Caractérisation du condensat hors du régime Thomas-Fermi

Dans la plupart des expériences de condensation de Bose-Einstein, les conditions sur le nombre d'atomes condensés et les paramètres du piège magnétique requises pour pou- voir négliger l'énergie cinétique des atomes devant leur énergie d'interaction et valider l'approximation de Thomas-Fermi (TF) sont réunies.

Les fréquences radiale et longitudinale calculées à partir du modèle du potentiel corrigé (Ÿ 4.4) du piège magnétique à 15 G dans lequel nous obtenons le condensat, sont ωr =

2π × 453 Hz et ωl = 2π × 14.1 Hz. Nous obtenons un condensat contenant typiquement

2600 atomes. Dans ces conditions, le calcul du potentiel chimique du nuage à partir de l'équation (5.10) dans le régime Thomas-Fermi donne µ = 626 Hz. L'inégalité µ ≫ ωr

2π

n'est pas vériée et l'approximation de Thomas-Fermi n'est pas valable.

Il est possible de décrire le comportement d'un condensat de Bose-Einstein au-delà de l'approximation de Thomas-Fermi dans le cas d'un faible nombre d'atomes condensés, sans pour autant intégrer numériquement l'équation de Gross-Pitaevski, à partir d'une approche analytique théorique basée sur l'utilisation de facteurs correctifs des fréquences du potentiel de piégeage [98] dont nous présentons ici les principaux résultats.

L'idée générale de cette approche analytique consiste à introduire un hamiltonien d'es- sai pour décrire le comportement de la fonction d'onde de Gross-Pitaevski. L'énergie par particules calculée à partir de ce hamiltonien d'essai s'écrit

E N = 3 X i=1 ~_ωi 2 √_γ i+ ETF(˜ωx, ˜ωy, ˜ωz) N , (5.22) où ˜ωi = √1 − γiωi et ETF(ω_Nx,ωy,ωz) = ₁₄5 ³ 15 4πωxωyωzM 3 2gN ´2₅

, g étant la constante d'in- teraction du système et N le nombre de particules piégées. Le terme ETF(ωx, ωy, ωz) est

3_{Dans ce manuscrit, l'ensemble des résultats relatifs aux nombres d'atomes mesurés expérimentalement}

sont donnés pour un coecient de Clebsch-Gordan égal à 1, avant calibration du nombre d'atomes

4_{La largeur du spectre d'émission du laser imageur étant petite devant Γ (Ÿ 2.6.1), l'ecacité d'absorp-}

l'énergie du système dans le régime de Thomas-Fermi. Lorsque γi → 0, le premier terme

correctif de l'équation (5.22) est faible, on est alors proche du régime de Thomas-Fermi. Il est possible de montrer que l'énergie par particule calculée à partir du hamiltonien d'es- sai est toujours inférieure ou égale à l'énergie par particule exacte tirée de l'équation de Ginzburg-Pitaevskii-Gross [98], quelles que soient les valeurs des paramètres γi entre 0 et

1. En conséquence, ce sont les paramètres γi qui maximisent l'énergie par particule donnée

en équation (5.22) qui décrivent au mieux le comportement du système.

Connaissant les valeurs des paramètres γi, il est possible de déterminer le potentiel

chimique du nuage d'atomes, qui s'écrit µ = 3 X i=1 ~_ωi 2 √_γ i+ µTF(˜ωx, ˜ωy, ˜ωz), (5.23) où µTF(ωx, ωy, ωz) = 1₂ ³ 15 4πωxωyωzM 3 2gN ´2 5

est l'expression du potentiel chimique dans le régime de Thomas-Fermi (éq. (5.10)).

Cette approche théorique permet d'étendre la description de l'expansion libre du conden- sat explicitée dans [86] au delà de l'approximation de Thomas-Fermi. Après expansion libre pendant un temps de vol t, le rapport d'aspect du condensat, déni comme le rapport des largeurs quadratiques moyennes du nuage et non pas comme celui des rayons de Thomas- Fermi, peut s'écrire

R(t) = Ã z2 r2 !1 2 = λl(t) λr(t) ωl√1 − γl ωr√1 − γr , (5.24)

où λr(t) et λl(t) sont les paramètres explicités au paragraphe 5.1.3.3 faisant intervenir la

fréquence radiale ωr non corrigée.

Les fréquences radiale et longitudinale du piège à 15 G dans lequel nous obtenons le condensat sont ωr = 2π× 453 Hz et ωl = 2π× 14.1 Hz. Pour une fréquence nale d'éva-

poration telle que l'on obtienne un condensat quasi-pur de 2600 atomes, les paramètres γr = γx= γy et γl = γz qui maximisent l'énergie par particule donnée en équation (5.22)

sont γr= 0.51 et γl = 0.00. La valeur de γr non négligeable devant 1 conrme le fait que

nous sommes hors du régime de Thomas-Fermi. Le potentiel chimique du nuage calculé à partir de l'équation (5.23) est égal à 537 Hz.

Nous avons confronté les résultats expérimentaux relatifs à l'évolution de la taille du condensat pendant le temps de vol aux résultats théoriques attendus d'après l'analyse de A. L. Zubarev et Y. E. Kim. L'ellipticité du nuage est déterminée par un ajustement selon deux dimensions de la densité du nuage intégrée sur la direction du faisceau imageur, par une fonction de la forme énoncée en équation (5.20). Nous déterminons ainsi les rayons de Thomas-Fermi ry et rzdu condensat et les tailles σy et σz du nuage thermique. Les tailles

quadratiques moyennes du condensat étant proportionnelles aux rayons de Thomas-Fermi, nous pouvons déterminer l'ellipticité du condensat au sens de l'équation (5.24) à partir des paramètres ryet rzobtenu par l'ajustement de la densité du nuage avec la fonction énoncée

en équation (5.20). La gure 5.9 représente l'évolution de l'ellipticité E = 1 R(t) =

ry

rz du nuage en fonction de la durée du temps de vol tvol après coupure du piège magnétique.

1.8 1.4 1.0 0.6 0.2

ε

Fig. 5.9: Evolution de l'ellipticité E = σr

σl du nuage en fonction de la durée du temps de vol

tvol après coupure du piège décomprimé à 15 G. La courbe en trait plein représente la variation

d'ellipticité du condensat décrite par l'équation (5.24). La courbe en traits pointillés décrit la variation d'ellipticité du condensat dans le régime de Thomas-Fermi.

Pendant le temps de vol, le nuage tombe sous l'eet de la gravité. Nous observons ici l'image directe du nuage (Ÿ 2.7.3). Celle-ci se déplace pendant le temps de vol selon l'axe du faisceau imageur et sort du plan de focalisation du dispositif d'imagerie. La défocalisation entraîne une surrestimation de la taille du nuage qui se traduit par un terme multiplicatif sur les dimensions du nuage et n'intervient donc pas sur la valeur de son ellipticité. Ces données ont été prises avec une fréquence nale de la rampe d'évaporation telle que l'on obtienne un condensat quasi-pur de 2600 atomes. L'inversion d'ellipticité est attendue après un temps de vol de 7.9 ms d'après la théorie proposée par A. L. Zubarev et Y. E. Kim. La courbe en trait plein représente la variation d'ellipticité du condensat décrite par l'équation (5.24). La courbe en traits pointillés décrit la variation d'ellipticité du condensat dans le régime de Thomas-Fermi.

Les résultats expérimentaux sont en accord avec la théorie approchée proposée par A. L. Zubarev et Y. E. Kim pour des temps de vol supérieurs à 7 ms environ mais pour des temps de vol inférieurs à cette limite, l'ellipticité mesurée expérimentalement est surestimée par rapport aux valeurs théoriques. A temps de vol court, le nuage s'étale sur quelques pixels seulement dans la direction radiale. Le prol observé résulte de la convolution du prol réel du nuage par une fonction créneau représentative de la détection par un pixel de la caméra. Cette convolution introduit un élargissement de la taille du nuage, qui devient non négligeable lorsque la taille réelle du nuage est de l'ordre de celle d'un pixel de la caméra. Pour estimer un ordre de grandeur de cet élargissement, nous supposons que la fonctions de détection par un pixel et le prol du nuage sont gaussiens de largeurs respectives σpix

et σr´eel. La largeur de l'image du nuage par la caméra est égale à σimg =

q σ2

pix+ σr´2eel.

pixels dans la direction longitudinale. Les dimensions réelles du nuage sont d'après ce qui précède de 5.90 et 10.95 pixels, ce qui modie l'ellipticité de 1 % environ. Cela ne sut pas à justier le décrochement des résultats expérimentaux par rapports à la loi théorique observé à temps de vol courts. Cependant, l'analyse théorique proposée par A. L. Zubarev et Y. E. Kim reste vériée avec une bonne approximation.

En conclusion, après avoir rapidement présenté les signatures de la condensation de Bose-Einstein, nous avons déterminé expérimentalement un encadrement de la tempéra- ture critique de condensation et calculé les valeurs du facteur correctif à apporter sur le nombre d'atomes mesuré expérimentalement pour un coecient de Clebsch-Gordan égal à 1. Nous obtenons expérimentalement un facteur de correction sur le nombre d'atomes égal à 1.18 ± 0.18. Le calcul du facteur de correction relatif aux paramètres de notre système d'imagerie est à la limite supérieure de cet intervalle. Par ailleurs, nos conditions expéri- mentales sont telles que nous sommes en dehors du régime de Thomas-Fermi. Nous avons confronté nos résultats expérimentaux à l'analyse théorique proposée par A. L. Zubarev et Y. E. Kim pour décrire le comportement du condensat au-delà du régime de Thomas- Fermi. Ce modèle théorique reproduit bien l'évolution de la taille du condensat observée expérimentalement pour des temps de vol supérieurs à 7 ms.

Au cours de la mise en place de la phase de refroidissement évaporatif du nuage, nous avons observé expérimentalement un phénomène de fragmentation du nuage lorsque le centre du piège est proche de la surface et la température du piège susamment faible. Le prochain paragraphe présente les premières observations de ce phénomène.