C. Suites et fonctions en Première et Terminale série S
1. Dans les mathématiques à enseigner au cycle Terminal du lycée, série S
Nous restreindrons cette analyse à la série S, les séries ES et L ayant des versions allégées des programmes de la série S, qui n’offrent pas d’intérêt particulier dans notre travail.
Les suites sont introduites en classe de Première dans les deux derniers programmes officiels (de 2000 et de 2010) alors que les élèves ont étudié les fonctions réelles à valeurs dans ℝ depuis la classe de Troisième, dans une (relative) généralité depuis 2008. Leur étude se poursuit en classe de Terminale (programmes officiels de 2001 et de 2011).
Nous nous bornerons à l’analyse des derniers programmes en date. En effet, dans les grandes lignes, le texte a peu évolué au cours de cette décennie ; notons la disparition de l‘étude numérique, sur un ou deux exemples, de la rapidité de convergence d’une suite, ainsi que de la notion de suites adjacentes. Nous développerons particulièrement les « contenus » et « capacités » qui sont porteurs du caractère discret des suites ou de possibles interactions avec les fonctions définies sur un intervalle de ℝ.
En cohérence, nous analyserons trois manuels et des énoncés de Baccalauréat de la série S.
Les questions de perspectives (ponctuelle, ponctuelle universelle, locale, globale) seront évoquées. La perspective ponctuelle est porteuse de caractère discret ; cependant, la perspective globale n’est pas nécessairement porteuse de caractère continu dans un contexte discret, ce qui la rend moins pertinente dans notre analyse concernant les suites que dans celle sur les fonctions définies sur un intervalle de ℝ .
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a) Dans les programmes de Première et de Terminale de la série S
i. Les suites dans le programme de Première S de 2010
Dans la partie « Organisation du programme », sous partie « Analyse » dans laquelle figurent suites et fonctions, le programme officiel en vigueur en septembre 201135 stipule : « Un des objectifs de ce programme
est de doter les élèves d’outils mathématiques permettant de traiter des problèmes relevant de la modélisation de phénomènes continus ou discrets ». Puis que « L’étude de phénomènes discrets fournit un moyen d’introduire les suites et leur génération ». Les phénomènes discrets y apparaissent donc comme des outils
d’introduction aux suites ; réciproquement les suites doivent être mobilisées en tant qu’outils de résolution de problèmes par la modélisation de phénomènes discrets et, pourquoi pas, continus.
Voici l’extrait du programme officiel de Première S entré en vigueur en 2011 sur le thème des suites :
Extrait du programme officiel de Première S de 2010 page 3
Il n’indique pas de définition spécifique pour la notion de suite ; on comprend qu’il s’agit de la notion de suite numérique. Or les suites numériques peuvent être définies selon deux points de vue différents :
- Une suite numérique est une liste infinie (dénombrable) ordonnée de nombres réels ; - Une suite numérique est une fonction de ℕ dans ℝ36.
La première définition permet aisément celle de sous suite, ce qui n’est pas le cas de la seconde. Les sous suites ne figurent cependant pas au programme officiel du lycée et les effets du choix de l’un ou l’autre point de vue concernant les sous suites ne peuvent se constater au lycée.
35 Bulletin officiel spécial n°9 du 30 septembre 2010
36La formalisation des suites en tant que fonctions de ℕ dans ℝ vient de Peano à la fin du XIXe siècle. Alors que les
107 Modes de génération
Au programme officiel figurent les « modes de génération » des suites. Il s’agit certainement de la génération par une expression en fonction de la variable, que nous nommerons « forme explicite » et de celle par une relation de récurrence, que nous nommerons « forme récurrente ».
Bien entendu, la génération par « forme explicite » est identique à la définition d’une fonction par son expression algébrique ; et nous avons vu dans la partie III A que certains élèves ont pu être exposés à des exemples de fonctions définies sur ℕ en classe de Seconde, le lien entre les deux notions peut ainsi être fait. Dans certains cas, l’expression de 9 en fonction de ( peut se prolonger à un intervalle c ; +∞c où ∈ ℕ, ce qui permet de définir simplement une fonction 1 de c ; +∞c dans ℝ telle que pour tout ( ∈ c ; +∞c ∩ ℕ, 9 1 ( .
La « forme récurrente » introduit un point de vue nouveau dans le thème de l’analyse, qui est propre au discret dénombrable : en l’absence de tout autre donnée, les termes de la suite ne peuvent être calculés que de proche en proche, chacun ayant un prédécesseur (sauf le premier terme) et un successeur. Ce mode de génération apporte un aspect « dynamique » à la définition de la suite.
Dans le cas le plus simple, la relation de récurrence exprime un terme en fonction de son prédécesseur et la forme algébrique de cette relation permet d’écrire qu’il existe une fonction réelle d’une variable réelle • telle que pour tout ( ∈ ℕ, 9 • 9 .
Notons que les fonctions réelles d’une variable réelle 1 (nommons-la « fonction qui définit ») et • (nommons- la « fonction qui génère ») telles que 9 1 ( et 9 • 9 ne sont pas uniques ; les expressions algébriques peuvent permettre d’en identifier une simplement.
Dans le thème des suites, des « fonctions qui définissent » et des « fonctions qui génèrent » coexistent ; de plus, les suites sont des fonctions particulières qui ne se distinguent des « fonctions qui définissent » que par leur ensemble de définition. Ces incursions aux multiples facettes de la notion de fonction dans le thème des suites sont une source potentielle de difficultés pour les élèves. Nous aurons l’occasion de le vérifier dans la partie III. C. 2.
Les outils numériques
Le tableur et l’algorithmique permettent, chacun à leur manière, de mettre en scène les différences entre les deux.
Habituellement, sur tableur, une colonne des valeurs de ( est créée et les valeurs de 9 sont générées dans la colonne qui la jouxte à droite. Si la suite est définie par une « fonction qui définit », la « fonction » rentrée pour générer les termes en faisant glisser la poignée de recopie vers le bas prend pour argument la valeur située à sa gauche. Dans l’exemple ci-dessous, le contenu de la cellule D3 est calculé à partir de celui de la cellule C3 :
Si la suite est définie par une « fonction qui génère », la « fonction » rentrée sur le tableur pour générer les termes en faisant glisser la poignée de recopie vers le bas prend pour argument la valeur située au-dessus. Dans l’exemple ci-dessous, le contenu de la cellule D4 est calculé à partir de celui de la cellule D3 (dans laquelle il est d’ailleurs nécessaire de rentrer une valeur numérique qui est le premier terme de la suite) :
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La différence entre les deux modes de génération est matérialisée par le fait que l’argument de la « fonction » entrée se situe dans deux colonnes différentes et par la nécessité de rentrer le premier terme de la suite dans le cas où elle est définie par récurrence.
L’algorithmique figure au programme officiel de Première. Un algorithme est un moyen de définir les suites selon l’un ou l’autre des deux modes de génération. Prenons un exemple classique en langue naturelle :
À l’issue de ces deux algorithmes, si l’entier @ a été au préalable affecté à la variable algorithmique p, la variable algorithmique U contient le terme 9€ de la suite géométrique de premier terme 9 3 et de raison 2, le premier via sa forme récurrente, le second via sa forme explicite.
La présence de l’instruction « Pour… Fin Pour » matérialise le calcul « de proche en proche » des termes lorsqu’ils sont définis par une relation de récurrence.
Dans les deux algorithmes, le nom de la variable algorithmique U ne comporte pas l’indice du terme calculé ; dans le cas de l’algorithme 1, i contient successivement toutes les valeurs de l’indice B (1 ≤ B ≤ @) et U contient successivement toutes les valeurs de 9• qui sont « écrasées » de proche en proche.
Le nom de la variable mathématique (qui est l’indice) ne peut pas figurer dans celui de la variable algorithmique U, ce qui pourrait être une source de difficulté pour les élèves.
Les représentations graphiques
Les représentations graphiques des suites figurent dans la colonne « capacités » du programme officiel, en face du « contenu » « sens de variation ». Le programme ne spécifie pas le type de représentation graphique attendu.
Une suite peut être représentée dans un repère en dimension 2 par l’ensemble des points de coordonnées (; 9 : les points sont isolés par opposition aux fonctions continues que les élèves côtoient habituellement. Si la suite est définie par une relation du type 9( 1 ( (1 définie sur un intervalle c ; +∞c où ∈ ℕ ), les points isolés se situent sur la courbe représentative de la fonction 1.
Une suite peut être représentée sur une droite munie d’un repère par l’ensemble des points d’abscisse 9(. Dans le cas où la suite est définie par une relation de récurrence du type 9(+1 • 9( , les points peuvent être obtenus par une construction dans le plan faisant intervenir la première bissectrice et la courbe représentative de la fonction •. Ce type de représentation est parfois nommé « en escalier », en escargot ». Ce type de représentation requière un travail dans le cadre graphique faisant intervenir les notions d’images et d’antécédent du cadre fonctionnel, de symétrie du cadre géométrique.
Les suites arithmétiques et géométriques figurent au programme officiel de Première. Les termes des unes comme des autres peuvent être générés selon les deux modes décrits ci-dessus.
(Algorithme 1) U=3
Pour i allant de 1 à p
U prend la valeur 2×U Fin Pour
(Algorithme 2)
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Remarquons que la « fonction qui définit » une suite géométrique est à un facteur près une fonction exponentielle qui n’est pas encore définie à ce niveau d’enseignement.
Le programme officiel ne spécifie pas les notations à adopter. La notation usuelle du terme général d’une suite 9 est bien entendu 9 , cependant rien n’empêche d’utiliser la notation fonctionnelle 9 ( , qui est d’ailleurs celle des calculatrices graphiques des élèves du lycée.
Les calculatrices du lycée permettent d’entrer les suites selon les deux modes de génération. La variable est alors par défaut nommée (. Cela permet entre autres de calculer un terme d’indice donné, générer un tableau de valeurs, obtenir une représentation graphique - par points isolés, ou en « escalier » si la suite est définie par récurrence.
Lorsqu’une suite est définie par récurrence par la donnée de 9 en fonction de 9 , selon les modèles de calculatrices, les élèves peuvent entrer la relation de récurrence telle quelle ou devoir la modifier pour exprimer de 9 en fonction de 9 r . Ceci constitue une tâche en soi, à laquelle les élèves peuvent être préparés par un travail de type algébrique sur la notation indicielle.
Si la suite est définie par une « fonction qui définit », les élèves peuvent en obtenir un tableau de valeurs en l’entrant dans le mode « fonction » de la calculatrice (la variable se nomme alors / par défaut), puis régler le pas à 1. S’ils font appel à la représentation graphique, ils obtiennent celle de la fonction définie sur c ; +∞c.
La notion de limite est abordée « à partir d’exemples ». La définition formelle ne figure donc pas.
Le sens de variation des suites
Attardons-nous sur le contenu intitulé « sens de variation d’une suite numérique » ; pour simplifier le propos, nous nous bornerons au cas de la stricte croissance d’une suite
Le programme officiel ne spécifie pas quelle définition du sens de variation d’une suite est attendue. Or deux énoncés équivalents caractérisent la stricte croissance d’une suite :
• ∀( ∈ ℕ, 9 < 9 , qui est celui qui est habituellement énoncé au lycée comme dans le supérieur. Il relève de la perspective ponctuelle universelle. Cet énoncé fait intervenir tout terme et son succes- seur ; en cela, il relève aussi de la perspective locale dans le monde du discret et a un aspect dynamique (propriété qui se « passe » d’un rang au suivant).
• J∀( ∈ ℕ, ∀@ ∈ ℕ, DB ( < @ C8AD 9 < 9€K, qui est celui de la stricte croissance d’une fonction, dou-
blement quantifié, restreint à ℕ. En pratique, il n’offre d’utilité que lorsqu’il est établi que la suite est croissante ; il permet alors d’en déduire la comparaison de termes non consécutifs d’une suite. Il re- lève de la perspective globale.
La démonstration de l’équivalence des deux énoncés est à la portée d’un élève de Terminale mais pas d’un élève de Première puisqu’elle comporte un raisonnement par récurrence.
Donner le premier énoncé en définition en classe de Première n’exclut pas de « donner une intuition » aux élèves que le premier énoncé implique le second et de montrer avec eux que le second implique le premier. Cela présente l’intérêt :
- De légitimer l’utilisation du vocabulaire commun aux suites et aux fonctions quant à leur sens de va- riation (« sens de variation », « croissant », « décroissant », « monotone » sont utilisés pour les suites comme pour les fonctions) ;
- D’étendre explicitement l’aspect local de la monotonie d’une suite à un aspect global, ce qui justifie la propriété parfois mobilisée au lycée : si 9 est croissante alors pour tout ( ≥ ( , 9 ≥ 9 ….
Il est aussi possible de souligner les points communs entre la monotonie des suites et celle des fonctions dans le cadre graphique, lorsque les suites sont représentées dans un repère du plan par des points isolés.
En classe de Première, la preuve de ce que tout terme est inférieur au terme suivant mobilise le plus souvent une des méthodes suivantes :
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- La comparaison du quotient de deux termes consécutifs à 1 dans le cas d’une suite à termes stricte- ment positifs ;
- La propriété : si une fonction 1 est monotone sur c0; +∞c, alors la suite de terme général 1 ( est a le même sens de variation que 1.
Dans la mobilisation de la définition comme dans les deux premières méthodes, le travail s’effectue dans le cadre algébrique. Si la suite est donnée sous forme explicite (9 en fonction de (), il est nécessaire d’exprimer dans un premier temps 9 en fonction de ( ; les élèves peuvent être préparés à cette tâche par un travail de type algébrique sur la notation indicielle.
Puis il s’agit de prouver une inégalité ou de résoudre une inéquation dont l’inconnue est l’entier naturel (. Les élèves de Premières sont familiers avec les preuves d’inégalités et les résolutions d’inéquations dans ℝ. En quoi les tâches sont-elles semblables, en quoi diffèrent-elles ?
Prenons l’exemple très simple où les élèves ont besoin de chercher le signe de 9 − 9 = 2( − 3 (dans ℕ bien entendu). Les élèves peuvent raisonner par disjonction de cas. Cependant ils sont coutumiers de résolutions d’inéquations dans ℝ et nous pouvons faire l’hypothèse qu’ils auront plutôt tendance à résoudre l’inéquation 2( − 3 ≥ 0, qui équivaut à ( ≥†. Une adaptation est nécessaire puisque ceci équivaut dans ℕ à ( ≥ 2.
Prenons un deuxième exemple simple : la recherche du signe de 9 − 9 . Dans ℝ, cette recherche de signe nécessite un tableau de signe ou un raisonnement par disjonction de cas ou encore l’appel à la propriété sur le signe d’un trinôme du second degré. Dans ℕ, un raisonnement par implication qui fait intervenir la positivité du numérateur et celle du dénominateur suffit.
Prenons un troisième exemple : la recherche du signe de 9 − 9 ( − 6( + 1. Là aussi, un raisonnement par disjonction de cas peut permettre de répondre, à la condition de repérer par avance que si ( ≥ 6, l’expression est positive et si ( ≤ 5 l’expression est négative. Les élèves sont coutumiers avec la recherche du signe d’un trinôme par celui de son discriminant et de ses racines, nous pouvons faire l’hypothèse qu’ils auraient tendance à mobiliser celle-ci. Or les racines du trinôme, 3 + 2√2 et 3 − 2√2, sont irrationnelles. Comment les élèves vont-ils les nommer : / et / selon leur habitude ? Mais l’indéterminée se nomme ( et pas /. Et les nommer ( et ( peut paraître enfreindre un implicite qui est que ( désigne un entier. Puis une adaptation est nécessaire pour déduire de la recherche du signe du trinôme dans ℝ celui du trinôme dans ℕ.
Ces exemples montrent que la preuve d’une inégalité dont l’indéterminée est dans ℕ nécessite dans certains cas des adaptations par rapport au cas où l’indéterminée est dans ℝ ; les raisonnements par implication peuvent s’appliquer plus souvent lorsque l’indéterminée est dans ℕ que lorsqu’elle est dans ℝ. Or rien n’indique dans le programme officiel qu’il faille faire un travail spécifique avec les élèves. Que font les manuels, les enseignants ?
Dans la troisième méthode, on a un va et vient entre les deux « mondes », le cadre fonctionnel est mobilisé :
Notons que lorsque le sens de variation de 1 change en des valeurs non entières, la conclusion portant sur la monotonie de (9() demande une adaptation qu’il ne faut pas négliger.
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Le changement de notation de 9 à 1 souligne que l’un est un objet « suite » et l’autre un objet « fonction » (sous-entendu définie sur un intervalle). Ce qui permet de mobiliser les outils de calcul différentiel ou parfois plus simplement des propriétés de monotonie de fonctions de référence connues des élèves.
Les élèves peuvent ne voir dans ce changement de notation qu’une habitude puisqu’ils effectuent des calculs de dérivées de fonctions le plus souvent nommées 1… et se demander pourquoi ne pas tout simplement calculer 1′ ( . Cette incursion dans le monde du continu à partir de celui du discret peut échapper aux élèves qui n’y verraient alors qu’un jeu de symboles.
En Première S, les élèves peuvent aussi dans certains cas trouver le sens de variation d’une fonction composée en mobilisant les propriétés qui figurent officiel dans le thème des fonctions :
Extrait du programme officiel de Première S de 2010 page 2
Notons que la notation 9 choisie pour énoncer ces propriétés peut prêter à confusion puisque 9 est aussi le nom de la suite de terme général 9 .
Cette troisième méthode de recherche du sens de variation d’une suite est porteuse de caractère continu : le continu de la fonction 1 (nous avons vu que les fonctions définies sur des intervalles sont pour ainsi dire toutes continues en classe de Première).
Compte tenu des éléments qui précèdent, nous nous demandons cependant ce qui différencie 9 et 1 pour un élève de Première ou de Terminale.
Exploiter la représentation graphique
Terminons l’analyse du programme officiel de Première S, par la « capacité attendue » du programme officiel « exploiter une représentation graphique des termes d’une suite », qui figure en face de l’intitulé « sens de
variation d’une suite numérique ». De quelle capacité s’agit-il ?
Nous voyons plusieurs possibilités :
- Travailler le lien entre suite et fonction dans le cas où la suite est définie par une « fonction qui définit » et représentée dans le plan par les points de coordonnées (; 9 ;
- Conjecturer le sens de variation d’une suite ; - Conjecturer la limite d’une suite.
ii. Les suites dans le programme de Terminale
En classe de Terminale S, le préambule sur le thème de l’analyse du programme officiel entré en vigueur en 201237 motive lui aussi l’étude des suites et des fonctions par la résolution de problèmes : « L’un des objectifs
du programme est de permettre à l’élève, par une consolidation et un enrichissement des notions relatives aux suites et aux fonctions, d’étudier un plus grand nombre de phénomènes discrets ou continus ».
Le « Contenu » sur les suites concerne en premier lieu le raisonnement par récurrence. Celui-ci mobilise les aspects du discret dénombrable décrits ci-dessus en ce qui concerne la « forme récurrente » d’une suite. Dans le cadre de ce travail, nous faisons le choix de ne pas analyser davantage le raisonnement par récurrence, qui a fait par ailleurs l’objet d’études didactiques (par exemple Grenier (2012)).
Le programme se poursuit par l’existence et la recherche de limites par comparaison, par « opérations sur les limites », puis le théorème de convergence des suites croissantes majorées. Dans les « Commentaires », il est dit qu’ « Il est intéressant de démontrer qu’une suite croissante non majorée a pour limite +∞ ».