Conclusion

82 Chapitre 4. Pavages archimédiens du plan

4.1 Le problème, une première approche mathématique

4.1.1 Présentation

À l’époque de la publication avec P. Legrand de notre article dans le bulletin vert de l’AP-MEP, (Front et Legrand,2010), nous n’avions pas connaissance d’écrit contemporain présentant de façon détaillée et accessible une démonstration de l’existence des onze pavages archimédiens¹ du plan. Nous la rédigeons ici dans son intégralité pour deux raisons principales :

— Une maîtrise de la question mathématique est bien évidemment nécessaire pour la com-préhension des enjeux de notre écrit. Nous donnons à voir ici une facette des difficultés de cette question mathématique, même si la rédaction et les techniques présentées se voulaient nécessairement esthétiques dans le contexte de publication.

— La littérature concernant les pavages est considérable, très souvent de langue anglaise. Nous citerons, pour les ouvrages de synthèse, le traité deGrünbaum et Shephard(1987), « Tilings and patterns », le livre récent de Conway, Burgiel et Goodman-Strauss, « The symmetries of things », (Conway et al.,2008), très abondamment illustré, et l’ouvrage de Martin (1987), « Transformation Geometry, an Introduction to Symmetry ». Dans ces ouvrages, si les clés sont données, l’absence de développement ne permet absolument pas d’appréhender les enjeux en termes de savoirs de la question étudiée ici.

4.1.2 Les pavages archimédiens du plan

Définition : Un pavage archimédien du plan est un recouvrement du plan par des polygones

réguliers satisfaisant aux conditions suivantes :

- si deux polygones du recouvrement ont un point commun unique, il est sommet de l’un et de l’autre (un tel point sera dit un nœud du pavage) ;

- si deux polygones du recouvrement ont plus d’un point commun, leur intersection est un côté de l’un et de l’autre ;

- la configuration locale en chaque nœud est la même à une symétrie près : si par exemple, en tournant autour du nœud N dans le sens direct, on trouve successivement un m-gone, un n-gone, un p-gone et un q-gone, on trouvera aussi successivement un m-gone, un n-gone, un p-gone et un q-gone en tournant autour de tout autre nœud soit dans le sens direct soit dans le sens rétrograde.

Un peu de vocabulaire

- le type d’un nœud est la liste des nombres de côtés des polygones l’ayant pour sommet, énumérés en tournant autour de ce nœud dans le sens direct ou dans le sens rétrograde. Ainsi le nœud N dont nous parlions précédemment est de type (m,n,p,q), mais il est aussi de type (n,p,q,m) ou (q,p,n,m) ; en revanche, si m,n,p,q sont distincts, il n’est pas de type (m,n,q,p).

- l’ordre d’un nœud est le nombre de polygones du pavage l’ayant pour sommet. Ainsi le nœud N décrit ci-dessus est d’ordre 4.

Pour un pavage archimédien donné, tous les nœuds ont même ordre et même type, qui sont dits ordre et type du pavage. En outre, les côtés des polygones le composant ont tous même longueur.

Remarques initiales

Relation entre l’ordre et le type

1. Contrairement au texte initial, nous décidons ici d’utiliser la terminologie « archimédiens » plutôt que semi-régulier, en suivant en cela, (Grünbaum et Shephard,1977)

4.1. Le problème, une première approche mathématique 83

Figure4.1 – Exemple de nœud d’ordre 4, de type (6,4,3,4)

Si n_i est le nombre de côtés du polygone régulier P_i , ses angles valent α_i = (1− ² n_i^{)π .}

Autour d’un nœud de type (n₁, n₂, ..., n_k) , on a

k



i=1

α_i= 2π

On en tire aussitôt la relation (R) :

k  i=1 1 n_i ⁼ k 2 − 1 Valeurs de l’ordre possibles a priori

On ne peut assembler autour d’un nœud moins de 3 et plus de 6 polygones réguliers. Le premier résultat est évident. Le second découle, avec les notations du paragraphe précédent, de ce que la plus petite valeur possible de α_i est ^π

3 ^{, donc que} k  i=1 α_i ≥ k^π 3^.

Un pavage d’ordre 6 suppose que tous les α_i valent ^π

3 ^{; c’est le classique pavage régulier} par triangles équilatéraux. Nous écarterons désormais ce cas. Il nous faut donc commencer par chercher à assembler autour d’un point 3, 4 ou 5 polygones réguliers ... étant entendu qu’un tel assemblage ne pourra pas forcément être prolongé en un pavage archimédien du plan tout entier.

Pavages d’ordre 3

Avec les notations précédentes, la relation (R) nous donne _n¹₁ +_n¹₂ +_n¹₃ = ¹₂ . Il faudra donc décomposer ¹₂ en somme de trois fractions de numérateur 1, mais une telle décomposition ne fournit pas toujours un pavage, comme le montrent les deux remarques ci-après, qui permettront de limiter le travail.

Lemme 1

Dans un pavage archimédien d’ordre 3, de type (x,y,z), si z est impair, alors x = y.

Supposons d’abord x, y, z tous distincts et observons ce qui se passe quand on décrit dans le sens direct le pourtour d’un z-gone en partant d’un point D (Figure 4.2). Le premier côté

84 Chapitre 4. Pavages archimédiens du plan

Figure 4.2 – Autour de P_i, i impair

longe un x-gone, le second un y-gone, le troisième un x-gone, etc. Quand on arrive au dernier, on obtient, puisque le nombre z de côtés est impair, un x-gone alors que ce devrait être un y-gone compte tenu du type de D.

Supposons maintenant que l’on ait x = z et z = y . Le même travail permet de conclure

à une contradiction : si l’on décrit dans le sens direct le pourtour d’un z-gone en partant d’un point D, les côtés de ce z-gone longent alternativement un z-gone et un y-gone, ce qui exigerait que le nombre de côtés du z-gone décrit soit pair.

Lemme 2

Dans un pavage archimédien d’ordre 3, de type (x, y, z), si z est impair, alors

z = 3.

Nous savons par le lemme 1 que x = y. On a donc ²_y +¹_z = ¹₂, d’où l’on tire y(z− 2) = 4z.

Comme z est impair, z − 2 est impair ; mais il divise 4z, donc il divise z et par suite aussi z− (z − 2) = 2, donc il vaut 1.

Étude du cas z = 3

Figure 4.3 – Pavage de type (3,12,12)

Des calculs que nous venons de faire on déduit aussitôt que y = 12 et donc que le pavage, s’il existe, est du type (12, 12, 3). La figure (4.3) montre qu’un tel pavage existe ; il est unique à une similitude directe près, car une fois choisis un dodécagone de base et l’un des côtés sur lequel on bâtit un triangle équilatéral, la totalité de la construction est déterminée.

4.1. Le problème, une première approche mathématique 85

On peut toujours supposer x≤ y ≤ z. De 1

x⁺¹y ⁺¹z ^{= 1}2 ^{, on tire} x³ ≥ 1

2^{, donc x}≤ 6 , donc x = 6 ou x = 4 .

Le premier cas impose x = y = z = 6 et correspond au classique pavage du plan par des hexagones réguliers. Le second cas donne _y¹ +¹_z = ¹₄; cela exige que y et z soient strictement supérieurs à 4, donc au moins égaux à 6. Mais, puisque y≤ z , on a 2

y ≥ 1

4 ^{, donc y vaut 6 ou} 8. Finalement, on aboutit à (4, 6, 12) et (4, 8, 8).

Figure 4.4 – Pavages (4,6,12) et (4,8,8)

Les figures ci-dessus montrent que de tels pavages existent. Pour la même raison que pré-cédemment, ils sont uniques à une similitude directe près : dans le premier cas, une fois choisis un dodécagone de base et l’un des côtés contre lequel on posera un carré, la totalité de la construction est déterminée ; dans le second cas, une fois placé un carré de base, la construction s’ensuit.

Pavages d’ordre 4

Soit un pavage d’ordre 4 et de type (x, y, z, t) . On classe ces quatre nombres dans l’ordre croissant : (n₁, n₂, n₃, n₄) . la relation (R) établie au début s’écrit ici

1 n₁ ⁺ 1 n₂ ⁺ 1 n₃ ⁺ 1 n₄ ^{= 1.} On en tire _n⁴

1 ≥ 1 , ce qui permet d’affirmer que n₁ vaut 3 ou 4. Si n₁ = 4, les quatre fractions _n¹

i sont au plus égales à ¹₄; leur somme ne peut valoir 1 que si chaque n_i vaut 4. Le type est donc (4, 4, 4, 4) : c’est le pavage régulier par des carrés.

Nous supposons désormais n₁ = 3. On a alors 1 n₂ ⁺ 1 n₃ ⁺ 1 n₄ ⁼ 2 3^,

les n_i étant toujours supposés rangés par ordre croissant, ce qui assure l’inégalité _n³₂ ≥ 2 3^{; donc} n₂ vaut 3 ou 4. Si n₂ = 3, on a 1 n₃ ⁺ 1 n₄ ⁼ 1 3^, donc n₃ > 3. De plus _n²₃ ≥ 1

3 ^{donne n3} ≤ 6. On a donc à essayer pour n₃ les valeurs 4, 5 et 6. On trouve immédiatement n₃= 4, n₄ = 12 et n₃= 6, n₄= 6. Si n₂ = 4, on a 1 n₃ ⁺ 1 n₄ ⁼ 2 3 −¹ 4 ⁼ 5 12^, d’où l’on tire _n²₃ ≥ 5

12 ^{, soit n3} ≤ 24

5 ^{, donc n3}≤ 4 , ce qui prouve puisque n₃ ≥ n₂ , que n₃ = 4 . Il vient alors n₄= 6 .

86 Chapitre 4. Pavages archimédiens du plan

Nous avons, comme liste de valeurs a priori possibles, classées dans l’ordre croissant, (3, 3, 4, 12), (3, 3, 6, 6) et (3, 4, 4, 6). Il nous faut donc examiner la liste de types suivante : (3, 3, 4, 12), (3, 4, 3, 12), (3, 3, 6, 6) (3, 6, 3, 6), (3, 4, 4, 6) et (3, 4, 6, 4). (L)

Tout autre type a priori envisageable se ramène à l’un de ces six. Ainsi, par exemple (4, 3, 3, 12) définit par symétrie le même type que (12, 3, 3, 4), qui par permutation circulaire se ramène à (3, 3, 4, 12).

Un lemme va nous permettre de montrer que quatre de ces six types ne permettent pas de définir un pavage archimédien.

Lemme 3

Il n’existe pas de pavage archimédien de type (3,x,y,z) avec x= z .

La démonstration est voisine de celle du lemme 1. Observons ce qui se passe aux sommets d’un triangle équilatéral ABC du pavage en partant du point A.

Figure 4.5 – Autour d’un triangle Premier cas : x et z différents de 3

Supposons, ce qui n’est pas restrictif, que le côté AB du triangle ABC longe un x-gone. Alors, compte tenu du type du nœud B (et que y soit ou non égal à 3), le côté BC longe un z-gone. Puis, compte tenu du type du nœud C, le côté CA longe un x-gone. On voit alors que le nœud A est du type (3, x, y, z) et donc que x = z .

Second cas : x = 3 ou z = 3

Supposons par exemple x = 3. Dans la liste (L) ci-dessus aucun des types a priori possibles ne présente trois fois le nombre 3. Il nous faut donc étudier la possibilité du type (3, 3, x, z) , avec y et z différents de 3.

Pour un nœud de ce type, la juxtaposition des deux « 3 » signifie que ce point est sommet de deux triangles équilatéraux ayant un côté commun. Il y a donc dans le pavage un triangle équilatéral ABC tel que le côté AB longe un autre triangle équilatéral. Étant donné le type du nœud C, l’un des deux côtés BC et AC, mettons BC, est longé par le triangle ABC et un autre triangle équilatéral. Mais alors le nœud B est de type (3, 3, 3, ...), ce qui est exclu.

Pavages exclus par le lemme 3

Voyons la liste (L) des cas a priori possibles :

(3, 3, 4, 12), (3, 4, 3, 12), (3, 3, 6, 6) (3, 6, 3, 6), (3, 4, 4, 6), (3, 4, 6, 4).

Les types (3, 4, 3, 12), (3, 4, 4, 6), (3, 3, 4, 12) et (3, 3, 6, 6) sont exclus par le lemme 3 comme étant du type (3, x, y, z) avec x= z .

Restent à étudier les deux cas (3, 4, 6, 4) et (3, 6, 3, 6).

Les figures ci-après montrent que de tels pavages existent. Ils sont uniques à une similitude directe près pour la même raison que dans les cas précédents : une fois choisi un hexagone de base, la totalité de la construction est déterminée.

4.1. Le problème, une première approche mathématique 87

Figure4.6 – Autour d’un triangle (2)

Figure4.7 – (3,4,6,4) et (3,6,3,6)

Pavages d’ordre 5

Soit un pavage d’ordre 5 et de type (x, y, z, t, u) . On classe ces quatre nombres dans l’ordre croissant : (n₁, n₂, n₃, n₄, n₅) . La relation (R) établie au début s’écrit ici

1 n₁ ⁺ 1 n₂ ⁺ 1 n₃ ⁺ 1 n₄ ⁺ 1 n₅ ⁼ 3 2^.

Les trois premiers n_i sont égaux à 3, car s’il n’en était pas ainsi on aurait 1 n₁ ⁺ 1 n₂ ⁺ 1 n₃ ⁺ 1 n₄ ⁺ 1 n₅ ≤ ¹ 3 ⁺ 1 3⁺ 1 4 ⁺ 1 4 ⁺ 1 4^;

or le second membre vaut ¹⁷₁₂ , inférieur à ³₂ . Il reste donc à discuter _n¹₄ +_n¹₅ = ¹₂ , avec n₄ et

n₅ au moins égaux à 3. On voit aussitôt que les seules solutions sont (3,6) et (4,4).

Les types a priori possibles sont donc (3,3,3,3,6), (3,3,3,4,4) et (3,3,4,3,4). Les figures ci-dessous montrent que de tels pavages existent.

Le pavage (3,3,3,4,4) est manifestement unique à une similitude directe près. Il en est de même pour le pavage (3,3,4,3,4), mais la démonstration est un peu plus laborieuse ; on peut cependant faire constater que, si l’on choisit comme point de départ deux triangles équilatéraux accolés, on a carte forcée pour l’ensemble de la construction.

En revanche, à partir d’un hexagone régulier donné, on peut construire deux pavages (3,3,3,3,6) se correspondant par symétrie, mais non superposables par déplacement. Si on construit autour de l’hexagone sa couronne de dix-huit triangles équilatéraux, on voit en effet que l’on a deux façons de placer les hexagones suivants. Nous laissons au lecteur le soin de vé-rifier que les deux solutions sont superposables par symétrie, mais non par déplacement. Pour le type (3,3,3,3,6) et lui seul, l’unicité est donc à une similitude directe ou inverse près.

88 Chapitre 4. Pavages archimédiens du plan

Figure 4.8 – (3,3,3,3,6),(3,3,3,4,4) et (3,3,4,3,4)

4.1.3 Premiers commentaires

On retrouve des expressions équivalentes à la relation (R) dans (Grünbaum et Shephard,

1987) et (Martin, 1987). Dans les deux ouvrages la suite est elliptique. Par exemple dans Grünbaum et Shephard :

It is easy to check that only 17 choices of the positive integers n_i satisfy this equation and hence only 17 choices of polygons can be fitted round a vertex so as cover a neighborhood of the vertex without gaps ou overlaps.

La détermination de ces n-uplets d’entiers n’a rien d’immédiat, et reflète une des difficultés du problème qui est l’exhaustivité des n-uplets obtenus. Nous verrons que plusieurs auteurs ont éprouvé des difficultés dans cette étape.

La démonstration présentée, et qui n’est, bien évidemment, qu’une démonstration parmi d’autres, montre d’ores et déjà les relations qui se tissent autour des pavages entre de nombreux objets des champs géométrique et arithmétique. Les objets ici convoqués (polygones, angles, arête, sommet de polygones, nœud d’un pavage, type de nœud, ordre d’un pavage, somme des angles, relation autour d’un nœud, ...) montrent une diversité et une imbrication presque immédiate des deux champs. Il existe des preuves d’apparence moins technique (cf. annexe D) mais comme nous le verrons il semblerait qu’elles nécessitent elles-aussi une familiarité avec un nombre important des objets cités et ceci dans les deux champs.

4.1.4 Quelques possibilités d’ouverture

Nous évoquons dans cette partie quelques éléments de généralisation qui permettent d’inté-grer la question des pavages archimédiens du plan dans des problématiques plus vastes qui ont une certaine importance dans une perspective didactique. Ces questions ont en effet toute leur pertinence, quand on observe qu’elles peuvent apparaître dès le début d’une recherche en classe, comme nous avons pu le constater lors des expérimentations. Ce sont en particulier celles des différences possibles de configuration autour d’un nœud du pavage que nous développons.

Précisons tout d’abord que nous continuons à ne considérer que des polygones réguliers convexes et des pavages stricts. Ainsi nous n’étudions pas les pavages des figures 4.9 et 4.10

ci-dessous. Malgré cette restriction, le problème reste ouvert.

Nous sommes maintenant amenés à introduire des pavages tels que ceux des figures4.11 et

4.12 en nous intéressant spécifiquement aux nœuds de tels pavages.

Pour cela nous introduisons deux définitions que nous reprenons de (Aslaksen,2006, p.1) pour poser le problème.²

2. Nous n’estimons pas utile ici de rentrer dans la discussion sur la définition des pavages demi-réguliers pour laquelle nous renvoyons là aussi à Aslaken (Ibid. page 2) ou àLing(2004)

4.1. Le problème, une première approche mathématique 89

Figure4.9 – Pavage utilisant un polygone régulier non convexe

Figure4.10 – Pavage non strict

Définition 1 : We will define a tiling to be n-Archimedean if it has n different types of vertices, where the type of a vertex refers to the type and order of polygons surrounding the vertex.

Remarque 1 : Les pavages archimédiens du plan sont alors les pavages 1-archimédiens. Remarque 2 : On constate que pour un pavage archimédien donné, avec les symétries as-sociées, tous les nœuds sont équivalents. Il est alors assez naturel d’envisager la généralisation suivante :

Définition 2 :

We will define a tiling to be n-uniform if the group of symmetries of the tiling divide the vertices into n transitivity classes.

Sous ces définitions, on a par exemple, (Lenngren,2009, p.12 et 13) : — There are no n-uniform, m-Archimedean tilings where n < m. — There are no m-Archimedean tilings with m > 14.

— There are no 1-Archimedean, n-uniform tilings for n > 1.

De façon beaucoup plus générale, les travaux de Chavey (1984a,b, 1989), en appui parti-culièrement sur Krötenbeerdt (1970a,b), Grünbaum et Shephard (1987), avaient déjà permis l’énumération des pavages 2-uniform et 3-uniform.

90 Chapitre 4. Pavages archimédiens du plan

Figure 4.11 – Pavage non archimédien

Figure 4.12 – Pavage non archimédien

En 2009, Galebach a produit une table (Table 4.1) donnant les nombres de pavages n-uniform, m-archimédien pour n≤ 6 ainsi pour quelques valeurs de m et n, pour m et n proches.

Voici les indications accompagnant cette table :

I was able to write a computer program that automatically generates complete sets of tilings for a given n. It took approximately one month of computation time to generate the 6-uniform tilings. The program is also able to generate, in considerably less time, sets of m-Archimedean, n-uniform tilings, where m is close to n. This capability was used to reproduce the results of Otto Krotenheerdt and to generate his tilings (where m=n). (Galebach,2009)

Au-delà du peu d’informations que Galebach fournit sur son site, il ne semble pas que des éléments complémentaires soient disponibles dans la littérature sur les méthodes utilisées. Tous les pavages annoncés sont par ailleurs représentés sur le site pour m≤ 7. Récemment,Chavey

(2014), a publié un article traitant des pavages n-uniform utilisant le dodécagone.

Il est notable, pour ce problème ouvert pour la communauté des mathématiciens, que la dimension expérimentale utilise l’outil informatique pour la manipulation des objets familiers. Mais on retrouve également les limites de l’outil quand il ne suffit pas à percevoir un processus, un algorithme de construction et qu’il ne permet que l’accumulation des cas sans les épuiser tous.

4.2 Une perspective historique

Il est clairement impossible de rendre compte ici de l’histoire exhaustive d’objets aussi anciens et familiers que peuvent l’être les pavages. Nous essayons de présenter quelques étapes connues avant de nous attacher à une genèse particulière dans le chapitre 5.

4.2. Une perspective historique 91 m-Archimedean 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > 14 Total n-uniform 1 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 2 0 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 3 0 22 39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 61 4 0 33 85 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 151 5 0 74 149 94 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 332 6 0 100 284 187 92 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 673 7 0 ? ? ? ? ? 7 0 0 0 0 0 0 0 0 ? 8 0 ? ? ? ? ? 20 0 0 0 0 0 0 0 0 ? 9 0 ? ? ? ? ? ? 8 0 0 0 0 0 0 0 ? 10 0 ? ? ? ? ? ? 27 0 0 0 0 0 0 0 ? 11 0 ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 0 0 0 ? 12 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 0 0 0 ? 13 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 ? 14 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 ? > 14 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? Total 11 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞

Table 4.1 – Nombre de pavages pour n et m donnés.

Keller, dans son « archéologie de la géométrie », fait part d’une « invention de la struc-turation de la surface de représentation », apparente sur les plus anciens supports dont nous disposons.

Alors que les parois des grottes ornées ne montrent aucun ordre collectif raison-nablement décelable [...] l’art mobilier (corps humain, outils d’os, pendeloques et rondelles) présente très généralement un décor soigné ; les superpositions sont in-connues et la grande majorité des œuvres manifestent une organisation géométrique rigoureuse. [...] Dans l’art mobilier [...] la structuration est toujours globale, elle imprime un rythme à toute la surface de l’objet : un rythme de frise, fait de trans-lations et de symétries axiales orthogonales. [...] Des frises plus ou moins complexes sont faites de zigzags, de motifs en losanges rainurés, d’associations de rectangles et de tirets ou d’autres encore. (Keller,2006, p.15)

Ainsi, la structuration de l’espace est ancienne et issues de pratiques diverses. Ces pratiques irriguent les productions de très nombreuses civilisations comme en témoigne par exemple (Jones,1856). Dans cette « Grammar of ornament » Jones, laisse à voir la richesse des orne-ments des civilisations d’Océanie, d’Egypte, d’Assyrie, de Perse, de Grèce, de Pompéi, romaine, byzantine, arabe, ... Tous donnent une part importante à la structuration des surfaces, au pa-vage du plan en s’appuyant sur un usage permanent des symétries (au sens large)³. Les motifs sont d’une très grande variété et dans ce foisonnement on ne peut être étonné de retrouver les polygones réguliers et certains pavages archimédiens. Par exemple, et au-delà des pavages réguliers présents partout, on repère (op. cit., Plate XXX) le pavage (3,4,6,4) dans un ornement byzantin, les pavage (3,6,3,6) et l’assemblage (3,3,3,3,6) dans des ornements perses (op. cit., Plate XLV), le pavage (4,8,8) dans des ornements médiévaux (op. cit., Plate LXVIII), ...

Les pavages font ainsi partie de la culture de très nombreux peuples et un art à leur propos existait nécessairement pour aboutir à de telles œuvres. mais nous ne disposons pas à ce jour de textes décrivant cet art du pavage ou des entrelacs, ces derniers étant particulièrement

3. Pour une analyse méthodique des ornements du plan, nous renvoyons ici àBourgoin(1873) et àBourgoin

92 Chapitre 4. Pavages archimédiens du plan

foisonnant dans la culture arabe. Nous nous appuierons donc tout d’abord sur les textes grecs avant d’étudier les textes principaux sur la question.

4.2.1 Les éléments d’Euclide

Il est dit que les pythagoriciens savaient déjà que seuls trois polygones réguliers, le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone régulier sont capables de paver le plan à eux seuls. Qu’en est-il ?

D’après Vitrac, (Euclide, 1990a, p.101), Proclus attribue peu de résultats du Livre I des Éléments aux Pythagoriciens, mais deux d’entre eux en particulier sont retenus : la valeur de la somme des angles du triangle (avec l’idée capitale de l’additivité des angles) et le théorème du triangle rectangle⁴. Par ailleurs pour Proclus, le théorème sur les pavages du plan résulte directement de ce premier résultat et du porisme de la proposition 15 du livre I des éléments

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