L’étude de la dynamique des pistons consiste en l’analyse de l’impact que peut avoir le déphasage entre les pistons et la fréquence de fonctionnement sur les performances de la machine.
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Impact du déphasage entre les pistons sur les performances du
moteur
On trace dans la figure 3-26 ci-dessous l’évolution du rendement en fonction du déphasage entre le piston moteur et le piston déplaceur. Les traits pleins correspondent au cas sans pertes, et les courbes en pointillés correspondent au cas avec pertes.
Figure 3-26 - Influence du déphasage entre les pistons sur le rendement du moteur pour différentes valeurs de volumes balayés par le piston moteur (à gauche) et différentes valeurs de volumes balayés par le piston déplaceur (à
droite)
En ne tenant pas compte des pertes, le rendement est presque égal au rendement de Carnot. En effet, les températures choisies pour l’étude sont respectivement de 300 K pour la température
froide et 900 K pour la température chaude ( = 1 − = 0.66). Le rendement chute un
peu en s’approchant des 180 °, cela est lié au fait que même en prenant un coefficient d’échange thermique de 10 dans les échangeurs, ceux-ci ne sont pas tout à fait isothermes. Une valeur plus grande permet de retrouver le rendement de Carnot.
En tenant compte des pertes, le rendement dépend cette fois des volumes balayés par les pistons. On retrouve le résultat présenté à la figure 3-24. En augmentant encore les volumes balayés, le rendement se dégrade à nouveau. Le rendement est mauvais quand la phase est proche de 0 ou 180°, mais présente une zone relativement constante entre ces deux phases.
On trace dans la figure 3-27 l’évolution de la puissance en fonction du déphasage entre le piston moteur et le piston déplaceur. Les traits pleins correspondent au cas sans pertes, et les courbes en pointillés correspondent au cas avec pertes.
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Figure 3-27 - Influence du déphasage entre les pistons sur la puissance du moteur pour différentes valeurs de volumes balayés par le piston moteur (à gauche) et différentes valeurs de volumes balayés par le piston déplaceur (à droite)
On remarque alors que dans le cas idéal, le déphasage optimal de pilotage des pistons est toujours situé à 90°, indépendamment des volumes déplacés. En revanche, en tenant compte des pertes, le déphasage permettant de maximiser la puissance se décale légèrement en dessous des 90° optimaux. L’effet est plus visible en observant l’augmentation du volume balayé par le piston déplaceur (courbes de droite). En effet ce dernier est plus sensible sur la vitesse du fluide traversant les échangeurs, alors que le volume déplacé par le piston moteur à un impact moindre.
Figure 3-28 - Phase optimale (maximisant la puissance) en tenant compte des pertes en fonction des volumes balayés par les pistons
On trace dans la figure 3-28 ci-dessus une optimisation de la puissance utile en laissant libre le seul paramètre (phase entre les pistons) pour différentes consignes de volumes balayés par les pistons. Cette figure met clairement en évidence l’impact plus grand du déplaceur que du moteur sur la phase optimale de la machine.
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Figure 3-29 - Amplitude de la vitesse du fluide et pertes de charge dans les trois échangeurs du moteur en fonction du déphasage entre les pistons
La vitesse du fluide dans les échangeurs est dépendante de la phase entre les pistons. Si ceux-ci bougent parfaitement en phase, la chambre de compression ne voit pas de variation de volume pendant le mouvement des pistons et la vitesse sera quasiment nulle. A l’inverse si les deux pistons bougent en opposition de phase, la vitesse sera quasiment maximale. Dans l’intervalle 0, 180° l’amplitude de la vitesse est croissante dans les parties auxiliaires. Les pertes engendrées par celles-ci dépendent fortement de la vitesse et sont donc croissantes également dans cet intervalle.
De plus, on a vu à partir de la figure 3-27 que l’idéal thermodynamique correspond à une phase de 90°. Donc on conclut que dans l’idéal, la phase à un impact positif sur la puissance sur l’intervalle [0° 90°] et un impact négatif sur l’intervalle [90° 180°]
Pour résumer mathématiquement ces relations, cela signifie que :
> 0, ∈ [0° 180°]
é
> 0, ∈ [0° 90°]
Quand une variation de la phase améliore autant la puissance qu’elle engendre de pertes supplémentaires, alors il s’agit de la phase optimale de fonctionnement.
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Figure 3-30 - Evolution de la dérivée de la puissance et des pertes par rapport au déphasage
Remarque : la réalité est en fait un peu plus compliquée dans la mesure où il faut mesurer l’impact d’une augmentation de vitesse sur la qualité des transferts thermiques.
Impact de la fréquence de fonctionnement sur les performances du
moteur
On étudie maintenant l’influence de la fréquence de fonctionnement sur la puissance. Le résultat attendu est proche du résultat obtenu avec l’étude de la phase. En effet en conservant des amplitudes fixes de mouvement des pistons, la vitesse du fluide à l’intérieur des échangeurs est nécessairement proportionnelle à la fréquence. Par conséquent avec une fréquence élevée, les pertes sont nécessairement élevées. Quand l’augmentation des pertes viendra compenser l’augmentation de la puissance causée par une même variation de fréquence, alors ce sera la fréquence idéale de fonctionnement.
= é
Figure 3-31 - Puissance utile du moteur en fonction de la fréquence de fonctionnement sans prise en compte des pertes et avec prise en compte des pertes
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Quand on ne prend pas en compte les pertes, la puissance est proportionnelle à la fréquence de fonctionnement. En revanche il existe à nouveau une fréquence qui maximise la puissance quand on tient compte des pertes. Evidemment la valeur de cette fréquence optimale dépend des dimensions du reste de la machine.
Remarque : En fonctionnement ‘pistons libres’, l’amplitude du mouvement décroit avec la fréquence, et les conclusions peuvent donc être différentes.
5. Conclusions
En se basant sur le modèle LHA 5 volumes, une étude thermodynamique de la machine a pu être réalisée pour observer les influences de chacune des parties les unes sur les autres. Pour une géométrie des chambres de travail fixée, il existe une géométrie optimale des échangeurs pour la puissance et une autre pour le rendement. Dans les deux cas, l’utilisation d’un échangeur sous dimensionnée est catastrophique. A l’inverse, le surdimensionnement d’un des échangeurs est plus néfaste à la puissance qu’au rendement. Il est donc primordial d’essayer de limiter l’impact de l’augmentation des volumes morts (principale cause de la chute de puissance). Le régénérateur présente lui aussi une géométrie optimale. On observe que son dimensionnement est très critique tant au niveau de la puissance que du rendement de la machine. Le volume du régénérateur est plus imposant que le reste des échangeurs. Il est à l’origine de la majorité des pertes de charges, et c’est pourquoi on est plus critique vis-à-vis d’un surdimensionnement de celui-ci. Si on fait le choix de la forte puissance, on devra s’orienter vers un régénérateur de petite dimension qui implique nécessairement une mauvaise régénération et si on fait le choix de l’efficacité, on s’orientera vers un régénérateur plus imposant, qui offre donc une meilleure régénération, mais qui implique par conséquent un volume plus gros et des pertes de charges plus élevées. A volume donné, il est en revanche préférable de choisir une large section de passage du fluide avec une faible longueur.
Pour une géométrie d’échangeur fixée, il existe une configuration optimale de la géométrie et de la dynamique des pistons. On comprend aisément que déplacer des volumes trop importants dans de petits échangeurs ne sera pas très bénéfique, tandis que l’inverse laisse sous-entendre qu’on utilise la machine en sous régime et qu’on pourrait tirer davantage de performances. On voit apparaitre l’intérêt de disposer d’un modèle d’ensemble permettant de dimensionner en même temps toutes les différentes parties qui composent le moteur Stirling.
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Etude dynamique
Le mouvement du piston déplaceur est cette fois-ci livré à lui-même, au gré des forces de pression. Le mouvement du piston moteur est imposé. En faisant l’hypothèse d’une évolution isotherme du fluide dans les différentes parties de la machine, et à partir de l’approximation des faibles variations autour des grandeurs moyennes, il est possible d’obtenir des équations analytiques donnant le mouvement des pistons (cf. Ch 1. II. 2.) (cf. Annexe C). Quand le mouvement du piston moteur est encore imposé, la réponse du piston déplaceur suit l’équation d’un oscillateur harmonique forcé, dont le coefficient d’amortissement est proportionnel aux pertes de charge, et la résonnance est fonction des grandeurs géométriques de la machine, ainsi que des températures chaude et froide et de la pression moyenne.
En faisant varier la fréquence de fonctionnement du piston moteur, le modèle LHA permet de retrouver ce type de réponse de la part du piston déplaceur (figure ci-dessous).
Figure 3-32 - Réponse fréquentielle en amplitude et en phase du piston déplaceur avec modèle réel
On retrouve les courbes d’un oscillateur harmonique. La fréquence de résonance correspond approximativement à la fréquence d’un tel système :
é ~ 1 2 é é (3.4.1) é ~ (3.4.2)
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Figure 3-33 - Zoom sur les grandeurs géométriques du ressort gazeux
La section de la tige s’exprime donc = . Le volume moyen du ressort gazeux s’exprime
= ( + ).
On va essayer maintenant de comprendre à partir du modèle comment évoluent ces deux courbes caractérisant le mouvement du piston déplaceur. L’objectif est d’isoler des grandeurs permettant de pouvoir régler ce mouvement, en jouant sur des grandeurs modifiables facilement une fois le moteur réalisé.
La fréquence de fonctionnement réelle dépend de la masse du piston moteur, cf. chapitre 2. D’abord on laisse libre cette dernière grandeur afin de pouvoir faire évoluer la fréquence comme on veut. Ensuite il faudra raisonner dans le sens inverse, c’est-à-dire observer l’évolution de la fréquence avec divers paramètres quand la masse du piston moteur reste constante.