Prise en compte des effets transitoires

Indice de réfraction n0 1,85-2,1 (11%) 10 Largeur de bande interdite Eg 5,1-5,8 eV (11%) 15 Masse effective me* 0,1-0,5 me (50%) 48 Temps de relaxation ρ 200-500fs (25%) 10 Densité critique Nc dépendante ou non de n0 Nc-Nc(n0) 10

Tableau II-2 : Impacts de différents paramètres sur le seuil d’endommagement. Le calcul est effectué pour une

monocouche HfO₂ d’épaisseur λ/2 avec une durée d’impulsion de 500fs. Le pourcentage de variation correspond à la différence de seuils calculés pour les deux valeurs extrêmes de chaque paramètre.

D’après ces résultats, l’impact de chaque paramètre sur le seuil théorique est relativement faible car étant du même ordre que la variation entre les bornes extrèmes de la gamme de calcul. On note cependant que la masse effective me* pour une monocouche HfO2 présente une importante dispersion, entraînant une différence de seuil d’endommagement calculé de près de 50%. Cette valeur étant inconnue pour les composants utilisés dans cette étude, la masse effective me* sera utilisée comme variable d’ajustement. De même le temps de relaxation ρ demeure inconnu. Les travaux de Mero et al. indiquent que ce paramètre dépend du matériau considéré. [14] Il sera donc utilisé également en temps que paramètre d’ajustement. Enfin il est important de noter que l’introduction de l’indice de réfraction dans la définition de la densité critique conduit à une variation négligeable du seuil d’endommagement. C’est donc cette définition qui sera utilisée par la suite.

D. Prise en compte des effets transitoires

Le développement d’un modèle adapté aux couches minces optiques en régime subpicoseconde s’avère nécessaire car les solutions nanosecondes ne peuvent être transposées à ce régime.

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Comme nous avons pu le constater au Chapitre I E.1, la densité de porteurs présents peut affecter l’indice complexe du matériau. Ces changements peuvent conduire à une modification de la répartition du champ électrique au sein d’une couche durant le passage de l’impulsion. Pour les zones correspondant à un pic du champ électrique (cf. Figure II 3-5), la réponse optique du matériau diélectrique causée initialement par les électrons liés va graduellement acquérir un comportement de type métal en raison de la présence de porteurs libres. Ceci peut conduire à un changement important de la répartition du champ électrique au cours de l’impulsion ainsi que des prédictions obtenues avec les modèles appliqués aux couches minces. L’évolution ultrarapide des propriétés de réflexion et de transmission pour les couches minces durant une irradiation subpicoseconde a été démontrée expérimentalement et est attribuée à la modulation du champ électrique au sein de la couche.[72, 155]

Dans le cadre de cette étude nous prenons en compte la dépendance de l’indice complexe avec la densité électronique N à l’aide de l’équation Eq. 45. Cela revient donc à prendre en compte les non-linéarités induites proches du seuil d’endommagement. Tout ceci peut être obtenu en incorporant les variations temporelles et spatiales du champ électrique dans l’équation de taux électronique, conduisant ainsi à l’expression suivante :

 

   

, , , , , ,

j

j j j j j j j j j

AV loc PI loc REL

dN z t

W I z t N N W I z t N W t N dt

    _{ }

 _{ } _{ } _{ } Eq. 74

Avec l’indice j se référant à la couche j de l’empilement. Afin de résoudre cette équation chaque couche j de l’empilement peut être divisée en sous couches à la position zi, chaque sous couche étant caractérisée par sa densité électronique, Ni et son indice de réfraction, ni(Ni). Le problème est alors équivalent à un composant multicouche dans lequel le champ électrique doit être recalculé à chaque itération t de l’équation Eq. 74. Cette approche nécessite l’utilisation d’équations différentielles couplées, qui sont résolues numériquement. Une impulsion temporellement gaussienne est considérée dans nos études mais des formes arbitraires peuvent être implémentées (prise en compte du piédestal d’une impulsion par exemple).

Cependant plusieurs approximations fortes sont utilisées. L’impulsion est considérée comme ayant une dispersion spectrale négligeable, constituant ainsi une limite de notre approche pour les systèmes multicouches. Par ailleurs la largeur spatiale de l’impulsion doit être grande devant la taille de la couche étudiée, le champ stationnaire étant utilisé dans l’empilement. Afin de mieux rendre compte de l’intérêt de ce modèle, des exemples de calculs seront abordés au Chapitre IV .

E. Conclusion

Le comportement spécifique des couches minces optiques nécessite le développement d’un modèle adapté. Afin de prendre en compte les effets interférentiels et les effets transitoires l’équation de taux électronique a été modifiée en y incorporant la dépendance de l’indice de réfraction complexe avec la densité électronique à l’aide du formalisme de Drude.

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Dans le cadre de cette étude le taux de photoionisation est modélisé suivant le modèle complet de Keldysh. En effet, le calcul du paramètre de Keldysh pour différents matériaux donne des valeurs proches de 1,5, indiquant qu’aucune approximation ne peut être effectuée à 500 fs. Le taux d’avalanche est quant à lui modélisé suivant le modèle de Drude, qui allie simplicité de mise en œuvre et un faible nombre de paramètres inconnus.

La méconnaissance de la masse effective de l’électron pour les couches minces optiques peut conduire à des variations théoriques de seuils de plus de 50 %, notamment dans le cas d’une monocouche HfO2. Elle sera donc utilisée par la suite en tant que paramètre d’ajustement.

Les effets interférentiels influent fortement sur la répartition de la densité électronique, et plus précisément sur la localisation des maximas de la densité. L’utilisation du formalisme matriciel permet d’intégrer ces effets dans l’équation de taux électronique, la rendant ainsi adaptable à tout type de composant.

Outre sa simplicité de mise en œuvre, le modèle développé dans cette étude intègre pour la première fois les effets transitoires qui ont lieu durant l’interaction entre l’empilement et le faisceau laser.

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