Principe et formulation de la méthode

Dans ce paragraphe, nous présentons une formulation qui nous permet d’exprimer les mesures d’intensités obtenues grâce à un banc expérimental au moyen des composantes du vecteur de Stokes. Le vecteur de Stokes S=[I, Q, U, V]^T a déjà été introduit au chapitre I, rappelons cependant que ses quatre composantes sont l’intensité (I), la partie représentant la polarisation horizontale (Q), la partie représentant la polarisation à 45° (U) et la partie représentant la polarisation circulaire (V). Les résultats des simulations peuvent de cette manière être interprétés pour différentes configurations d’orientation axiale entre une lame quart-d’onde et un analyseur linéaire. Nous nous intéressons plus spécifiquement aux alignements qui permettent de mesurer les canaux de mesure co-polarisés et contre-polarisés pour les polarisations linéaire, elliptiques et circulaire.

III.3.1 Définition des canaux de mesure elliptiques

Nous voulons sonder différentes profondeurs d’un milieu biologique en utilisant la lumière polarisée. Le banc expérimental correspondant représenté dans la Figure III.1 peut être composé d’une source de lumière, et, par exemple, d’un polariseur et d’une lame quart-d’onde pour le coté illumination. C’est le choix de composants que nous avons adopté car le plus simple et le plus répandu, mais on peut également utiliser des lames à cristaux liquides pour générer le déphasage. Par souci de simplicité, dans tout ce qui suit, l’illumination s’effectue perpendiculairement à la surface, contrairement à ce qui est représenté sur le schéma de la Figure III.1. La détection s’effectue également perpendiculairement à la surface et comprend un doublet symétrique de lame-quart-d’onde et polariseur (ou lame à cristaux liquides).

Figure III.1: Banc expérimental simulé qui montre les angles pour différentes configurations d’orientation axiale des éléments optiques pour la réalisation des canaux co-polarisés et contre-polarisés (ce qui permet

une sensibilité à différentes ellipses de polarisation). L’illumination et la détection sont en pratique perpendiculaires à la surface.

Pour générer la lumière polarisée et pour la détecter, un alignement spécifique des éléments optiques est nécessaire. On appelle cet alignement spécifique un canal de mesure.

Nous nous intéressons particulièrement aux configurations du polariseur et de la lame quart-d’onde du côté illumination ainsi que du côté détection qui produisent les canaux co-polarisés et contre-polarisés. Selon les angles des éléments optiques (α’,α,β’,β), différentes ellipses de polarisation peuvent être créées [Figure III.2 (a)]. Nous définissons l’angle de rotation d’un élément optique positif avec le sens trigonométrique en regardant le faisceau arrivant.

- Pour pouvoir détecter le canal en co-polarisé, la condition αααα’=-αααα et ββββ’=ββββ doit être remplie [Figure III.2 (b)].

- Pour la détection du canal contre-polarisé, l’angle de l’analyseur linéaire doit remplir la condition αααα=αααα’ et l’alignement axial des lames quart-d’onde reste inchangé ββββ’=ββββ.

(a) (b)

Figure III.2: (a) Génération de la polarisation elliptique avec l’ellipticité εεεε’ en fonction de l’angle αααα’ du polariseur linéaire et de l’angle ββββ’ de la lame quart d’onde. (b) détection de l’elllipticité εεεε’ (canal co-elliptique) en fonction de l’angle ββββ d’une lame quart-d’onde et de l’angle αααα d’un polariseur linéaire.

Quant à la génération de la polarisation linéaire, le polariseur et la lame quart-d’onde doivent être alignés à α’=β’=0°. Une polarisation linéaire à 45° demande un alignement de α’=β’=45°. Pour la génération de la polarisation circulaire droite, seul le polariseur est orienté à α’=-45°, la lame quart-d’onde est à β’=0°. Une polarisation circulaire gauche est générée si le polariseur est aligné à α’=45°. Si le polariseur est aligné entre 0°<α’<45°, différentes polarisations elliptiques droites peuvent être générées. Pour une polarisation elliptique gauche, le polariseur est aligné entre 0°<α’<-45°.

Nous résumons les configurations pour la génération des polarisations et de la détection de ces canaux co-polarisés et contre-polarisés pour les cas de figures auxquels nous nous intéressons particulièrement dans ce chapitre dans le Tableau III.1.

Polarisation d'illumination α′ (°)α′ (°)α′ (°)α′ (°) β′ (°)β′ (°)β′ (°)β′ (°) Détection α (°)α (°)α (°)α (°) β (°)β (°)β (°)β (°) Canal en polarisation

linéaire (horizontal) 0 0 linéaire (horizontal) 0 0 parallèle

linéaire (horizontal) 0 0 linéaire (vertical) 90 0 croisée

linéaire (45°) 45 45 linéaire (45°) 45 45 parallèle

linéaire (45°) 45 45 linéaire (-45°) -45 -45 croisée

elliptique ( ε=0.05π) 9 0 elliptique ( ε=0.05π) -9 0 parallèle

elliptique ( ε=0.05π) 9 0 elliptique ( ε=-0.05π) 9 0 croisée elliptique (ε=0.1π) 18 0 elliptique (ε=0.1π) -18 0 parallèle

elliptique (ε=0.1π) 18 0 elliptique (ε=-0.1π) 18 0 croisée

elliptique (ε=0.15π) 27 0 elliptique (ε=0.15π) -27 0 parallèle

elliptique (ε=0.15π) 27 0 elliptique (ε=-0.15π) 27 0 croisée

circulaire (droite, ε=0.25π) 45 0 circulaire (droite, ε=0.25π) -45 0 parallèle circulaire (droite, ε=0.25π) 45 0 circulaire (droite, ε=-0.25π) 45 0 croisée

Tableau III.1: Exemple de différents canaux pour les polarisations linéaire, elliptique et circulaire. Les angles d’orientation du polariseur et de la lame quart-d’onde pour l’illumination sont αααα’ et ββββ’ ; et pour la

détection αααα et ββββ. L’ellipticité de la polarisation est exprimée par εεεε.

III.3.2 Formulation de l’intensité rétrodiffusée

Les canaux co-polarisés et contre-polarisés doivent être exprimés à l’aide du vecteur de Stokes car c’est la quantité simulée par la méthode Monte Carlo. (Bickel and Bailey 1985) donnent un très bon condensé pour décrire différentes configurations d’un ensemble polariseur linéaire et lame quart-d’onde avec le vecteur de Stokes. Les éléments optiques se définissent mathématiquement sous la forme d’une matrice de Mueller, en fonction de l’angle de rotation de l’élément optique.

D’une manière générale, nous pouvons décrire un polariseur ou analyseur linéaire P(a) par la matrice (III.1) et la lame quart-d’onde L(b) par la matrice (III.2) : les angles du côté de la détection (Figure III.3).

A la sortie de la chaîne de détection, nous obtenons le vecteur de Stokes de sortie

milieu, noté S_in=[I_in Q_in U_in V_in]^T, puis transmis à travers les éléments optiques. Pour le cas d’une lame quart-d’onde et d’un polariseur linéaire, cela se traduit par la relation suivante:

in sortie S_out. Nous pouvons donc développer l’expression de l’intensité mesurée en fonction des angles de rotation α et β comme suit:

Cette relation nous permet d’exprimer les intensités détectées de tous les canaux co-polarisés et contre-polarisés possibles avec une lame quart-d’onde et un analyseur linéaire. Elle est indispensable pour toute interprétation des simulations au niveau du canal en polarisation co-elliptique et contre-co-elliptique. Dans le chapitre I (paragraphe I.5.1), le lien entre les composantes du vecteur de Stokes et la mesure d’intensité pour le canal en polarisation co-linéaire et contre-co-linéaire ainsi qu’en polarisation co-circulaire et contre-circulaire a été établi ; cette relation est ici généralisée aux polarisations elliptiques.