Dans les mathématiques à enseigner au collège et en seconde générale

Nous allons brièvement analyser dans les programmes et quelques manuels de collège et de classe de seconde des vingt dernières années la façon dont la fonction et sa représentation graphique sont introduits ainsi que les types de tâches qui y sont préconisées. La mise en perspective des différentes approches officielles et l’étude de leur évolution nous permet de mieux souligner les caractères discret et continu de ces approches ainsi que les interactions entre les mondes du discret et du continu qu’elles permettent, encouragent (ou pas). A ces niveaux d’enseignement, la continuité d’une fonction n’est pas abordée ; cependant, la façon dont la notion de fonction et sa représentation graphique sont introduites, les tâches dans lesquelles les fonctions sont outil, les types de nombres mobilisés (entiers, rationnels…) contribuent à conférer un caractère discret ou continu à cette notion.

Nous nous poserons la question de savoir si la fonction est introduite en tant qu’objet. Dans ce cas, quelle est (quelles sont) la (ou les) définition(s) proposée(s) ? Quelles propriétés en sont étudiées ?

Est-elle introduite en tant qu’outil ? Dans ce cas, outil de résolution de quel type de tâche ?

Quelle incidence ce mode d’introduction peut-il avoir sur le caractère discret ou continu qui peut lui être attribué par l’élève ?

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Vandebrouck (2011) propose d’analyser le domaine de travail des fonctions à la transition lycée-université à travers le filtre de trois perspectives :

- La perspective globale qui met en jeu les propriétés de la fonction sur un intervalle (par exemple la continuité ou la dérivabilité sur un intervalle, le sens de variation) ;

- La perspective locale qui met en jeu les propriétés de la fonction « sur un voisinage d’un point aussi

petit soit-il » (par exemple la continuité ou la dérivabilité en un point) ;

- La perspective ponctuelle, qui ne met en jeu que la valeur de la fonction en un point. Certaines pro- priétés globales sont ponctuelles universelles (par exemple la parité, la périodicité, la croissance par positivité de la dérivée).

Au niveau d’enseignement que nous considérons ici, seules les perspectives ponctuelle et globale sont présentes, les propos qui suivent ne font par conséquent pas référence à la perspective locale.

La représentation graphique d’une fonction est porteuse à la fois des perspectives ponctuelle et globale au collège et au lycée. Par exemple, elle est un ensemble de points, elle permet de lire des images et antécédents, de résoudre des équations, ce qui relève de la perspective ponctuelle. Elle permet aussi de conjecturer le sens de variation ou la convexité, de résoudre des inéquations, de chercher un extremum absolu, ce qui relève de la perspective globale.

Il nous parait raisonnable de faire l’hypothèse que la perspective ponctuelle véhicule un caractère exclusivement discret ; que le continu ne peut être véhiculé que par la perspective globale à ce niveau d’enseignement. Nous appuierons en partie nos analyses sur ce filtre.

Une question de notre travail concernant le discret et le continu sur le thème des fonctions se pose, dans le cadre graphique, dès lors qu’un nombre fini de points de la représentation graphique d’une fonction est placé dans un repère. Relie-t-on alors les points ? Pourquoi ? Si oui, comment ? Par des segments de droite, par une courbe de fonction de classe C1 _{(ce que certains auteurs de manuels qualifient de « façon régulière et}

continue » et qui revient aux courbes « lissées » sur les tableurs) ?

Nous porterons aussi une attention particulière au caractère discret ou continu des ensembles de définition des fonctions abordées ; aux glissements éventuels d’ensembles discrets de nombres à des intervalles de ℝ ; aux utilisations des courbes de fonctions continues ou continues par morceaux dans des contextes discrets. Nous relèverons le type de nombres (entiers ou pas) utilisés par les manuels dans les activités préparatoires, dans les expositions de connaissances et les exercices sur le thème des représentations graphiques de fonctions.

a) Les programmes de Troisième et de Seconde depuis 1999

Lors de la réforme des mathématiques modernes, les fonctions sont définies dès la classe de cinquième par un processus de correspondance, donc dans une perspective ponctuelle. Les ensembles de départ et d’arrivée sont finis. Les fonctions sont dans le monde du discret.

En classe de quatrième, l’ensemble ℝ est introduit et les ensembles de définition des fonctions sont étendus à des ensembles infinis, dont ℝ ; le graphe d’une fonction 1 définie sur un ensemble ^ et à valeurs dans un ensemble _ est défini en tant qu’ensemble des couples /; ) tels que / ∈ ^ et ) 1 / .

En classe de Troisième, la notion de représentation graphique d’une fonction est introduite sur le cas particulier des fonctions linéaires et affines ; cette notion embarque une perspective globale d’autant plus porteuse de caractère continu que la représentation graphique est une droite.

Les programmes officiels qui se sont succédés depuis la réforme des mathématiques modernes ont modifié l’approche de la notion de fonction.

Pour une meilleure mise en perspective de l’évolution des notions de fonction et de représentation graphique d’une fonction, et en vue d’une meilleure compréhension de l’approche actuelle, examinons les éléments des programmes de collège, puis de la classe de seconde, faisant référence aux fonctions et leurs représentations graphiques d’un passé plus récent.

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Dans ce qui suit, nous analysons les programmes officiels depuis 1999, dans lesquels les notions de fonctions et de représentation graphique de fonction sont introduites formellement en classe de Troisième. Par contre, la notion de graphe d’une fonction est absente.

i. _{Le programme officiel de 1999 pour la classe de Troisième}

Dans ce programme24_{, la notion de fonction n’est abordée que dans le contexte des fonctions linéaires et}

affines. Celles-ci sont définies selon un processus de correspondance. Ce type de définition relève de la perspective ponctuelle, elle est porteuse du caractère discret.

Les recherches d’image et d’antécédent (ce dernier n’est pas nommé, il est décrit comme « le nombre ayant une image donnée ») occupent une place importante, tant dans le registre algébrique que le registre graphique.

Le programme officiel ne comporte pas de définition de la représentation graphique de fonction. Cependant, la représentation graphique y fait l’objet de nombreux « commentaires » décrivant des types de tâches attendues :

- Lecture de coordonnées de points (qui relève de la perspective ponctuelle) ;

- Interprétation graphique des coefficients de la fonction affine (qui relève des perspectives ponctuelle et globale) ;

- Lecture de sens de variation, d’extremum de la fonction (qui relève de la perspective globale). Les représentations graphiques des fonctions linéaires et affines font aussi l’objet d’une activité de démonstration ; ainsi, il y est écrit, dans les commentaires page 112 : « L’énoncé de Thalès permet de

démontrer que la représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine […] La représentation graphique de la fonction affine peut être obtenue par une translation à partir de celle de la fonction linéaire associée. »

La propriété : « la représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine » se démontre à ce niveau par condition nécessaire et suffisante.

La condition : « tout point ` /; ) appartenant à la droite passant par a et par le point S de coordonnées 1; est tel que ) / » se démontre aisément avec le théorème de Thalès dans le cas où / et sont positifs. La réciproque s’énonce comme suit : « pour tout nombre (réel) /, si ) / et si ` /; ) alors ` appartient à la droite passant par a et S ». Elle peut se démontrer de la façon suivante : le point d’abscisse / de la droite aS a pour ordonnée / d’après le sens direct. C’est le point `, qui est donc sur aS . Ce raisonnement nécessite la propriété : « pour tout / (de la droite réelle) il existe un point et un seul de aS d’abscisse / ». Cela fait intervenir :

- Une bijection de l’ensemble des réels sur l’axe des abscisses (qui à tout réel associe le point d’abscisse ce réel) ;

- Une bijection de l’axe des abscisses sur la droite aS qui à tout point de l’axe des abscisses associe le point de la droite aS de même abscisse. Dans le cadre géométrique, cette bijection implique que la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par le point de coordonnées /; 0 coupe la droite aS en un et un seul point.

Pour conclure la démonstration, sur un graphique, l’enseignant peut montrer par un double geste (continu) que lorsque / décrit la droite réelle représentée par l’axe des abscisses, les points de aS d’abscisse / décrivent aS .

Les deux sens de cette démonstration mobilisent un jeu de cadre entre les cadres géométrique, graphique et algébrique. Selon la classification de Vandebrouck (2011), elle se situe dans une perspective ponctuelle universelle. Cependant, la droite, dans le cadre géométrique, embarque le monde du continu et avec elle le continu des nombres réels représentés sur l’axe des abscisses. De ce point de vue, la démonstration de la réciproque est particulièrement riche.

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Le programme de 1999 demande d’utiliser une translation pour « obtenir » la représentation graphique d’une fonction affine à partir de celle de la fonction linéaire associée. La translation transforme les droites en droites. La représentation graphique d’une fonction affine est donc elle aussi une droite, un objet continu.

Par ailleurs, dans les « compétences » exigibles sur la proportionnalité du même programme officiel, il est écrit page 113 :

« Dans des situations mettant en jeu des grandeurs, l’une des grandeurs étant fonction de l’autre,

- Représenter graphiquement la situation d’une façon exacte si cela est possible, sinon d’une façon approximative,

- Lire et interpréter une telle représentation. »

Les représentations graphiques sont donc présentées comme des outils de gestion de données pour l’étude de phénomènes dans lesquels une grandeur est fonction d’une autre.

Remarquons qu’il est difficile de comprendre ce que le programme officiel entend par représenter graphiquement « d’une façon exacte » ou « d’une façon approximative ».

Et dans le cas de grandeurs discrètes, comment ce programme suggère-t-il de représenter graphiquement la situation ? Par un ensemble discret de points ou par une (demi) droite ?

ii. Le programme du collège de 2005 pour les classes de 5e _{et de 4}e

Le Bulletin Officiel n° 5 du 25 aout 2005 apporte des modifications aux programmes des classes de 5e _{et de 4}e_.

L’alignement de points sur une droite, dans le cadre graphique, apparait dans la colonne des « compétences » (celle du milieu) comme un outil de caractérisation de la proportionnalité de deux « suites » de nombres en classe de 4e _:

Extrait du Bulletin Officiel du 25 aout 2005 page 17

Les points dont il est question peuvent être en nombre fini ou infini, voire former un ensemble continu. Ainsi, le mot « suite » est utilisé ici pour des listes de nombres qui peuvent être finies comme infinies - ce qui n’exclut pas des ensembles continus de nombres. Pour cette raison, ce mot ne nous parait pas approprié.

Dans les « commentaires » (colonne de droite), il est écrit que les élèves « peuvent démontrer que si les points

sont alignés avec l’origine alors il y a proportionnalité entre les suites définies par les abscisses et les ordonnées de ces points. La réciproque est admise. Cette propriété caractéristique de la proportionnalité prépare l’association, en classe de 3e_{, de la proportionnalité à la fonction linéaire. »}

La démonstration que ce programme propose de faire avec les élèves est celle du sens direct de la propriété étudiée au paragraphe précédent.

En juillet 2005, un document « Ressources pour les classes de 6e_{, 5}e_{, 4}e _{et 3}e _{du collège », intitulé} « Proportionnalité au collège », est édité par Éduscol. Page 4, on peut lire :

« Toute situation de proportionnalité est modélisable par une fonction linéaire. Dans cette perspective,

il convient d’être attentif, avec les élèves, au domaine d’adéquation du modèle mathématique avec la situation traitée, en ayant soin de préciser, chaque fois, le domaine de signification de la fonction – définie, elle, sur l’ensemble des (réels) –dans le contexte de la situation traitée (qui impose souvent une restriction à un intervalle ou à un nombre fini de valeurs). »

Ce document invite les enseignants en classe de 3e_{, dans ce passage,}

- À considérer que la fonction utilisée pour modéliser la situation de proportionnalité étudiée est définie sur ℝ ;

- À questionner avec les élèves le « domaine d’adéquation » de ce modèle continu avec le phénomène étudié. Ce « domaine » dépend de l’ensemble des valeurs prises, théoriquement, par les mesures des

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grandeurs dans la situation étudiée ; à ce niveau d’enseignement, il peut s’agir d’un intervalle (exprimé par une locution du type « tous les nombres entre… » ou « tous les nombres supérieurs ou égaux à… ») ou d’un ensemble discret de valeurs (fini ou non).

iii. Le programme du collège de 2008

Le Bulletin Officiel n°6 du 28 aout 2008 édite de nouveaux programmes pour toutes les classes de collège. En classe de 4e_{, ce qui concerne la proportionnalité dans le cadre graphique est modifié comme suit :}

- Le « commentaire » sur la démonstration de l’alignement des points disparait ; - Le reste du contenu est conservé mais passe hors socle commun.

Le support continu que constitue la droite subsiste donc mais n’est plus mobilisé dans une activité de démonstration. Le jeu de cadres entre les cadres géométrique, graphique et algébrique, sollicité par la démonstration de l’alignement des points disparait.

En classe de 3e_{, les fonctions sont introduites en tant que notion à part entière, dégagée des notions de}

fonctions linéaires et affines, à étudier hors socle commun. Dans les « commentaires » il est précisé que « toute

définition générale de la notion de fonction et la notion d’ensemble de définition sont hors programme ».

Alors quelle(s) définition(s) d’une fonction est envisagée ? Une piste de réponse se trouve dans les « capacités » attendues des élèves concernant les notions d’image et d’antécédent : « déterminer l’image d’un

nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule. »

Or si une courbe ou une formule permettent de définir une fonction, ce n’est pas le cas d’un tableau de données – à moins que l’ensemble de départ soit fini ou que le type de la fonction soit connu (et que la fonction dépend d’un nombre fini de paramètres).

Ce programme vise-t-il des fonctions dont l’ensemble de définition est fini ? Compte tenu de l’extrait du document « Ressources » de 2005 cité ci-dessus qui incite à modéliser les phénomènes par des fonctions définies sur ℝ, nous en doutons. Les élèves ne disposant pas de fonction de référence, il ne s’agit pas non plus de fonctions de type connu.

Il s’agirait donc d’un prolongement implicite du discret fini au continu.

Le programme de 2008 comporte des « capacités » attendues, hors socle commun, sur les représentations graphiques de fonctions linéaires et affines. Les élèves doivent savoir représenter graphiquement les fonctions linéaires et affines ; connaitre la relation entre les coordonnées /; ) d’un point d’une droite que constitue l’équation réduite de la droite et savoir que cette relation est caractéristique de l’appartenance du point à la droite. Le vocabulaire de coefficient directeur et d’ordonnée à l’origine fait partie des connaissances attendues hors socle commun.

Notons que les démonstrations concernant les représentations graphiques de fonctions linéaires et affines ne sont pas mentionnées par ce programme officiel.

iv. _{Le programme de 2015 pour le cycle 4}

Le Bulletin Officiel du 26 novembre 2015 définit le programme pour l’ensemble du cycle 4, c’est-à-dire pour les classes de 5e_{, 4}e _{et 3}e_.

Chaque thème est décliné en deux colonnes : celle de gauche correspond aux « connaissances et compétences

associées » au thème ; celle de droite correspond aux « exemples de situations, d’activités et de ressources pour l’élève ». Les thèmes (en gras) comme les sous-thèmes sont énoncés par des verbes d’action à l’infinitif :

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Extrait du Bulletin Officiel du 26 novembre 2015 page 372

En collège, la proportionnalité ou non-proportionnalité entre deux grandeurs peut ainsi être, selon le terme employé par le Bulletin Officiel, « exprimée » dans le cadre algébrique, le cadre graphique ou le cadre numérique (avec le registre des tableaux de valeurs).

Les exemples concrets qui y sont mentionnés mobilisent des grandeurs continues. Remarquons que, cependant, l’ « expression » de la relation entre les grandeurs, dans le cas d’une représentation d’un nuage de points ou d’un tableau de valeurs, se situe dans le discret fini.

Extrait du Bulletin Officiel du 26 novembre 2015 page 373

Les fonctions y sont décrites comme des outils de modélisation de phénomènes continus qui permettent de résoudre des problèmes. Ce programme marque l’abandon de la modélisation d’un phénomène discret par un objet du monde du continu et par conséquent la nécessité de questionner le « domaine d’adéquation » du modèle.

Par ailleurs, il préconise d’aborder la notion de fonction dès la classe de 5e_{, par l’étude de « relations de}

dépendance entre grandeurs mesurables ». Il donne une liste de huit exemples à « étudier et commenter »,

dans lesquels les grandeurs sont continues.

Les modes de définition d’une fonction envisagés dans le programme de 2008 (par une courbe, un tableau de données, une formule) ne sont plus mentionnés. Aucune définition de la notion de fonction n’est proposée. Par contre, ce programme préconise le jeu entre « différents modes de représentation ».

Les notions d’image et d’antécédent sont toujours présentes. Cependant, elles n’ont pas la place prépondérante qu’elles tenaient dans les deux programmes officiels précédents. Les fonctions n’apparaissent plus seulement comme un « processus de correspondance » entre des valeurs numériques (qui relève de la perspective ponctuelle), mais aussi comme un outil de modélisation de la dépendance de deux grandeurs continues mesurables (qui relève de la perspective globale, dans le monde du continu) : la fonction « relie » les deux grandeurs. Par voie de conséquence (du moins pouvons-nous le supposer), la notion de variable

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mathématique figure dans les « connaissances et compétences » attendues, en amont de celles d’image et d’antécédent. Sans pour autant en proposer une définition.

Par rapport au programme précédent, le contexte d’étude de phénomènes continus amplifie la perspective globale des fonctions ; la démonstration de la nature de la représentation graphique d’une fonction linéaire disparait totalement et avec elle le continu de la droite dans le cadre géométrique. Les représentations graphiques des fonctions sont cependant toutes des courbes (au sens défini en préambule de cette partie). Les tâches de recherches d’images et d’antécédents ne sont pas exclues, elles n’occupent cependant plus la place qu’elles avaient auparavant. L’étude des fonctions s’inscrit donc dans le monde du continu.

v. _{Conclusion concernant les programmes de collège depuis 1999}

En 1999, la fonction linéaire est la première fonction rencontrée par les élèves, en classe de Troisième, suivie par la fonction affine. Les fonctions font donc d’emblée partie du monde du continu. Un travail sur les notions d’image et d’antécédant est attendu, dans les cadres algébrique et graphique.

La modélisation d’un phénomène discret par une fonction continue peut donner lieu à une discussion sur ce que le document ressource de 2005 nomme le « domaine d’adéquation » de ce modèle continu.

Dans les deux programmes officiels suivants de 2008 et de 2015, la notion de fonction est introduite dans une relative généralité, dégagée du cas particulier des fonctions affines.

En 2008, les fonctions doivent être « déterminées par une courbe, un tableau de données ou une formule » ; la fonction apparait comme un « processus de correspondance ». D’après notre analyse supra, ces fonctions sont implicitement définies sur un intervalle de ℝ ; dans le cas de leur « détermination par un tableau de données », elles correspondent à un prolongement implicite du discret fini au continu.

Les notions d’image et d’antécédent sont les seules pour lesquelles des « capacités » sont attendues des élèves.

Le cas particulier des fonctions linéaires et affines tient tout de même une place prépondérante ; elles doivent être travaillées dans les cadres algébrique et graphique.

Dans le prolongement du programme de 2008, les fonctions sont à nouveau introduites dans une relative