La machine Stirling, en fonctionnement moteur, convertit l’énergie thermique en énergie mécanique. Pour réaliser cette conversion, le fluide subit un cycle de quatre transformations élémentaires. Ces quatre transformations constituent le cycle thermodynamique idéal appelé cycle de Stirling.
Cycle thermodynamique idéal
Le cycle thermodynamique idéal subit par le fluide est représenté sur le diagramme PV ci-dessous. Il s’agit d’une détente et d’une compression isotherme, processus 3-4 et 1-2 sur la figure 1-8 et d’un chauffage et d’un refroidissement isochore (à volume constant), processus 2-3 et 4-1 sur la figure 1-8. Ces transformations sont réalisées grâce au déplacement séquentiel de deux pistons pr ésents à l’intérieur de la machine.
Figure 1-8 - Visualisation du cycle idéal de Stirling dans le plan P-V
= = ; = =
= = é ; = = é
Pour décrire le cycle, partons de la position initiale dans laquelle le piston déplaceur est entièrement avancé, et le piston moteur est entièrement reculé. Le fluide est alors entièrement au contact de la zone froide, le volume est maximum et donc, la pression minimale. Il s’agit de l’état 1 sur le diagramme ci-dessus.
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Figure 1-9 - Schématisation d’une compression isotherme
Le piston moteur s’avance alors que le piston déplaceur reste immobile. Le fluide se comprime La pression monte, et l’échangeur froid absorbe la chaleur issue de la compression pour que la température reste constante et égale à la température de la zone froide . Le volume total occupé par le fluide de travail évolue d’un volume jusqu’à un volume plus petit. D’après le premier principe de la thermodynamique, on a :
= + (1.1.1)
Le fluide est assimilé à un gaz parfait. Par définition d’un tel gaz, on peut relier l’évolution de l’énergie interne avec l’évolution de la température :
= = 0, = 0 ( ℎ ) (1.1.2)
Dans cette partie, on fournit de l’énergie mécanique au système, et
= −
= − = −
= ln > 0 (1.1.3)
Cette énergie est positive car > , donc fournie au système.
De plus on a = − qui est alors une grandeur négative. Il s’agit de chaleur extraite
du fluide.
Processus 2-3 : chauffage isochore (à volume constant)
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Le piston moteur est immobile et le piston déplaceur recule. Ce mouvement du piston permet le déplacement du fluide initialement au contact de la zone froide vers la zone chaude. Le volume total occupé par le fluide est délimité par le piston moteur. Celui-ci reste immobile donc la transformation se fait bien à volume constant égal à . En revanche une partie du fluide voit sa température monter de la température froide à la température chaude donc la pression monte également.
Cette fois ci, il n’y a pas de travail mécanique :
= 0, = 0 ( ℎ ) (1.1.4)
Donc
= + = = (1.1.5)
En intégrant entre et :
= − > 0 (1.1.6)
Processus 3-4 : détente isotherme
Figure 1-11 - - Schématisation d’une détente isotherme
Le piston moteur recule et le piston déplaceur reste immobile. Le fluide se détend au contact de la source chaude de température. Celle-ci fournit l’énergie nécessaire pour que le fluide reste à la température constante est égale à . Le volume occupé par le fluide repasse de à . Par un raisonnement similaire à celui du processus 1-2, on obtient :
= ln < 0 (1.1.7)
C’est dans cette partie que le système fournit de l’énergie mécanique à l’extérieur du système. D’autre part, on en déduit la quantité de chaleur fournie au système
= − = − ln (1.1.8)
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Figure 1-12 - Schématisation d’un refroidissement isochore
Le piston déplaceur avance de l’extrémité froide vers l’extrémité chaude. Il force alors le fluide à se déplacer vers la zone chaude à la zone froide. Le fluide va alors céder ses calories à la source froide. Comme le piston moteur ne bouge pas, le volume est considéré comme constant et la pression diminue alors avec la température.
Par un raisonnement similaire au processus 2-3, on déduit :
= − < 0 (1.1.9)
= 0 (1.1.10)
Le rendement est déterminé en faisant le rapport de l’énergie nette mécanique récupérée sur la chaleur fournie au fluide :
= = + + = ln + ln − ln + − (1.1.11)
Ajout du régénérateur
Dans les schémas présentés ci-dessus, le fluide se déplace d’une source de température à l’autre en passant entre le cylindre et le piston déplaceur. Comme précisé en introduction, le régénérateur se place sur le chemin du fluide lors du chauffage ou du refroidissement. Il agit comme un accumulateur thermique qui absorbe et rend l’énergie thermique au gaz.
Pendant la phase de refroidissement isochore (processus 4-1), l’énergie thermique du fluide était précédemment dissipée dans la source froide et perdue. Avec l’ajout d’un régénérateur, c’est lui qui absorbe cette énergie dissipée pour pouvoir rendre cette chaleur au fluide plus tard. La matrice du régénérateur va alors s’échauffer pendant cette phase, tandis que le fluide se refroidit.
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Figure 1-13 - Schématisation de la phase de refroidissement avec régénérateur
La quantité de chaleur est alors stockée (dans le solide).
Par la suite, quand le fluide froid va s’écouler de la source froide vers la source chaude (processus 2-3), le régénérateur va pouvoir rendre l’énergie absorbée précédemment au fluide pour que celui-ci s’échauffe avant d’arriver au contact de la source chaude.
Figure 1-14 - Schématisation de la phase de chauffage avec régénérateur
La quantité de chaleur qui était précédemment fournie par la source chaude est maintenant fournie par le solide du régénérateur. Si la régénération est parfaite, cette quantité de chaleur est exactement égale à celle qui avait été stockée pendant la phase de refroidissement
.
Si on reprend le calcul du rendement celui-ci est :
= = +
= 1 −
(1.1.12)
On retrouve alors le rendement idéal de Carnot qui correspond au rendement théorique maximal possible dans une machine à deux sources de chaleur.
Le régénérateur est devenu une pièce essentielle des moteurs Stirling. On le retrouve dans quasiment toutes les réalisations. Pour obtenir une régénération la plus efficace possible, il est important d’avoir la plus grande surface de contact solide/fluide dans un volume réduit. Il est, pour atteindre ce but, généralement composé d’une matrice poreuse, dont les technologies employées peuvent être très diverses. Il peut s’agir de billes plus ou moins fines empilées les unes sur les autres, ou plus fréquemment, il s’agit de grilles maillées empilées les unes sur les autres (figure 1-15a issue de [16]). Il est également possible d’avoir un empilement complètement désorganisé de petits fils métalliques (figure 1-15b issue de [16]).
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Figure 1-15 a. Photo d'une grille maillées fines (à gauche) b. Photo d’un empilement de fils (à droite)
La longueur du régénérateur est un paramètre important de dimensionnement. Une grande longueur permet en effet d’obtenir une bonne efficacité. En revanche cela va nécessairement augmenter les pertes de charge. A l’inverse, si le régénérateur est court, la température de sortie du fluide de part et d’autre est éloignée des températures des sources, et le gain sur le rendement est alors impacté.
Fonctionnement en moteur, en pompe à chaleur ou en machine
cryogénique
Le cycle idéal de Stirling présenté en fonctionnement moteur de la machine est entièrement réversible. Cela constitue l’un des avantages du moteur Stirling. Il est donc tout à fait possible de faire fonctionner le moteur pour des applications différentes, telles qu’en machine réfrigérante ou en pompe à chaleur. La seule différence entre un moteur d’entrainement et une machine cryogénique est que la température à laquelle est fournie la chaleur pendant la phase d’expansion est plus faible que la température à laquelle la chaleur est extraite pendant la phase de compression.
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Figure 1-16 - Visualisation du cycle de Stirling idéal en fonctionnement différent de la machine
Le cycle est parcouru dans le sens 1,2,3’,4’. La température ‘chaude’ est donc en dessous de la température ‘froide’ qui est aux alentours de la température ambiante. La chaleur fournie au fluide pendant la phase 3’-4’ correspond à de la chaleur extraite à l’environnement de la machine. C’est la grandeur dimensionnante d’une telle machine et on exprime alors non plus un rendement, mais un coefficient de performance (COP) qui peut être supérieur à 1 :
= ℎ ℎ
à ℎ = − (1.1.13)
Le fonctionnement en pompe à chaleur est très similaire au fonctionnement en machine cryogénique. La source chaude est plus froide que la source froide, mais dans cette application, les deux sources de chaleur sont plus élevées que dans l’application en froid, si bien que le cycle est à peu près identique, mais décalé vers le haut.
La source ‘chaude’ qui est en contact lors de l’expansion du fluide est cette fois ci à la température ambiante, et la chaleur est rejetée dans l’environnement de la machine à une température supérieure. Le coefficient de performance n’est pas tout à fait calculé de la même façon, étant donné que cette fois ci, la grandeur qui nous intéresse est la quantité de chaleur fournie et non plus extraite.
= ℎ ℎ
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A noter que dans ces deux applications, la machine consomme du travail mécanique, et il faut donc un mécanisme capable d’entrainer les pistons.