Anticipation du jeu effectif

Pour cette expérimentation l’organisation didactique prévoit quatre temps :

Temps 1

L’enseignante propose un devoir en temps libre à ces élèves (cf. annexeF.2). Le sujet traite des polygones réguliers en lien avec les objectifs du programme de terminale. Un délai d’un mois est laissé avant le retour à l’enseignante. Les étudiants ont la possibilité de solliciter le chercheur durant cette période². À l’issue, les productions sont co-corrigées par l’enseignante

2. Le chercheur a été sollicité par 3 messages, un sur les suites et deux sur les nombres de Fermat. L’enseignante a été sollicité par E4 et E16 qui obtenant ³⁶⁰

n ^{comme formule donnant la mesure en degré de l’angle d’un}

polygone régulier ne retrouvaient pas les valeurs connues. L’enseignante a échangé jusqu’à l’obtention d’une formule adéquate.

8.1. Le modèle expérimental a priori 185

et le chercheur.

Le choix est donc fait d’anticiper sur le temps de recherche en classe la manipulation des objets « polygone régulier » et « angle d’un polygone régulier ». Ce choix se justifie par le rôle de ces objets identifié dans l’étude théorique, la volonté de développer la familiarité des sujets à leur égard sans restreindre pour autant le futur travail sur les pavages. L’organisation des temps 1 et 2 doit par ailleurs permettre les analyses sur la relation des sujets à ces objets.

Le sujet du devoir propose tout d’abord les définitions d’un polygone régulier, d’un polygone régulier convexe, de l’angle d’un polygone régulier convexe, de l’angle au centre d’un polygone régulier convexe, ainsi qu’une propriété caractéristique des polygones réguliers. Quatre thèmes sont ensuite abordés : la mesure en degré de l’angle d’un n-gone régulier convexe, la suite (α_n)_n≥3 des mesures en degré des angles de ces n-gones, la nature des termes de la suite (α_n)_n≥3, les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas. Les thèmes sont, une fois le contexte posé, traités en lien avec le programme de terminale sur les suites, l’algorithmique, la décomposition primaire d’un entier. La question sur la nature des termes de la suite renvoie aux ensembles de nombres côtoyés dans les trois années de lycée. La dernière question évoque les nombres de Fermat et le théorème de Gauss-Wantzel.

— Les définitions : Après la présentation, à titre d’exemple, de l’ennéagone convexe ré-gulier et des trois ennéagrammes, des définitions introduisent les éléments minimaux nécessaires à l’étude de l’angle d’un polygone régulier convexe.

— Les 10 questions :

Questions 2.1.1 et 2.1.2 : Chaque question envisage une démarche pour déterminer une formule donnant l’angle d’un polygone régulier en fonction du nombre n de côtés. Ces démarches sont indépendantes et offrent donc deux possibilités d’aboutir. Une équiva-lence des deux formules peut se faire aisément dans le registre syntaxique. La question 2.1.1 nécessite de l’élève de percevoir sur la figure 1.a. de l’énoncé, la décomposition du polygone en n-2 triangles et de comprendre le lien entre la somme des angles des tri-angles et la somme des tri-angles du polygone. La question 2.1.2, en appui sur la figure 1.b., utilise elle la décomposition du n-gone en triangles isocèles, un calcul d’angle à la base d’un triangle isocèle et la décomposition de l’angle du n-gone en deux angles adjacents égaux. La proposition de deux démarches permet de n’en réussir qu’une et de pouvoir malgré tout poursuivre l’étude. Dans le cas d’un blocage total, les élèves pouvaient faire appel à leurs camarades et/ou au chercheur.

Questions 2.2.1, 2.2.2 et 2.2.3 : Ces questions visent une familiarisation avec la suite des mesures en degré des angles des polygones réguliers. Elles tentent de la réaliser par la manipulation de l’une ou l’autre des formules obtenues en 2.1, aussi bien par des instanciations pour n dans [3; 25] que par l’étude de la suite. La question 2.2.2 nécessitait l’usage de techniques sur les suites vues en première ou terminale. La question 2.2.3 visait le retour au sens, après une étude potentiellement plus formelle.

Question 2.3.1 : Cette question prépare la question 2.3.2 et nécessite de savoir mettre en œuvre un algorithme simple à une entrée. La réussite à la première partie de la question donne la réponse à la deuxième pour autant que les élèves reconnaissent dans la sortie « 2.2.2.3.3.5 » la décomposition en facteurs premiers du nombre 360, donné comme entrée.

Question 2.3.2 : Cette question, qui étudie la nature des α_nen fonction de n, nécessite de l’élève qu’il fasse un lien avec la formule donnant α_nen fonction de n, et d’entreprendre l’étude de ³⁶⁰

186 Chapitre 8. SDRP : confrontation à la contingence (N, D, Q) et la caractérisation de l’écriture des nombres de ces ensembles sous forme fractionnaire. Un appui partiel sur le tableau de la question 2.2.1 est possible.

Questions 3.1.1 et 3.1.2 : Ces questions étudient la primalité des 6 premiers nombres de Fermat : F₀, F₁, F₂, F₃, F₄, F₅. Pour les trois premiers la difficulté se résume à la compréhension de l’écriture des nombres de Fermat. Pour F₃ et F₄ il faut en plus disposer d’un algorithme de décision pour la primalité, savoir en user et le présenter. La solution est donnée pour F₅.

La question 3.2 utilise le théorème donné de Gauss-Wantzel pour déterminer les poly-gones réguliers à n côtés (n≤25) constructibles à la règle et au compas. La structuration

d’une recherche exhaustive est ici nécessaire.

Temps 2

Un travail en classe est organisé autour des productions des élèves, annotées sans excès. L’organisation prévoit une séance d’une heure et cinquante minutes, avec un travail en groupe puis un temps de présentation et de synthèse. Un synthèse écrite (cf. annexe F.3) est distribuée à l’issue.

Les groupes sont organisés en fonction de leur travail en temps libre. Chaque groupe travaille sur une ou deux questions et revient donc sur les premières difficultés rencontrées. Le temps de présentation par chaque groupe des résultats obtenus et le temps de synthèse doivent permettre de revenir sur toutes les difficultés et de créer un début de culture commune sur ces questions, sans se faire d’illusion sur la pertinence de ces modalités pour les élèves les plus en difficulté.

Temps 3

C’est le cœur de la SDRP avec un temps de recherche et de débat fondé sur l’exploration des pavages archimédiens du plan. Les modalités de ce temps sont proches de celles déjà mises en œuvre lors des expérimentations préalables. Deux modifications importantes sont toutefois apportées.

1. Nous prévoyons d’introduire dans le milieu une ressource supplémentaire, des extraits de la « Géométrie » de Dürer (cf. annexe G.3) dans lesquels Dürer « souhaite mettre bout à bout quelques figures polygonales, telles qu’elles peuvent servir dans le pavement des sols.[...] ». Cette introduction se fera après un temps suffisant de recherche qui aura permis de s’assurer de l’apparition, si possible dans tous les groupes, des pavages régu-liers et d’un pavage archimédien non régulier, de l’apparition de la condition nécessaire d’assemblage de polygones autour d’un nœud (somme des mesures en degré des angles égale à 360°), d’un début d’un travail numérique utilisant les mesures en degrés des angles des polygones réguliers, de l’apparition dans certains groupes d’une réflexion sur l’exhaustivité³. Ce document est donc introduit après la construction de la tâche et l’émergence des premiers éléments de l’ensemble qui servira de domaine d’expérience. Ces extraits sont introduits par l’enseignante par une formulation laissant entendre que comme tout chercheur, les élèves peuvent s’appuyer sur les travaux de leurs prédéces-seurs. Le document fourni, présente un décalage dans l’approche des pavages, qui fait que s’il apporte des éléments pertinents, il en apporte d’autres qui ne le sont pas. Une prise de recul est donc nécessaire. De façon plus précise ce document a été construit à partir d’extraits du Livre 2, page 215 à 222 de (Dürer,1995). Il tente dans un volume réduit de rendre compte de l’esprit de la présentation de Dürer avec deux choix :

8.1. Le modèle expérimental a priori 187

• celui de limiter le volume de texte. Ceci est fait à la demande de l’enseignante qui estime

que ses élèves pourraient être déstabilisés par une tâche de lecture trop importante.

• ne pas présenter le paragraphe sur les losanges, seule figure polygonale non régulière

que Dürer associe à son étude.

L’extrait reconstruit rend ainsi compte de la volonté initiale de Dürer de réaliser des assemblages avec un seul type de figure polygonale. Il considère successivement des triangles, des carrés, des losanges, des pentagones, des hexagones, des heptagones et des octogones. Même si ce n’est pas totalement explicite, Dürer considère, au moins au début de cette partie, des polygones réguliers. Il cherche à les associer et présente ainsi les pavages réguliers et des variantes non strictes. Il distingue dans ce document certains pavages suivant l’orientation, en produisant par exemple deux dessins, pour ce qu’on appellerait aujourd’hui une pose droite et une pose diagonale de carreaux carrés. Ainsi si des pavages archimédiens apparaissent, ce n’est pas en tant que tels, mais comme des pavages obtenus en complétant les assemblages obtenus avec un seul type de polygones réguliers mais qui ne pavent pas totalement le plan.

Ainsi les élèves pourront constater que Dürer n’a pas le même objectif qu’eux, même s’il laisse, en fin de texte, la porte ouverte à une étude plus exhaustive laissant à chacun la possibilité d’y réfléchir par lui-même. Les élèves pourront ainsi identifier les 3 pavages réguliers, quelle que soit leur orientation et exclure de l’étude certains pavages car consti-tués avec des polygones non réguliers ou avec des nœuds de types différents. Ils pourront malgré tout retrouver deux pavages archimédiens, non réguliers et les confronter soit à leur propre production, soit à leurs premières conjectures, voire premiers résultats. L’introduction de cette ressource devrait donc :

• permettre une mise en position du chercheur qui dispose des productions de ses

pré-décesseurs,

• permettre une prise de recul par rapport à sa propre recherche, • permettre aux élèves de se questionner sur CN2,

• offrir une possibilité d’observer des pavages non réguliers,

• offrir une possibilité d’échanger sur les pavages non stricts et non archimédiens et de

réaliser un choix,

• soulager les élèves de certaines difficultés de tracés,

• offrir la possibilité de s’engager plus vite dans une démarche numérique,

• a contrario réduire les recherches centrées sur les pavages réguliers, qui, on l’a vu,

peuvent s’avérer favorables,

• faciliter certaines validations en s’appuyant sur des dessins tout en prenant conscience

de la nécessité d’un travail numérique.

Et pour finir précisons que ce document ne fournit pas d’éléments numériques ni de pistes théoriques, comme nous l’avons déjà constaté dans l’étude de la démarche de Dürer. 2. De plus, quelques instants après cette remise de documents, l’enseignante prendra

l’ini-tiative de faire un point avec toute la classe en faisant expliciter les avancées de chaque groupe. Il s’agit ici d’aider à la construction du problème pour ceux qui n’y seraient pas encore parvenus. Bien évidemment, les processus sémiotiques en cours de développement seront impactés. Nous verrons dans quelle mesure et en quel sens.

Il est à noter que des exemplaires du corrigé seront disponibles, accompagnés des photocopies des affiches produites suite au travail en groupes lors du temps 2. L’enseignante pourra les distribuer au moment qu’elle jugera opportun pour compléter les ressources dont disposent déjà les élèves sur leur cahier de travail.

188 Chapitre 8. SDRP : confrontation à la contingence

Temps 4

C’est un temps d’apports complémentaires par l’enseignante d’une dizaine de minutes, en appui sur un document écrit (cf. annexe G.4) sur les pavages archimédiens. Il est prévu à distance du temps 3 (une semaine).

Finalement

Cette organisation prend en compte le possible manque de familiarité avec les polygones réguliers et doit permettre que la mesure des angles des polygones réguliers puissent faire partie du milieu objectif des élèves. Elle doit faciliter la mise en œuvre d’une dimension expérimentale, le développement des argumentations, le contrôle de la pertinence des théories élaborées. C’est cette variable qui est ici mise en avant. Celle qui aurait favorisé fortement un développement de théories sur les pavages réguliers est mise au second plan pour cette instance de la SDRP, même si une telle approche pourra sans doute être observée. On peut aussi préciser ici que le travail préliminaire sur les angles et l’introduction des planches de Dürer détermine notre choix quant à l’usage d’un LGD.