Probabilités d'absorption des photons du faisceau d'imagerie

La mesure du nombre d'atomes par exploitation des images en absorption repose sur la connaissance de la section ecace d'absorption de l'atome (Ÿ 2.7.1). Pour un système à deux niveaux, l'expression de la section ecace d'absorption est bien connue. Pour I ≪ Isat, elle

s'écrit σ(δ) = σ0 1 +4δ_Γ22 , (2.4) avec σ0 = 3λ 2

2π, λ étant la longueur d'onde de la transition, Γ, la largeur de raie naturelle

de l'atome et δ, le désaccord du faisceau incident sur les atomes.

Dans le cas de la transition F = 2 → F′ _{= 3 sur laquelle nous imageons le nuage,}

la situation est plus dicile à décrire car la section ecace σ du nuage dépend de la polarisation de l'échantillon, de celle du faisceau imageur et du champ magnétique vue par les atomes au moment de l'imagerie.

Les atomes sont piégés magnétiquement dans l'état |F = 2, mF = 2i. En pratique,

pour pouvoir réaliser des temps de vol très courts sans être limité par le temps d'extinction des courants de Foucault au voisinage de la puce, nous coupons le courant dans le l en Z et nous imageons les atomes en présence du champ magnétique homogène ~Bbiais de la

conguration en Z, d'une amplitude de 15 G. Le temps caractéristique de coupure du courant dans le l est de l'ordre de 1

ωB = 10µs, d'où ωB= 100 kHz. Le champ magnétique généré par le l au niveau des atomes a une amplitude de l'ordre de 15 G, d'où ωL≃ 21 MHz.

L'inégalité ωL ≫ ωB est vériée et à la coupure du piège magnétique, les atomes suivent

adiabatiquement les variations de champs magnétiques. On peut donc supposer qu'au moment de la prise d'images les atomes sont toujours polarisés dans l'état |F = 2, mF= 2i,

le champ magnétique directeur étant le champ ~Bbiais, parallèle à la surface de la puce.

Les faisceaux imageurs incident et rééchi ont des composantes de polarisation σ+, σ−

et π relatives à la direction de ~Bbiais. Les atomes piégés dans l'état |F = 2, mF = 2i avant

le pulse d'imagerie vont donc subir des transitions vers les états |F′ _{= 3, m}

F′ = 1i, |F′ = 3, mF′ = 2i et |F′ = 3, m_F′ = 3i. Nous pouvons évaluer les probabilité d'absorption par unité de temps à résonance sur chacune des transitions : p2,1 = Γ₂

I_σ− Itotc 2 2,1, p2,2 = Γ_2II_totπ c22,2 et p2,3 = Γ₂ I_σ+ Itotc 2

2,3 des photons du faisceau imageur selon chacune de ces transitions. Ces

probabilités de transitions mettent en jeu les coecients de Clebsch-Gordan cmF,mF′ de la transition F = 2 → F′ _{= 3représentés sur la gure 2.18. Le calcul des fractions d'intensités}

I_σ±,π

Itot des faisceaux imageurs direct et rééchi de polarisation σ+, σ− et π relatives à la direction de ~Bbiais est détaillé dans l'annexe C de ce manuscrit.

Supposons dans un premier temps que la polarisation du faisceau imageur avant ré- exion sur la surface, est circulaire négative par rapport à l'axe ~y du référentiel Rmanip(g.

5 15 5 15 8 15 8 15 9 15 1 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 -2 _{-1 0 1 2} F'=3 F=2 1 15 10 15 3 15 6 15 6 15 3 15 10 15 1 15

Fig. 2.18: Coecients de Clebsch-Gordan de la transition F = 2 → F′ _{= 3du}87_Rb.

C.1). Pour le faisceau imageur direct, nous avons dans ce cas Iσ+

Itot = 1 4(1 + √12) 2 _{= 0.729,} I_σ− Itot = 1 4(1 − 1 √ 2) 2 _{= 0.021et} Iπ

Itot = 0.250et nous obtenons p2,3 = 0.729

Γ

2, p2,2 = 0.083 Γ 2

et p2,1 =0.001 Γ₂. La probabilité d'absorption par unité de temps des photons du faisceau

imageur direct à résonance sur chacune des transitions est maximale selon la transition |F = 2, mF = 2i → |F′ = 3, mF′ = 3i. En présence d'un champ magnétique, cet eet est encore amplié car les sous niveaux atomiques sont déplacés par eet Zeeman et le faisceau imageur n'est pas résonnant avec les transitions |F = 2, mF = 2i → |F′ = 3, mF′ = 1i et |F = 2, mF = 2i → |F′ = 3, mF′ = 2i. Le nombre de photons absorbés par atomes sur la transition |F = 2, mF = 2i → |F′ = 3, mF′ = 3i pendant la durée du pulse d'imagerie est égal à 25 photons alors qu'il est inférieur à un photon sur les deux autres transitions. Nous pouvons donc considérer que les photons imageurs sont échangés uni- quement selon la transition |F = 2, mF = 2i → |F′ = 3, mF′ = 3i. La section ecace de l'atome peut alors s'écrire sous la forme σ = C2_σ

0, où C2 = p2,3Γ 2

est un coecient de Clebsch-Gordan eectif égal à 0.729. Dans le cas du faisceau imageur rééchi par la surface, la fraction d'intensité relatives à cette transition est égale à Iσ+

Itot =

1

4(1 − √12) 2 ₌

0.021 et nous avons donc p2,3 = 0.021Γ₂ pour le faisceau imageur rééchi. La probabilité

d'absorption par unité de temps des photons du faisceau imageur direct selon la transition |F = 2, mF = 2i → |F′ = 3, mF′ = 3i est donc plus élevée que celle du faisceau imageur rééchi. C'est pourquoi nous pouvons visualiser principalement l'image directe du nuage pour un faisceau laser résonnant avec la transition |F = 2, mF = 2i → |F′ = 3, mF′ = 3i comme par exemple sur la gure 4.6 du chapitre 4 de ce manuscrit. Expérimentalement, nous observons l'image directe du nuage pour un désaccord du faisceau imageur de l'ordre de 20 MHz par rapport à la fréquence de la transition F = 2 → F′ _{= 3 en l'absence}

de champ magnétique, c'est à dire pour un faisceau laser résonnant avec la transition |F = 2, mF= 2i → |F′ = 3, mF′ = 3i en présence d'un champ magnétique de 15 G.

Dans le cas d'un faisceau imageur résonnant avec la transition |F = 2, mF = 2i →

|F′ = 3, mF′ = 1i, la probabilité p_2,1 d'absorption du faisceau imageur rééchi selon la transition |F = 2, mF = 2i → |F′ = 3, mF′ = 1i est égale à 0.049 Γ

2 et est donc supérieure

à celle du faisceau imageur direct, égale à 0.001 Γ

2. Nous visualisons dans ce cas principa-

lement l'image rééchie du nuage.

Il est également possible de visualiser l'une ou l'autre des deux images du nuage à fréquence xe, mais en inversant la polarisation du faisceau imageur. En eet, si la pola- risation du faisceau imageur incident est circulaire positive par rapport à ~y cette fois, la probabilité d'absorption par unité de temps des photons du faisceau imageur rééchi vers l'état |F′ _{= 3, m}

F′ = 3i devient p_2,3 = 0.729 Γ

2. Elle est égale à 0.021 Γ2 pour le faisceau

imageur direct. Nous visualisons donc principalement l'image rééchie du nuage pour un laser accordé sur la transition |F = 2, mF = 2i → |F′ = 3, mF′ = 3i. La gure 2.19 pré- sente l'image résultante de la superposition de l'image directe et de l'image rééchie du nuage piégé magnétiquement dans un piège obtenu avec un courant de 2 A et un champ magnétique de 15 G après 1 ms d'expansion libre. Le nuage est refroidi à une température de l'ordre du microkelvin. Nous visualisons l'image directe ou rééchie du nuage en chan- geant le sens de rotation de la polarisation du faisceau imageur, le faisceau imageur étant résonnant sur la transition |F = 2, mF = 2i → |F′ = 3, mF′ = 3i.

40 80 120 160 200 240 100 200 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 z y R_manip [Pixels] [Pixels] Epaisse ur optique [sans unité]

Fig. 2.19: Superposition de l'image directe et de l'image rééchie du nuage piégé magnétiquement dans un piège obtenu avec un courant de 2 A et un champ magnétique de 15 G, refroidi à une température de l'ordre du micro-Kelvin, après 1 ms d'expansion libre. Nous visualisons l'image directe ou rééchie du nuage en changeant le sens de rotation de la polarisation du faisceau imageur, le faisceau imageur étant résonnant sur la transition |F = 2, mFi → |F′ = 3, mF′ = 3i. Les

graduations de l'image sont en pixels et l'échelle de couleurs est graduée en épaisseur optique.

prise après coupure du champ magnétique uniforme ~Bbiais. Dans ce cas, nous visualisons

les images directe et rééchie du nuage simultanément.

Le calcul exact de la section ecace moyenne des atomes du nuage est dicile car la po- larisation du faisceau imageur n'est pas rigoureusement circulaire et le champ magnétique homogène n'est pas rigoureusement parallèle à la surface de la puce. Par ailleurs, certains atomes peuvent être dépolarisés à la coupure du piège et pendant le pulse d'imagerie. C'est pourquoi nous avons travaillé expérimentalement avec un coecient de Clebsch-Gordan eectif égal à 1. Après obtention du condensat, nous avons calibré le nombre d'atomes à partir de la mesure de la température au seuil de condensation.

Le fait de pouvoir visualiser les images directe et rééchie du nuage permet de mesurer simplement la hauteur du centre du piège par rapport à la surface de la puce, comme nous allons le voir dans le dernier chapitre de ce paragraphe.