Les coefficients d’irréversibilités sont ceux déjà mentionnés dans la partie précédente de ce chapitre. Ils sont donc de trois types : les coefficients d’échanges thermique ℎ, les coefficients de pertes de charge et le coefficient de fuite de masse .
Coefficients d’échange thermique
Dans les échangeursLes coefficients d’échange thermique par convection dans les différents volumes de contrôle sont désignés par la variable h et sont au nombre de 4 : ℎ , ℎ , ℎ , ℎ respectivement pour les échanges dans la chambre d’expansion, dans le heater, dans le kooler et dans la chambre de compression.
La valeur du coefficient d’échange thermique dans les échangeurs impacte directement les quantités de chaleurs échangées. On s’attend à ce que ceux-ci soient élevés. Idéalement on peut en effet considérer que les volumes compris à l’intérieur des échangeurs sont isothermes, en prenant une valeur arbitrairement grande de ces coefficients (cf. chapitre 2. II. 3.). Cependant en raisonnant ainsi on perd tout moyen de dimensionnement de l’échangeur, étant donné que peu importe ses dimensions, celui-ci sera parfait, indépendamment de la surface d’échange, de la longueur ou du débit le traversant.
Pour connaitre la valeur du coefficient d’échange convectif, on se sert des corrélations qui ont été mentionnée précédemment (cf. chapitre 1. II.1.3.6.2.). La formule qui est la mieux adaptée aux gammes de vitesses et dimensions qui nous intéressent est celle de Xiao [67]. On rappelle l’expression du nombre de Nusselt :
= 0.0162 . .
= 0.029 . . (2.2.20)
Les valeurs de sont fonction de l’amplitude de vitesse du fluide à l’intérieur de
l’échangeur. Le modèle permet d’obtenir une valeur du débit massique aux interfaces de chacun des volumes de contrôle. On définit alors le débit massique à l’intérieur du volume comme étant la moyenne des débits aux interfaces.
é =1
2( ̇ + ̇ ) (2.2.21)
é =1
2( ̇ + ̇ ) (2.2.22)
On remonte à la vitesse en divisant par la section de passage et la masse volumique moyenne prise à la température moyenne et à la pression moyenne de l’échangeur.
105
= é (2.2.23)
= é (2.2.24)
Le calcul du nombre de Reynolds prend en compte l’amplitude de la vitesse. La vitesse et le débit massique étant en phase, l’amplitude se déduit directement de l’un à l’autre. L’amplitude du débit se détermine quant à elle à partir des termes obtenus après convergence du Newton-Raphson.
̇ = − sin( ) + cos( )
̇ = − sin( ) + cos( ) + − sin( ) + cos( )
é =
2 − 2 + sin( ) + 2 + cos( )
é =
2 2 + + 2 + (2.2.25)
De même que pour l’amplitude du débit dans l’échangeur froid, on obtient :
é =
2 2 + + 2 + (2.2.26)
On peut maintenant exprimer le nombre Reynolds et le nombre de Valensi relatifs à chacun des échangeurs. On en déduit le nombre de Nusselt et par conséquent la valeur du coefficient d’échange par convection :
ℎ =( ) (2.2.27)
ℎ =( ) (2.2.28)
Dans le régénérateur
Le régénérateur est traité de façon particulière. La perte engendrée par une régénération imparfaite est exprimée à partir d’une formule empirique tirée d’expérience. On utilise la relation présentée au chapitre 1. On rappelle celle-ci :
Pour des grilles maillées :
̇ = 0.194 . . ∆T
=
(2.2.29)
106
̇ = 0.253 . . ∆T
=
(2.2.30) La porosité , la longueur et la section sont des paramètres connus par l’utilisateur. Le nombre de Prandtl est un nombre dépendant du fluide employé. Celui-ci varie peu avec la température et la pression, il est donc considéré comme fixe. Comme pour la corrélation du nombre de Nusselt dans la partie précédente, le nombre de Reynolds pris à l’amplitude de vitesse du fluide intervient dans la relation. On calcule le débit de la même façon, en prenant la moyenne aux deux interfaces :
é é é =1
2( ̇ + ̇ ) (2.2.31)
Les paramètres physiques du fluide comme la masse volumique, la conductivité et la viscosité dépendent de la température. Or celle-ci n’est pas définie à l’intérieur du régénérateur dans ce modèle. On utilise la définition de la température effective, déjà introduit dans le modèle de Schmidt, définie par l’équation (1.2.6).
La valeur de ̇ correspond physiquement au flux moyen enthalpique qui quitte l’échangeur
chaud pour aller vers le régénérateur. Celle-ci correspond également au flux moyen enthalpique qui rentre dans l’échangeur froid depuis le régénérateur. Connaissant la valeur de ̇ , on ajuste
la valeur du paramètre de telle sorte que :
̇ = ̇ = ̇ (2.2.32)
Coefficients de pertes de charge
Les coefficients de pertes de charge sont représentés par les coefficients , ,
comme déjà montré sur l’illustration de la figure 2-2. Comme les grandeurs d’états sont uniformes au sein d’un volume de contrôle, les pertes de charge sont construites de façon discrète aux interfaces de chaque volume. Elles ne rendent pas compte exactement du caractère linéaire de la chute de pression à l’intérieur des échangeurs ou du régénérateur. Mais en jouant sur les coefficients des deux interfaces opposées d’un même volume, on peut retrouver la chute de pression qui aurait été présente si on l’avait considérée linéaire.
Dans les échangeurs
Pour le calcul des pertes de charge dans les échangeurs, on se réfèrera à la corrélation obtenue par Zhao & Cheng (cf. chapitre 1. II.1.3.5.2.). On rappelle celle-ci en régime laminaire.
∆ = 2 (2.2.33)
107
= 1 3.27192
( . − 2.03946) (2.2.34)
Valable pour 23 < < 395 et 0 < < 26.4
Dans le régénérateur
Pour les pertes de charge dans le régénérateur, le rapport d’étude de Gédéon est très complet et on travaillera avec ces corrélations.
∆ = −1
2 | | (2.2.35)
Pour des grilles maillées :
=129+ 2.91 .
0.45 < < 6100
0.0052 < < 21
(2.2.36)
Pour des empilements de fils métalliques :
=192.1+ 4.53 .
0.11 < < 2500
0.0021 < < 5.6
(2.2.37)
Lien entre corrélation et coefficient d’irréversibilité du modèle
Les corrélations fournies ci-dessus nous permettent d’obtenir la valeur de la chute de pression en connaissant les caractéristiques du débit dans la section de l’échangeur ou du régénérateur. Le modèle LHA 5 volumes est basé sur une relation linéaire entre le débit à l’interface et la chute de pression entre deux volumes. Il faut maintenant trouver la valeur du coefficient telle que la chute de pression corresponde à la valeur expérimentale issue d’un tel débit. Cependant il est important de mentionner que la chute de pression correspond à une différence à une interface et non pas à un volume. Par exemple quand la corrélation expérimentale nous fournit la chute de pression dans l’échangeur chaud, nous répartissons cette chute pour moitié à l’interface heater/expansion et pour moitié à l’interface régénérateur/heater.
108
Figure 2-8 - Répartition des pertes de charge de l’ensemble du volume en deux valeurs discrètes de part et d’autre du volume
Au final, les relations entre chutes de pression aux interfaces et chutes de pression calculées se répartissent ainsi :
∆
/=
∆(2.2.38)
∆
/=
∆+
∆(2.2.39)
∆
/=
∆+
∆(2.2.40)
∆
/=
∆(2.2.41)
On remonte ainsi aux valeurs que doivent prendre les coefficients :
=
∆ / ̇(2.2.42)
=
∆ / ̇(2.2.43)
=
∆ / ̇(2.2.44)
=
∆ / ̇(2.2.45)
109
Les pertes par fuite massique au niveau des deux pistons
Dans la topologie présentée dans la figure 2-1, il n’existe qu’un seul débit massique pris en compte. Il s’agit des fuites situées au niveau du piston moteur, entre la chambre de compression et l’espace buffer. Le débit de fuite est relié à la différence de pression entre les deux volumes par le coefficient qui apparait dans l’équation (2.1.25). La littérature nous fournit également une relation entre débit et différence de pression. Cette relation a été mentionnée dans le chapitre 1 (II.1.3.4.)
̇ =
12 ∆
(2.2.46)
Dont on déduit directement :
=
12 (2.2.47)
Avec les données géométriques relatives au piston moteur (diamètre, jeu radial et longueur du piston).
Il existe normalement un autre débit de fuite situé le long du piston déplaceur, entre l’espace froid de compression et l’espace chaud d’expansion. Celui-ci n’a pas été introduit dans le modèle mis en équation dans ce manuscrit, car la prise en compte de ce débit entrainait une complète refonte du système d’équation. En effet les débits d’un volume de contrôle à un autre ont été défini par récurrence en partant de l’espace d’expansion, alors considéré sans fuite. Les pertes engendrées par ce débit qui existe réellement, sont tout de même prises en compte explicitement par la formule donnée au chapitre 1 (II.1.3.3.) formulant les pertes par pompage. Par la suite dans le manuscrit, en étudiant la machine en FPSE, on ajoute la cavité faisant office de ressort gazeux. Celle-ci se trouve au côté de la chambre de compression. On introduira un nouveau coefficient de fuite massique qui décrira le lien entre le débit de fuite et la différence de pression entre l’espace froid de compression et l’espace clos du ressort.
Boucle de résolution avec coefficients implicites
Le calcul de chacun des coefficients d’irréversibilités dépend de nombres sans dimension qui dépendent eux même de la vitesse de l’écoulement à l’intérieur de l’échangeur ou du régénérateur. Il est alors nécessaire d’avoir accès à une première valeur du débit pour pouvoir obtenir une première estimation des pertes. Sauf que la prise en compte de coefficients différents impacte directement les valeurs des grandeurs d’états et donc les débits de fluide. Il faut donc itérer une nouvelle fois afin d’obtenir de nouvelles valeurs jusqu’à avoir convergence.
110
Figure 2-9 - Boucle de résolution du modèle thermodynamique avec calcul implicites des pertes
On peut cependant compresser le processus de résolution. Comme il est possible d’exprimer les coefficients d’irréversibilités, cela revient à dire qu’il existe une fonction qui permet de relier directement la valeur ad-hoc que ceux-ci doivent prendre en fonction des inconnues de la boucle de résolution principale. On introduit donc de nouvelles fonctions telles que
ℎ = ℎ , , , ,
ℎ = ℎ ( , , , , )
ℎ = ℎ ( , , , , )
111
De même pour les coefficients et qui peuvent en effet ne s’exprimer qu’en fonction des inconnues du système.
En revanche la valeur de l’efficacité du régénérateur ne peut pas s’exprimer en fonction des autres inconnues. C’est pourquoi celui-ci est introduit comme étant une nouvelle inconnue du système à résoudre. Il est alors nécessaire d’introduire une relation supplémentaire. Cette relation à introduire est l’équation ch 2. II.4.1.2. (Eq. 2.2.29 ou 2.2.30 selon le type de régénérateur)
Au final le schéma de résolution est le suivant :
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Prise en compte de la dynamique libre des pistons
Jusqu’à maintenant, les mouvements des pistons étaient supposés connus à l’avance. Les performances de la machine sont intimement liées aux paramètres dynamiques des pistons. Si ceux-ci s’avèrent très éloignés de ceux pris en hypothèse, les performances attendues seront elles aussi très éloignées de celles prévues.Afin d’écrire les équations de la dynamique, il est nécessaire de préciser la structure de la machine que l’on cherche à dimensionner. On donne dans la représentation ci –dessous les grandes lignes de celle-ci, afin de voir au moins sur quelles surfaces s’appliquent les forces de pression. La structure est très similaire à celle de la RE1000. La différence réside dans le positionnement des deux échangeurs et du régénérateur qui sont insérés à l’intérieur de l’enceinte externe. Le piston déplaceur se déplace à l’intérieur d’un cylindre tenu par les échangeurs. La structure du ressort gazeux est en revanche similaire à celui de la machine de SUNPOWER. Il est réalisé à l’aide d’une tige centrale qui rentre dans le piston déplaceur.
Figure 2-11 - Représentation schématique de la machine Stirling dimensionnée pour notre étude