Supposons un t´elescope id´eal exempt de lumi`ere diffus´ee instrumentale, c’est `a dire dont la PSF serait une fonction δ. Si la face obscure de Mercure n’a pas d’´emissivit´e propre dans l’ultraviolet, l’intensit´e mesur´ee sur le disque de Mercure avec un tel instrument devrait ˆetre nulle. Inversement dans un t´elescope r´eel, la PSF n’est pas une fonction δ et comme chaque point de l’image diffuse de la lumi`ere dans tout le champ, l’intensit´e mesur´ee sur le disque de Mercure n’est pas nulle. Cette intensit´e donne donc une information sur la quantit´e de lumi`ere diffus´ee dans l’image `a la position du disque de Mercure. Remarquons imm´ediatement qu’il ne suffit pas de retrancher cette intensit´e mesur´ee sur le disque du signal mesur´e `a la mˆeme
position avant la passage de Mercure pour obtenir l’intensit´e vraie (c’est `a dire mesur´ee avec l’un instrument id´eal d´ecrit plus haut). En effet, comme le flux total est conserv´e par le processus de diffusion, les r´egions les plus intenses de l’image deviennent moins intenses, et inversement. Selon les r´egions observ´ees, l’intensit´e mesur´ee est donc plus grande ou plus petite que l’intensit´e vraie. Or comme l’intensit´e mesur´ee sur le disque de Mercure ne peut ˆetre que positive, on ne peut jamais obtenir par simple soustraction une intensit´e vraie sup´erieure `a l’intensit´e mesur´ee avant le passage, ce qui est en contradiction avec le principe de conservation du flux. L’intensit´e mesur´ee en un point de l’image est ´egale `a la somme de l’intensit´e diffus´ee par tous les autres points au point consid´er´e et de l’intensit´e vraie de celui-ci diminu´ee de l’intensit´e qu’il diffuse lui-mˆeme vers tous les autres points. Pour obtenir l’intensit´e vraie en un point de l’image, il faut donc non seulement soustraire de l’intensit´e mesur´ee en ce point la contribution due `a la lumi`ere diffus´ee par tous les autres points, et mesur´ee sur le disque de Mercure pendant son passage, mais aussi rajouter l’intensit´e que ce point a perdue en la diffusant dans tout le champ.
Durant le passage de Mercure dans le champ de vision de EIT, soit Iv(t,x,y) l’intensit´e vraie en tout point au temps t. En notant Iv0(t,x,y) l’intensit´e vraie si Mercure n’´etait pas pr´esent, Iv(t,x,y) peut s’´ecrire sous la forme :
Iv(t,x,y) = Iv0(t,x,y) − D(x,y)Iv0(t,x,y) (3.3) o`u D(t,x,y) est une fonction porte `a deux dimensions valant 0 en dehors du disque et 1 sur le disque de Mercure. L’intensit´e mesur´ee Im(t,x,y) est le r´esultat du produit de convolution de l’intensit´e vraie par la PSF, soit :
Im(t,x,y) = (Iv0(x,y) − D(t,x,y)Iv0(t,x,y)) ∗ P SF (x,y)
= Iv0(t,x,y) ∗ P SF (x,y) − (D(t,x,y)Iv0(t,x,y)) ∗ P SF (x,y) (3.4) Or du fait de la cadence de prise de vue de 3 minutes utilis´ee durant le passage de Mercure (voir le paragraphe suivant), il est justifi´e de consid´erer que l’intensit´e vraie de la couronne ne varie pas entre deux images. La diff´erence d’intensit´e entre deux images successives prises aux temps t et t ± δt s’´ecrit alors :
Im(t ± δt,x,y) − Im(t,x,y) = (D(t,x,y)Iv0(t,x,y)) ∗ P SF (x,y)
− (D(t ± δt,x,y)Iv0(t,x,y)) ∗ P SF (x,y) (3.5) Si l’influence de la PSF est n´egligeable hors du disque de Mercure, c’est `a dire si ses ailes d´ecroissent suffisamment rapidement, alors au temps t, D(t ± δt,x,y)Iv0(t,x,y)) ∗ P SF (x,y) est n´egligeable `a la position de Mercure3. De plus, comme le disque de Mercure vu depuis SoHO
3. Remarquons que si l’on ne fait pas cette approximation, alors en convertissant dans l’´equation 3.5 les ´ecarts de temps ±δt en ´ecart de position δx et δy avec la vitesse de passage du disque, et si l’on peut estimer I0
v(t,x,y), ceci donne la d´eriv´ee spatiale de la fonction D(t,x,y) ∗ P SF (x,y). Il est donc possible de d´evelopper un algorithme d´eriv´e de celui propos´e par J. R. Kuhn et al. [5] (voir le chapitre pr´ec´edent) permettant d’obtenir les ailes de la
PSF `a partir d’un ensemble d’images du disque de Mercure. Mais du fait du bruit de photons, les ailes de la PSF
commen¸cant seulement `a environ 10−4du pic central, les diff´erences ne permettent pas de les mettre en ´evidence. Des simulations ont permis de montrer qu’un tel algorithme permet d’obtenir les ailes de la PSF si celles-ci sont sup´erieures `a 10−2du pic central.
3.5. Le passage de Mercure des 15 et 16 novembre 1999 57
λ 17.1 nm 19.5 nm 28.4 nm 30.4 nm
aλ 0.97 0.97 0.96 0.97
Tab. 3.2 – Intensit´e d’un disque unit´e de 10.1” de diam`etre convolu´e avec la PSF de EIT.
est petit (10.1 secondes d’arc), on peut consid´erer que les points de la couronne qu’il masque ont tous la mˆeme intensit´e vraie, not´ee ¯I0
v(t). L’´equation 3.5 devient donc :
Im(t ± δt,xM,yM) − Im(t,xM,yM) = (D(t,xM,yM) ∗ P SF (xM,yM)) ¯I0
v(t) (3.6)
o`u xM et yM sont les coordonn´ees d’un point du disque de Mercure. qui peut, en un point du disque de Mercure. Comme le pic de la PSF est tr`es ´etroit, un disque uniforme convolu´e avec la PSF est `a peu pr`es uniforme et finalement :
Im(t ± δt,xM,yM) − Im(t,xM,yM) ≈ aλD(t,xM,yM) ¯I0
v(t) (3.7)
Nous pouvons ´evaluer aλ car le cœur de la PSF a ´et´e mesur´e avant le vol en analysant les erreurs du front d’onde issu du t´elescope complet avec un interf´erom`etre Zygo [4]. Pour les quatre longueurs d’onde, nous avons convolu´e la PSF d´etermin´ee par cette m´ethode avec un disque unit´e de 10.1 secondes d’arc de diam`etre. Les valeurs de aλ ainsi obtenues sont donn´ees dans la table 3.2 et sont d’environ 0.8, ce qui signifie que 20% de la lumi`ere est diffus´ee en dehors du disque. La d´ecroissance avec la longueur d’onde montre que la lumi`ere diffus´ee est d’autant plus importante que la longueur d’onde est petite, ce qui est conforme `a la loi de Rayleigh qui veut que la diffusion due `a la rugosit´e des miroirs varie comme 1/λ4. Avec ces valeurs de aλ, l’´equation 3.7 donne l’intensit´e vraie de la couronne `a l’endroit masqu´e par le disque de Mercure `a partir d’une simple diff´erence d’images.
Il est donc en principe possible de mesurer le niveau de lumi`ere diffus´ee en faisant une mesure en un pixel unique. En pratique, `a cause du bruit statistique de photons, cette m´ethode donne un r´esultat l´eg`erement diff´erent selon le pixel du disque de Mercure choisi. Afin d’am´eliorer la qualit´e des mesures au maximum, nous utilisons donc tous les pixels couverts par le disque de Mercure, y compris ceux qui ne le sont que partiellement. Pour ceci, nous modifions la fonction D(t,x,y) de sorte qu’elle ne vale plus uniform´ement 1 mais soit proportionnelle `a la fraction des pixels couverte par le disque de Mercure. L’´equation 3.7 donne alors une relation lin´eaire entre l’in-tensit´e de D(t,xM,yM) et l’intensit´e moyenne vraie ¯I0
v(t) cach´ee par le disque. Num´eriquement, on calcule D(t,xM,yM) en fonction de la position de Mercure au temps t et ¯I0
v(t) est obtenue par r´egression lin´eaire. Cette m´ethode a de plus l’avantage de corriger le biais introduit dans les mesures par le d´eplacement du disque de Mercure pendant les prises de vue. En effet, si le temps de pose est assez long pour que le disque de Mercure se d´eplace d’un angle sup´erieur `a son diam`etre (ce qui est le cas pour les poses `a 28.4 nm, voir le paragraphe suivant), alors mˆeme avec un t´elescope id´eal d´epourvu de lumi`ere diffus´ee instrumentale, l’intensit´e mesur´ee sur le disque n’est pas nulle. Ne pas prendre en compte l’effet de boug´e am`ene donc `a conclure que le niveau de lumi`ere diffus´ee dans un instrument id´eal est non nul et `a le sur-estimer dans un instrument r´eel. La fonction D(t,x,y) ´etant proportionnelle `a la fraction des pixels couverte par
le disque de Mercure tout au long de la pose, ce biais est automatiquement corrig´e par notre m´ethode.