le rôle des savoirs mathématiques ont de profondes incidences aussi bien du point de vue épistémologique que didactique. Nous reviendrons sur cette question dans la section suivante quand nous préciserons les objectifs que nous donnons aux situations didactiques de recherche de problèmes.
3.1.2 Décrire l’activité de recherche de problème
Les éléments épistémologiques déjà présentés sur l’activité mathématique permettent d’en-visager de fonder un point de vue didactique axé sur l’activité du sujet et la relation qu’il entretient avec les objets en jeu. Ce point de vue a déjà été mis en avant et éprouvé dans différents travaux. En particulier l’étude du caractère expérimental de l’activité mathématique s’appuie désormais en particuliers sur les écrits de :Bkouche (1982, 2008), Chevallard (1992),
Perrin (2007),Dias(2008), Durand-Guerrier(2010), Giroud(2011) et Gardes (2013). Pour Gardes à nouveau :
[...] l’aspect expérimental des mathématiques se fonde sur deux principes in-trinsèquement liés. Le premier est l’existence d’un mode empirique de constitution de certains objets mathématiques. Le recours à cette dimension expérimentale en-traîne alors le second principe : la mise en œuvre d’une démarche expérimentale qui se caractérise par des allers et retours entre les objets (naturalisés et/ou en cours de naturalisation) par des confrontations, des vérifications et des argumentations. (Gardes,2013, p.34)
Plus précisément, pour Durand-Guerrier
la multiplication des expériences, en appui sur des objets, des méthodes et des connaissances naturalisées pour le sujet, favorise l’élaboration de nouveaux objets conceptuels et de leurs propriétés, de résultats nouveaux et de leurs preuves, et contribue de manière essentielle au processus de conceptualisation (au sens de Ver-gnaud). (Durand-Guerrier,2010, p.5)
54 Chapitre 3. Cadres théoriques. Aspects didactiques
Ces nouveaux objets conceptuels trouvent dans un premier temps au moins, leur place dans une « théorie locale » qui « comporte les définitions, les énoncés théoriques assumés (axiomes), et certaines propositions considérées comme vraies, découlant ou non des axiomes. » ( Durand-Guerrier,2005b, p.19)
Dans l’étude de ces allers-retours entre objets naturalisés et objets en cours de conceptua-lisation, Gardes a mis l’accent sur les actions du sujet en introduisant la notion de « geste ». Elle fait l’hypothèse suivante :
La dimension expérimentale des mathématiques fournit un terrain propice pour travailler les aspects dialectiques de l’activité mathématique entre la mobilisation, l’acquisition de connaissances et le développement d’heuristiques. (Gardes, 2013, p.35)
et met en évidence des invariants dans l’heuristique de la découverte, des invariants qu’elle traduit dans cette notion de geste. Gardes définit la notion après analyse de points de vue philosophique et épistémologique, deCavaillès(1994),Châtelet(1993),Bailly et Longo(2003) et didactiques deChevallard(1996),Durand-Guerrier(2005a),Dias(2008) et propose la définition suivante :
Un geste est un acte de mise en relation d’objets mathématiques dans une inten-tionnalité. C’est une opération qui s’accomplit en s’incarnant dans une combinaison de signes, soumise aux règles d’emploi de ces signes. Il possède un pouvoir de créer dans sa possibilité d’ouvrir le champ des possibles dans le travail mathématique, en saisissant l’intuition au moyen d’un geste dans l’expérience. (Gardes,2013, p.144) Elle met alors en évidence dans un cadre arithmétique (l’étude de la conjecture d’Erdös Strauss) sept gestes qui permettent l’analyse car :
Les gestes mettent en évidence le recours aux connaissances mathématiques dis-ponibles et mobilisables, le rôle des objets mathématiques en jeu, les heuristiques développées, la complexité des raisonnements mis en œuvre et les origines et la nature des avancées de la recherche.(Gardes,2013, p.188)
Ces gestes sont : — Désigner des objets
— Réduire le problème aux nombres premiers — Introduire un paramètre
— Construire des exemples et les questionner — Effectuer des contrôles locaux
— Transformer l’équation initiale — Implémenter un algorithme
Par exemple, et pour ce qui nous concernera particulièrement, Gardes définit ainsi les gestes « Désigner des objets », « Construire des exemples et les questionner » et « Effectuer des contrôles locaux », (Ibid., p.159) :
- Désigner des objets :
Désigner un objet, c’est représenter cet objet par le langage ou un signe (dé-finition du Petit Larousse 2001). Cela permet d’indiquer précisément la nature de ces objets. S’effectuant dans la manipulation d’objets mathématiques, ce geste se situe dans l’espace opératoire mais va permettre progressivement de faire passer le travail mathématique sur les objets dans l’espace combinatoire. Il permet ainsi de mettre en évidence le travail mathématique à l’articulation des deux espaces, com-binatoire et opératoire. La désignation des objets intervient en premier lieu pour faciliter le travail. En représentant un objet par un signe, on peut ensuite effectuer
3.1. Les situations didactiques de recherche de problème (SDRP) 55
des opérations sur les signes, sans toujours se référer aux objets qu’ils désignent. [...] Ajoutons que ce geste permet d’exploiter les aspects expérimentaux du problème en favorisant la manipulation des objets en jeu. Sans désignation des objets, leur manipulation est rendue difficile. Ce geste nous semble donc primordial pour entrer dans une démarche expérimentale de recherche.1
Ce premier geste confirme que cette approche renvoie directement à une dimension sémio-tique.2 Gardes privilégie toutefois la notion de geste pour rendre compte de l’activité effective du sujet.
- Construire des exemples et les questionner
Ce geste se décompose en deux actions. La première est la détermination d’une méthode de construction des exemples à partir de manipulations des objets mathé-matiques naturalisés en jeu dans le problème. La seconde est un questionnement de ces différents exemples dans le but d’en dégager des informations. Plusieurs types d’informations peuvent être tirés de ces exemples. Un questionnement sur de nom-breux exemples se base sur la recherche de régularités dans le but d’aboutir à une généralisation. Un questionnement des exemples particuliers, par exemple des ex-ceptions à une certaine propriété, permet de mieux cerner les difficultés liées à la résolution du problème. (Ibid., p.161)
Au-delà de de la généralisation possible à partir d’exemples de même type, il nous semble nécessaire de questionner l’intégration des faits observés dans un système en cours d’élaboration. Ainsi il pourrait être utile de tenter une généralisation de ce geste pour le traitement d’exemples qui n’engendrent pas une généralisation mais qui permettent la structuration d’un modèle.
- Effectuer des contrôles locaux
Effectuer des contrôles locaux, c’est vérifier les différentes étapes des manipula-tions et combinaisons de signes dans les écritures mathématiques. Il s’agit de faire référence aux objets désignés par les signes en les positionnant au premier plan. Ce geste se situe donc à l’articulation des espaces combinatoire et opératoire. Lorsque le travail mathématique se situe dans l’espace combinatoire, les contrôles locaux permettent « de plonger » ce travail dans l’espace opératoire avec un retour aux objets mathématiques en jeu dans la résolution du problème, (Ibid., p.161).
Ces gestes, identifiés par Gardes par l’étude d’une situation dans le champ de l’arithmé-tique, trouvent pour certains une pertinence immédiate dans d’autres champs dont le champ géométrico-arithmétique qui sera le nôtre. Ces gestes pourront donc nous être utiles pour les analyses.
Dans un autre cadre théorique et avec un regard porté sur la dialectique preuve-définition3,
Ouvrier-Buffet (2013) propose un ensemble d’opérateurs pour l’analyse4. Dans ce qu’Ouvrier-Buffet appelle la « conception Lakatosienne » ces opérateurs permettent de décrire l’activité du sujet dans l’étude de problèmes intramathématiques et/ou de classification. Sans développer le cadre général mis en place autour de la définition nous rappelons ici les sous-opérateurs de l’opérateur RL5 : « formuler un nouveau problème », (ibid., p.68) :
1. « En référence aux définitions de Morris, le geste combinatoire, geste sur les signes, relève de l’étude syntaxique et le geste opératoire, geste sur les objets mathématiques renvoie aux aspects sémantiques. »
2. Nous verrons dans la section suivante comment nous serons amenés à développer cette dimension. 3. Qui dans sa dimension heuristique a un lien avec notre problématique
4. Il s’agit ici d’invariants dans le modèle de conception de Balacheff : Deux niveaux d’invariants inter-viennent : les opérateurs (R) qui permettent d’agir sur la situation et les structures de contrôle (Σ) qui justifient et valident l’utilisation des opérateurs, (Ouvrier-Buffet,2013, p.21)
56 Chapitre 3. Cadres théoriques. Aspects didactiques
- générer des exemples et/ou des contre-exemples (recherche d’un processus pour une génération systématisée) ;
- questionner la validation et la portée de faits expérimentaux ; étudier des cas limites ;
- formuler un lemme ;
- formuler une nouvelle conjecture, interroger sa validité et sa généralisation (voir ci-dessous) ;
- structurer une stratégie (de preuve ou de définition ou de recherche d’algo-rithme ou autre), interroger sa validité et sa généralisation ;
- structurer un plan de preuve ;
- formuler des sous-problèmes : il s’agit en particulier de l’étude de cas particu-liers et de la question de la généralisation des résultats alors obtenus par une telle étude ;
- formuler un problème plus général ;
- formuler le problème dual (et définir le dual du concept en jeu) ; - interroger la validité de la preuve ;
- problématiser d’autres preuves.
Aussi bien pour Gardes que pour Ouvrier-Buffet les invariants identifiés permettent d’étudier l’activité mathématique effective d’un sujet confronté à la résolution d’un problème de recherche et pour Gardes
Le recours à ces gestes tels que nous les avons définis nous permet de montrer comment un sujet agit sur le problème afin d’avancer dans son étude. Ils produisent « des indices du progrès », terme emprunté à Polya (1945, p.112). (Gardes, 2013, p.163)
Ces invariants nous renseignent ainsi à la fois sur des débuts et sur des fins de processus. Par exemple quand le sujet formule une nouvelle conjecture, il clôt à la fois un processus et en débute un nouveau.
À côté d’une étude des gestes en jeu en situation de recherche, (Giroud,2011, p.19) introduit la notion de concept-problème pour en particulier « décrire les interactions en jeu lors de la pratique de la démarche expérimentale ». Pour Giroud c’est le problème et la notion de concept-problème qui est l’objet central dans l’étude d’une SiRC5 et en particulier par la possibilité d’analyser l’avancement dans la résolution du problème par l’observation de l’émergence de nouveau problèmes ou sous-problèmes.
Du point de vue des analyses didactiques :
l’utilisation du concept-problème, en particulier de l’espace problème, peut alors être une aide au choix des variables de recherche. En effet, l’espace problème permet de déterminer les liens entre les problèmes et donc d’anticiper sur les nouveaux problèmes que les élèves pourraient être amenés a se poser ainsi que d’identifier les problèmes importants à la résolution. (Giroud,2011, p.37)
Cette vision analytique définit ainsi un problème comme un couple (I, Q) : « l’ensemble des instances du problème (I) peut être décrit par plusieurs paramètres et la (ou les) question(s) (Q) porte(nt) sur ces instances (spécifiant les propriétés de la solution attendue), (Ouvrier-Buffet,
2013, p.59)6. Elle permet donc de définir des variables de recherche, utiles pour identifier les situations didactiques envisageables mais pour Gardes :
5. Situation de Recherche en classe. (Grenier et Payan,2002)
6. Voir p.72 et 73 pour des développements sur les couples (Instance(s), Question(s)) caractérisant les pro-blèmes permettant une activité de définition.
3.1. Les situations didactiques de recherche de problème (SDRP) 57
la notion de concept-problème ne nous semble pas prendre suffisamment en compte le processus dialectique entre la mobilisation, l’acquisition des connaissances et le développement d’heuristiques dans la résolution de problèmes de recherche. (Gardes,2013, p.37)
L’approche de Giroud fondamentalement se pose la question de l’existence d’une situation fondamentale pour un savoir du type « triplet (question, conjecture, preuve) ». Et les problèmes considérés, qualifiés de « nouveaux », le sont non seulement parce que les élèves n’y ont encore jamais été confrontés mais également car ils sont dans le champ des mathématiques discrètes qui n’est pas un champ habituellement fréquenté par les élèves de l’école en France.
Pour ce qui nous concerne, nous allons tenter de développer une voie qui met en évidence l’influence des relations du sujet aux objets lors de l’exploration de la question mathématique considérée et les conceptualisations qui en résultent. Dans l’étude de cette conceptualisation, nous serons pour notre part plus attentifs à identifier dans les allers-retours entre objets en cours de conceptualisation et objets plus familiers l’influence du rapport aux seconds sur la conceptualisation des premiers. Et ceci nécessitera aussi pour nous une étude combinant TSD et analyse sémiotique telle que nous la présentons en fin de chapitre.
3.1.3 Situation didactique de recherche de problèmes en classe de mathé-matiques
La diversité des propositions en termes d’activité de recherche en classe amène donc à la coexistence de dénominations diverses, qui pour la plupart utilisent le terme « situation ». Pour nous qui utilisons le cadre général de la théorie des situations didactiques, le terme « situa-tion » renvoie nécessairement de façon exacte à la théorie des situasitua-tions didactiques. Et donc rappelons-le, les situations didactiques de recherche de problèmes sont :
- des situations didactiques, c’est-à-dire des situations où
le maître cherche à faire dévolution à l’élève d’une situation adidactique qui provoque chez lui l’interaction la plus indépendante et la plus féconde possible. Pour cela, il communique ou s’abstient de communiquer, selon le cas, des informations, des questions, des méthodes d’apprentissages, des heuristiques, etc. L’enseignant est donc impliqué dans un jeu avec le système des interactions de l’élève avec les problèmes qu’il lui pose. (Brousseau,1998, p.60)
- qui soient des situations d’apprentissage, c’est-à-dire des situations où l’élève fasse fonc-tionner ses connaissances et où la réponse initiale que l’élève envisage à la question posée
doit seulement permettre de mettre en œuvre une stratégie de base à l’aide de ses connaissances anciennes ; mais très vite, cette stratégie devrait se révéler suffisamment inefficace pour que l’élève soit obligé de faire des accommodations, c’est-à-dire des modifications de son système de connaissances, pour répondre à la situation proposée. (Brousseau,1998, p.300)
- où le projet commun de l’enseignant et des élèves est avant tout l’engagement dans la