Le sujet de cette thèse est vaste ; dans les mathématiques à enseigner, les contenus concernant le discret et le continu sont dispersés ; l’étude du relief, non l’avons vu, est conséquente. Dès lors, nous avons dû délimiter les thèmes à étudier, parmi ceux des programmes officiels du lycée. Discret et continu jouent un rôle central et interagissent pour les suites et les fonctions d’une part, et les probabilités discrètes et continues d’autre part, tout en jouant ce rôle de façon différente, ne serait-ce que par leur affichage dans les programmes et par l’ordre d’apparition du discret et du continu. En algorithmique et dans les mathématiques discrètes du lycée par exemple, les interactions entre discret et continu sont a priori moins nombreuses.
C’est pourquoi nous focalisons nos questions de recherches sur les thèmes de l’analyse et des probabilités, au niveau lycée.
La méthodologie est en partie spécifique à chacun, nous la détaillerons dans les parties correspondantes. Cependant, elle est guidée par des idées directrices communes.
1. La problématique
Notre but est de dresser un état des lieux, un paysage partiel mais signifiant, sur le discret et le continu, qui nous permette d’aboutir à des propositions concernant les variables sur lesquelles il est possible de jouer : le savoir à enseigner et les tâches et les déroulements proposées aux élèves, dans le but d’impacter positivement les apprentissages des élèves compte tenu de leurs conceptions spontanées, leurs connaissances anciennes et de leurs difficultés.
Or discret et continu ne font pas l’objet de définitions ni de théorèmes.
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Nos études portent donc sur des notions du thème de l’analyse ou de celui des probabilités qui, elles, font l’objet de définitions et de théorèmes et embarquent du discret et du continu (fonctions, suites, valeur moyenne, variables aléatoires discrètes et continues).
Pour chacune de ces notions : Concernant le savoir savant :
- Où le discret et le continu se logent-ils, où et comment interagissent-ils ? - Quels prolongements sont possibles de l’un à l’autre, quelles ruptures ?
Concernant le savoir à enseigner et ce qui est proposé aux élèves, nous nous posons les questions suivantes : - À travers quoi le discret et le continu sont-ils mobilisés ? Cela peut être à travers des notions, notations,
tâches, techniques, outils numériques, expériences et conceptions identifiées dans mon analyse épistémo-mathématique…
- Comment discret et continu se traduisent-ils en termes d’activité ? Quel discours est tenu sur le discret et le continu ?
- Qu’est-ce qui permet de construire le discret, le continu ? Concernant les activités observées des élèves :
- Quelles difficultés ont-ils concernant le discret et le continu, quelles sont celles qui sont liées aux interactions entre eux ? Sur quels appuis peut-on construire des apprentissages les ?
2. La méthodologie
a) Le relief - les mathématiques
Dans un premier temps, nous identifions les notions à enseigner porteuses d’aspects du discret ou d’aspects du continu identifiés dans la partie I.
Nous faisons une brève analyse mathématique de ces notions à un niveau théorique proche mais supérieur à celui de la classe de Terminale, en prenant pour focus les différents aspects du discret et du continu.
Certaines notions se déclinent en deux « versions », l’une dans le discret et l’autre dans le continu. Les deux versions présentent des analogies tout en étant en partie différentes. Ainsi, nous mettrons en correspondance d’une part suites et fonctions (continues et dérivables) et d’autre part variables aléatoires discrètes et variables aléatoires continues.
Pour ce qui est des mathématiques à enseigner, nous analysons les programmes officiels ainsi que les documents officiels qui les accompagnent, un échantillon de manuels, d’exercices extraits de sujets du Diplôme National du Brevet (DNB) et du Baccalauréat.
L’analyse porte sur les jeux de cadres et de registres, de changements de point de vue, le caractère outil ou objet qui interviennent dans les différents contenus. Nous portons une attention particulière aux notations car celles-ci peuvent induire un caractère discret ou continu. Par ailleurs, un contexte, intra ou extra mathématique, peut être porteur de l’un ou l’autre caractère. Le type de nombres mobilisés, entiers ou non entiers est aussi un indicateur de caractère discret ou continu des contenus. Enfin, les outils numériques utilisés, offrent des fonctionnalités qui soutiennent l’un ou l’autre caractère.
Nous détaillons particulièrement l’analyse des introductions des notions identifiées au préalable, ainsi que les expositions de connaissances associées, dans lesquelles nous pensons trouver une grande partie des traces du discret et du continu ainsi que du méta qui les entoure.
Pour des raisons évidentes, les exercices dont les tâches font intervenir des aspects du discret et du continu, ou des deux, identifiés préalablement, sont eux aussi ciblés.
En ce qui concerne nos analyses de manuels, nous tenons à préciser que celles-ci sont partielles en ce qu’elles ne concernent qu’un ou deux chapitres du manuel. Par conséquent, en aucun cas nos résultats ne peuvent constituer un jugement sur l’intégralité d’un manuel ou d’une collection.
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b) Le relief - les aspects cognitifs
Afin d’identifier les difficultés des élèves et leur conceptions spontanées, nous avons balayé un large spectre de données :
- Des copies provenant de devoirs surveillés en classe et d’épreuves du Baccalauréat ; - Des travaux d’élèves faits en classe, seuls ou en groupe ;
- Des entretiens que nous avons menés avec un ou deux élèves à la fois sur le thème des suites ; - Le récit de la séquence sur les suites dans une de nos classes de Première S ;
- Une analyse de séance d’introduction aux probabilités continues en Terminale S.
Les effectifs de copies et de travaux d’élèves sont parfois réduits à une trentaine. Dans ce cas, les fréquences calculées n’ont pas une grande valeur statistique, mais elles donnent malgré tout une idée de la répartition des productions des élèves.
Nous n’aborderons pas les problématiques des élèves en grande difficulté scolaire. Le Ministère de l’Éducation Nationale qualifie ainsi les élèves « qui, à un moment de leur scolarité, sont en échec, ou considérés en échec,
dans leur parcours d’apprentissage et ne parviennent pas à approcher les compétences attendues »23. Les
difficultés de ces élèves dépassent largement le champ des mathématiques. Elles ne rentrent donc pas dans notre champ d’étude.
Ce sont les difficultés des élèves qui sont liées aux notions de discret et continu qui nous intéressent, dans le cas d’élèves ayant une scolarité dans un contexte (social, culturel, familial, de santé…) sans grande particularité.
Ainsi, nous avons choisi les élèves avec lesquels effectuer les entretiens selon les critères suivants :
- Ils se sont montrés sérieux au long de l’année : ils ont fait le travail demandé, ont été attentifs en cours ;
- Leurs notes montrent qu’ils réussissent convenablement en mathématiques dans l’ensemble mais ont des difficultés avérées en ce qui concerne les suites ;
- Ils sont motivés par le fait de passer du temps en entretien afin de revenir sur les difficultés qu’ils ont eues et de mieux réussir (leur Terminale lorsqu’ils sont en Première, le Bac lorsqu’ils sont en Terminale).
Compte tenu du côté diffus des notions de discret et de continu dans les mathématiques à enseigner, nous avons inclus des analyses « du côté des enseignants » concernant leurs pratiques, leurs conceptions du discret et du continu à travers l’enseignement de l’analyse et des probabilités.
Ainsi, nous avons analysé les réponses de futurs enseignants, étudiants en Master MEEF, à des questions ciblées sur les suites et les fonctions.
Concernant les enseignants en exercice, nous avons joué sur un large spectre de données adaptées à ce que nous recherchons : un questionnaire sur leur enseignement des fonctions ainsi que l’analyse d’une séance en classe et d’un échantillon de capsules vidéo sur internet qui ont pour thème l’introduction aux probabilités continues.
Les manuels et les énoncés d’examens nationaux sont, à la fois, des ressources pour les enseignants et produits par des enseignants. En cela, les manuels et les énoncés d’examens nous renseignent à la fois sur les mathématiques à enseigner et sur les pratiques et les conceptions des enseignants.
Le sujet de recherche étant nouveau, et les questions posées dans le cadre de ce travail étant vastes, il nous a semblé important que les données proviennent de sources variées et larges. Il n’y a pas de souci d’exhaustivité dans nos choix, un objectif d’exhaustivité nous semble par ailleurs illusoire à ce stade de notre recherche.
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Diagramme récapitulatif de la méthodologie Légende :
Le savoir savant (1)
Le savoir à enseigner (2) : documents officiels (a) ; manuels (b) ; épreuves nationales (c)
Les tâches et déroulements proposés aux élèves (3) : enseignants (a) ; manuels (b) ; épreuves nationales (c) Les activités observées des élèves (4)
Explications :
Pour une notion faisant l’objet de définitions et de théorèmes dans le programme officiel :
L’étude du savoir savant (1) permet de chercher les analogies, correctes, erronées ou absentes, entre des notions, des techniques sur les suites et les fonctions d’une part, les variables aléatoires discrètes et continues d’autre part.
Les flèches signifient « est nécessaire en vue de ».
Ainsi, l’étude du savoir savant sur une notion permet l’analyse des documents officiels (2a) concernant cette notion. Soulignons que nos analyses de documents officiels concernent le collège et le lycée général et s’arrêtent à 2017.
Ces analyses permettent celles de manuels, d’énoncés d’épreuves nationales qui complètent l’analyse du savoir à enseigner sur cette notion particulière (2b et c).
Les manuels et les épreuves nationales renseignent aussi sur ce qui est proposé aux élèves (3 b et c) mais aussi sur les pratiques des enseignants qui en sont les concepteurs (3a).
L’étude sur ce qui est proposé aux élèves est complétée à travers des analyses de capsules internet qui sont courtes vidéos de cours, de questionnaires aux enseignants, de séances en classe (3a).
Les analyses le sont en termes d’analyse de tâches (au sens large, incluant les expositions de connaissances), particulièrement de mise en fonctionnement des connaissances des élèves, avec une attention particulière sur les changements de cadre, de registre, de point de vue, sur le discours concernant de près ou de loin le discret et le continu. Mais aussi en termes de déroulement s’il y a lieu (c’est le cas des séances d’enseignement, des capsules internet).
Nous accédons aux difficultés des élèves et aux points sur lesquels on peut s’appuyer en termes de connaissances anciennes, de conceptions spontanées, par le biais d’analyses de séances, d’entretiens et de copies (4).
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