Le piston moteur est basique. Il baigne entièrement dans le fluide de travail, les forces de pression moyenne sont similaires de part et d’autre et s’appliquent sur les mêmes surfaces.
Figure 2-13 - Répartition des forces de pression autour du piston moteur
L’équation mécanique s’obtient facilement :
= ( − ) − (2.4.13)
Cependant si on traite le problème de la même manière que pour le piston déplaceur, en ajoutant deux inconnues permettant de déduire l’amplitude et la phase du mouvement du piston, on aboutit à un système particulier dont le vecteur nul est solution du système. La possibilité de passer outre ce problème serait d’introduire la fréquence d’oscillation comme nouvelle inconnue, dont la relation qui permettrait de la trouver serait l’équation qui impose le déterminant de la matrice du système à 0. Cette relation est en fait très difficile à exprimer, et donc on opte pour une seconde méthode alternative permettant de remonter aux caractéristiques mécaniques du piston moteur.
Dans cette seconde option, on conserve le mouvement du piston moteur comme paramètre d’entrée du système de résolution, à savoir sa phase, son amplitude et sa fréquence. Puis on calcule ensuite a posteriori la masse et l’amortissement du générateur sur le piston, compte tenu de la force de pression motrice, afin que le mouvement corresponde à l’équation mécanique écrite ci-dessus.
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Si on considère l’allure du piston moteur comme étant la suivante :
= sin( ) (2.4.14)
L’accélération du moteur est déterminée par les caractéristiques imposées du mouvement :
= − sin( ) (2.4.15)
La force de la pression motrice s’exprime quant à elle :
= ( − )
= sin +
= cos sin( ) + sin cos( )
(2.4.16)
Et la force d’amortissement s’écrit :
= − = − cos( ) (2.4.17)
Les valeurs de l’amplitude et de la phase de la force motrice se déduisent à partir
de l’amplitude et de la phase de la pression dans la chambre de compression, qui sont en effet connues a posteriori après résolution du système.
À partir de là, on obtient directement :
= −
cos
(2.4.18)
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Conclusions du chapitre
On a détaillé dans ce chapitre toutes les étapes de la construction du modèle thermodynamique et mécanique de la machine étudiée. On rappelle celles-ci :
Le modèle LHA 3 volumes de Chen, Griffin et West a été pris en référence comme point de départ de la modélisation du Stirling Beta. En effet celui-ci présentait les avantages d’être rapide à calculer tout en conservant une certaine souplesse sur le calcul des pertes. Dans le but de faire de l’optimisation, il s’agissait de critères séduisants. Cependant leur modèle ne permettait pas de faire correspondre la géométrie de la machine avec les pertes occasionnées. C’est pourquoi il a été transformé en un modèle avec 5 volumes de contrôle, en y ajoutant les deux échangeurs et le régénérateur à la place de l’obscure volume mort regroupant ces trois entités en un seul et unique volume. Cela permet de séparément paramétrer ce qu’il s’y passe à l’intérieur. Le modèle 5 volumes a d’abord été comparé au modèle 3 volumes. Les coefficients ont été ajustés pour que le nouveau modèle soit dans les mêmes conditions que l’ancien modèle. On a retrouvé exactement les mêmes valeurs que dans le rapport de Chen, ce qui indiquait que l’ajout des états thermodynamiques dans les volumes auxiliaires n’avait pas perturbé la résolution du système. On a alors pu attitrer une valeur aux coefficients d’irréversibilités en les reliant aux géométries de chacun des échangeurs/régénérateurs. Les formulations qui ont été utilisées pour déterminer les pertes de charges et les échanges thermiques ont toutes été tirées de la littérature dédiée aux écoulements oscillants.
Jusque-là nous avions constamment considéré la mécanique des pistons comme déterminée à l’avance. Pour pouvoir obtenir un mouvement libre du piston déplaceur, on a considéré un nouveau volume agissant comme un ressort gazeux à l’intérieur du piston lui-même, comme pour la machine de SunPower. On a cette fois ci considéré les composantes du mouvement du piston déplaceur elles-mêmes comme des inconnues du système à résoudre, en y ajoutant l’équation mécanique du mouvement du piston déplaceur. La pression à l’intérieur de la cavité gazeuse est également calculée implicitement. Pour connaitre le mouvement du piston moteur, il était difficile d’employer la même méthode. En effet, l’ajout de deux nouvelles inconnues représentants les composantes du mouvement du piston moteur, livrées à nouveau aux seules équations de la dynamique, faisait cette fois ci converger la résolution vers une solution instable non désirée. Cette solution correspondait au cas où rien ne bouge. Pour pallier ce problème, nous avons choisi de traiter le problème à l’envers, en remontant le fil de l’équation mécanique. On a laissé imposé le mouvement du piston moteur, et on en a déduit quelles devraient être les caractéristiques du piston pour correspondre à ce mouvement. Cela donne une condition sur la masse et l’amortissement, en fonction notamment de la fréquence et des forces de pression. Il faut garder à l’esprit que ce modèle reste une simplification de ce qu’il se passe réellement à l’intérieur du moteur Stirling. Il reste maintenant à le confronter à des données expérimentales, afin d’avoir une idée de l’écart qu’il présente à la réalité. Cela sera fait dans le prochain chapitre,
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avec les données que la NASA a récoltées sur la RE 1000. Une fois comparé, on jouera avec les paramètres du modèle pour obtenir un jeu de valeur permettant le dimensionnement d’une machine réelle.
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Chapitre 3
Exploitation du modèle thermodynamique LHA 5
volumes
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Introduction
Le chapitre précédent a présenté la façon dont a été conçue le modèle thermodynamique et mécanique du moteur Stirling. Il est néanmoins nécessaire de confronter ce modèle à des données réelles. On dispose de nombreuses données expérimentales relatives à la machine RE 1000 de SUNPOWER. Il s’agit d’une machine qui a énormément été étudiée par la NASA et qui constitue dorénavant un cas benchmark dans la littérature.
A la suite de la comparaison entre le modèle et les données expérimentales, on se servira du modèle développé dans cette thèse pour comprendre la complexité sous-jacente du bon dimensionnement des moteurs Stirling. D’abord on s’assurera que le calcul implicite des coefficients d’irréversibilités fournit la même valeur que le calcul mené de façon parallèle, sans mise à jour des grandeurs thermodynamiques. Dans un second temps, on analysera l’influence de l’ajout des pertes au modèle idéal sur les performances de la machine, tout en restant dans une configuration de machine à mécanique entièrement déterminée. Ensuite on libèrera les contraintes de mouvement sur les pistons et on observera la difficulté engendrée quant à l’obtention de l’amplitude et de la phase souhaitée.
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Comparaison entre le calcul découplé des pertes et le
calcul implicite des pertes
Le calcul découplé des pertes consiste à résoudre dans un premier temps le système dans un cas idéal de référence, comme le modèle de Schmidt, puis de calculer à fortiori les pertes à partir des données du modèle idéal. Les pertes sont ensuite retranchées à la puissance et/ou ajoutées à la chaleur fournie. Pour simuler le modèle idéal de référence, on utilise le modèle développé au chapitre précédent, dans lequel on fixe les coefficients d’irréversibilités à des valeurs précises simulant les hypothèses de Schmidt. Ces hypothèses ont été rappelées au chapitre 1 (cf. Ch1. II.1.2.1.). On fait tout de même une entorse aux hypothèses de Schmidt. On suppose que les chambres sont adiabatiques au lieu d’être isothermes.
Tableau 3-1 - Coefficients d’irréversibilités pour le modèle idéal de référence
Le calcul implicite des pertes correspond aux diagrammes de résolution présentés à la fin du chapitre 2, dans lesquels les pertes sont directement introduites dans la résolution thermodynamique. Il s’agit du corps principal du chapitre 2. La configuration des coefficients d’irréversibilités sera rappelée dans chacun des paragraphes selon qu’on compare les pertes de charge, etc.
La comparaison se fera sur une géométrie fictive à partir de laquelle on fera varier les dimensions. Elle permettra de valider la stratégie de calcul des coefficients d’irréversibilité du modèle. On verra également apparaitre l’intérêt de disposer d’un modèle qui prend directement en compte les pertes sur le calcul des pressions dans les différentes parties de la machine.
ℎ /
ℎ ℎ ℎ ℎ -
0 0 0 0 10 10 0 10 10 0 0
Pas de pertes de charge (Pression uniforme) Pas de fuites (Masse constante) Echangeurs isothermes Régénérateur parfait Chambres adiabatiques
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