4.2 Modélisation des effets de peau et de proximité
4.2.4 Prise en compte de l’élévation de résistance en simulation circuit
Afin de réaliser le schéma électrique équivalent complet du TMF pour la simulation circuit avec
le convertisseur (étape de validation du design), il est nécessaire de prendre correctement en
compte la résistance des bobinages modélisant les pertes Joule. Cette résistance doit donc
nécessairement inclure le facteur d’élévation de résistance FR et c’est pourquoi on parle de
résistance AC RAC. Tous les modèles permettant de déterminer le FR donnent une valeur de ce
dernier pour une fréquence donnée. Si le courant qui traverse le bobinage est purement
sinusoïdal de fréquence f, alors la résistance RAC correspondante peut effectivement être
calculée directement par le produit du FR pour cette fréquence avec la résistance DC RDC.
Cependant, le courant circulant dans les bobinages est rarement sinusoïdal. On peut néanmoins
réaliser une décomposition en série de Fourier de ce courant non sinusoïdal pour obtenir les
différents harmoniques de courants avec leurs amplitudes et leurs fréquences associées. On peut
alors utiliser l’équation (79) pour calculer le FR global équivalent et donc la RAC correspondant
à ce contenu harmonique spécifique. Ceci est possible car les phénomènes mis en jeu sont
linéaires : les contributions de chaque harmonique sont indépendantes et peuvent être ajoutées.
ܨ
ோି௧௧ൌܫ
ଶ σ ܨ
ோܫ
ଶ ܫ
ଶ σ ܫ
ଶ (79)
Cette formule est d’ailleurs utilisée dans l’outil de design pour déterminer la RAC globale
correspondant au point de fonctionnement nominal du TMF, ainsi que les pertes Joule
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associées. En revanche, cette méthode ne donne pas un modèle exploitable si l’on souhaite
réaliser une simulation circuit avec différentes formes d’onde de courant, autre que celle
obtenue au point nominal. Il faudrait alors recalculer la RAC correspondante pour chaque
contenu harmonique différent.
Une autre possibilité est de mettre en place une impédance équivalente ayant un comportement
fréquentiel imitant les effets de peau et de proximité de la courbe de FR en fonction de la
fréquence obtenue. Suite à une revue des méthodes existantes, le choix s’est porté sur la
méthode « Iterative Pole Relocation (IPR) » issue de [73], qui est présentée en détail en Annexe
4. Cette méthode cherche à identifier une fonction de transfert stable sous la forme pôle-résidus
pour modéliser la relation entre courant et tension établie par l’impédance RAC. Elle combine
les itérations de Sanathanan-Koener [74] avec le fait de relocaliser les pôles dans la partie stable
du plan complexe à chaque itération. On retrouve également ce principe de relocalisation dans
une autre méthode appelée « Vector Fitting » [75] [76] [77] [78], mais cette dernière requiert
un jeu de pôles initiaux puis un processus de convergence pour identifier les pôles voulus,
contrairement à la méthode retenue qui applique une résolution directe via moindres carrés
linéaires. Cette méthode est assez proche de celle présentée dans [79], à la différence que les
auteurs de cette dernière utilisent des polynômes orthogonaux et que la fonction de transfert
possède uniquement des paires de pôles.
D’autres types de méthodes, plus simples, existent mais se révèlent moins performantes ou
moins évidentes concernant l’identification des paramètres. On peut citer les circuits résistance
-inductance « en échelle » [80] [81] ou la détermination en ligne de l’épaisseur de peau [82].
Ces dernières sont particulièrement adaptées pour modéliser l’effet de peau, mais
nécessiteraient une adaptation pour prendre en compte l’effet de proximité, sans garantie de
résultats.
Pour tester et valider le modèle mis en place, une courbe de FR et une inductance de fuite Lf
issues d’un design de TMF ont été utilisées. Ensuite, la procédure de la méthode IPR décrite en
Annexe 4 a été appliquée, et les résultats comparant les données à la fonction de transfert
obtenue via méthode IPR sont présentés dans la Figure 86.
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Figure 86 : Résultats de la méthode IPR sur le cas test étudié
On peut voir que les courbes issues de la fonction de transfert obtenue sont très proches des
données, que ce soit pour la partie réelle (donc le facteur d’élévation de résistance FR) ou la
partie imaginaire (donc l’inductance de fuite Lf) avec une erreur relative maximale de 2% à très
haute fréquence. A noter que si les résultats sont affichés sous la forme FR et Lf, la fonction de
transfert modélise bien une impédance complexe avec la partie réelle représentant une
résistance et la partie imaginaire une réactance, toutes les deux s’exprimant en Ohm. Ce sont
ensuite les parties réelles et imaginaires de cette impédance qui sont normalisées pour parler en
termes de FR et de Lf afin de simplifier la lecture des résultats.
On remarque cependant que la figure de convergence est erratique, ce qui suggère que le
processus itératif ne donne pas une convergence stable. A la place, on obtient une erreur qui
varie fortement d’une itération à une autre, en alternant entre des erreurs faibles et des erreurs
fortes. Pour contourner ce problème, la meilleure solution sur de nombreuses itérations est
mémorisée au fur et à mesure, et c’est cette dernière qui sera retournée comme fonction de
transfert, plutôt que de choisir celle de la dernière itération. Cela pose tout de même des
questions quant à l’efficacité de la méthode IPR pour ce genre de problème, bien qu’en pratique
on arrive à une solution tout à fait acceptable. Rien ne garantit mathématiquement qu’une
solution sera trouvée, et définir a priori le nombre d’itérations nécessaire pour obtenir une bonne
solution n’est pas trivial. Pour améliorer la méthode, l’algorithme RKFIT récemment découvert
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venait à faire défaut pour modéliser la résistance AC et l’inductance de fuite d’un design de
TMF particulier.
Enfin, une simulation circuit basique est montée afin de valider l’implémentation du modèle en
langage VHDL-AMS [46]. Pour ce faire, on excite le composant avec une source de courant
trapèze riche en harmoniques, correspondant à la forme d’onde du design de TMF considéré.
Le schéma et les résultats sont disponibles sur la Figure 87.
Figure 87 : (a) Circuit de test. (b) Tension et courant aux bornes du composant.