Principe et algorithme de relaxation dynamique

L’algorithme de relaxation dynamique cherche `a limiter la phase transitoire oscillatoire pour obtenir l’´etat final le plus rapidement possible au moyen d’une force additionnelle,

Chapitre 4. Restauration et d´eformation continue

dite force d’amortissement. Du point de vue physique, elle s’apparente `a une force vis-queuse de r´esistance au mouvement ; elle est fonction de la vitesse du corps ˙u<sub>n</sub> `a un ins-tant t. Nous ajoutons donc un terme d’amortissement `a l’´equation matricielle d’´equilibre (Equation 4.28) : C ˙u<sub>n</sub>, o`u C est appel´ee matrice d’amortissement.

M¨u_n+ C ˙u_n+ F^int(u_n) − F^ext(u_n) = 0 (4.28) L’´evaluation de la matrice d’amortissement est en pratique difficile, les param`etres physiques r´egissant les forces d’amortissement visqueuses sont mal connus. Il est donc souvent fait comme hypoth`ese que C est une combinaison lin´eaire α M + β K des matrices de masse et de rigidit´e, les param`etres α et β ´etant issus de l’exp´erience [Chopra, 1995]. Cette simplification, appel´ee amortissement de Rayleigh, est d’autant plus appropri´ee en relaxation dynamique que l’algorithme ne mod´elise pas de mani`ere physique la phase transitoire. La m´ethode la plus efficace [Underwood, 1983] consid`ere C = c M, o`u c est le coefficient d’amortissement.

L’´equation 4.28 pr´ec´edente est une ´equation diff´erentielle ordinaire dans son expression matricielle. La solution est obtenue en consid´erant un sch´ema num´erique d’int´egration du temps, c’est-`a-dire la relation de r´ecurrence entre un, ˙un et ¨un. Il existe une tr`es grande vari´et´e de relations possibles et le choix appropri´e d´epend le plus souvent du type de probl`eme et du type d’algorithme, le lecteur pourra se reporter `a Hugues [1987] pour une analyse compl`ete. En relaxation dynamique, un sch´ema explicite courant et fiable est la diff´erence centrale : les vitesses et acc´el´erations sont exprim´ees au milieu du pas de temps h (Equation 4.29). Ce sch´ema fournit une int´egration pr´ecise `a l’ordre deux et la plus forte stabilit´e num´erique [Krieg, 1973].

˙ u_n−1 2 = ¹ h^(un− un−1) (4.29) ¨ un = ¹ h^{( ˙un+1}2 − ˙u_n−1 2)

Algorithme classique Afin de fixer les id´ees, nous proposons de d´ecrire les grandes ´

etapes de l’algorithme de relaxation dynamique. Il consiste `a it´erer sur le temps au moyen de la formule de r´ecurrence (Equation 4.29) et de la loi d’´equilibre des moments (Equation 4.28) jusqu’`a ce que la phase transitoire laisse place `a l’´etat stationaire.

1. Evaluation des param`etres Les param`etres de l’algorithme sont le pas de temps h, le coefficient d’amortissement c et la matrice de masse M ; ils sont calcul´es pour assurer la stabilit´e num´erique de l’algorithme et la convergence la plus rapide possible. Les d´eplacements u₀ et vitesses ˙u₀ sont initialis´es `a 0.

2. Evaluation des forces internes et externes Les d´eplacements de chaque noeud sont concat´en´es dans le vecteur global de d´eplacement u_n; ils permettent d’´evaluer l’´etat courant des forces internes et externes c’est-`a-dire les vecteurs globaux Fint

n et Fext n .

4.4. R´esolution par approche pseudo-transitoire 3. Calcul des vitesses Les forces r´esiduelles au temps courant, ´equilibr´ees par les forces d’inertie et d’amortissement, vont permettre de calculer un nouvel ´etat du syst`eme. En substituant l’´equation 4.29 dans l’´equation 4.28, nous obtenons une relation liant les vitesses d’une ´etape `a une autre (Equation 4.30). Un traitement sp´ecial pour le premier pas de temps est n´ecessaire car ˙u₋1

2 n’est pas d´efini [Underwood, 1983]. ˙ u^∗_n+1 2 = ^{2 − ch} 2 + ch ^u˙n−12 + ^2h 2 + ch ^M −1{Fext n − Fint n | {z } Rn } (4.30) ˙ u^∗1 2 = ^h 2^M −1 {F^ext₀ − F^int₀ | {z } R0 }

4. Correction des vitesses Les vitesses ainsi calcul´ees sont appel´ees vitesses fictives et not´ees au moyen d’une ´etoile. En effet, aucune des conditions aux limites en d´ epla-cement n’a pour le moment ´et´e prise en compte : la configuration correspondante Ω^∗_n+1, obtenue en appliquant les d´eplacements fictifs u^∗_n+1(Equation 4.31), viole par endroit ces conditions. En diff´erenciant les conditions en d´eplacement, nous obte-nons des conditions sur les vitesses et les modifions en cons´equence pour obtenir les vitesses corrig´ees.

u^∗_n+1 = u_n+ h ˙u^∗_n+1 2

(4.31) 5. Calcul des d´eplacements Les d´eplacements nodaux sont calcul´es en fonction des vitesses corrig´ees au moyen de l’´equation 4.32. Une nouvelle configuration Ω_n+1 au temps n + 1 est ainsi obtenue.

u_n+1 = u_n+ h ˙u_n+1

2 (4.32)

6. Evaluation du crit`ere de convergence Il est maintenant n´ecessaire d’´evaluer l’´etat de convergence c’est-`a-dire savoir si l’algorithme a atteint l’´etat stationnaire. Dans le cas contraire, l’algorithme continue `a l’´etape 2. Il est n´ecessaire de d´efinir un crit`ere de convergence.

L’implantation de ce type d’algorithme ne pr´esente pas de difficult´es particuli`eres dans son ensemble. Il est simple et robuste car toutes les quantit´es sont vectorielles et toutes les op´erations effectu´ees sont de simples additions de vecteurs. N´eanmoins, c’est dans les ´etapes ´el´ementaires que se situent les principales difficult´es et nous proposons dans les sections qui suivent de d´etailler le calcul des forces internes et le choix du crit`ere de convergence. Enfin, nous ´etudierons dans la section suivante les crit`eres de stabilit´e num´erique et proposerons un algorithme alternatif permettant une meilleure stabilit´e.

Calcul des forces internes et externes

A chaque pas de temps, il est n´ecessaire d’´evaluer le vecteur Fint

n des forces internes et le vecteur Fext

Chapitre 4. Restauration et d´eformation continue

nous omettons le n pour all´eger les notations. Chaque ´el´ement t´etra´edrique e contribue `

a hauteur de F_Ie aux forces internes appliqu´ees `a son noeud I. De l’´equation 4.21 nous pouvons d´eduire la valeur de F_Ie (Equation 4.33) pour l’´element e. L’op´eration est r´ep´et´ee pour chaque ´el´ement et le r´esultat ensuite concat´en´e au vecteur global Fint

n (proc´edure d’assemblage). A partir de l’´equation variationelle 4.24 et au moyen d’une proc´edure similaire, nous construisons les forces externes surfaciques (exposant s) et volumiques (exposant v).

δW^int(u, δu) ⇒ F_Ie = Z

Ωe 0

B^T_I · S dΩ₀ (4.33) δW^ext(u, δu) ⇒ F^v_I

e = Z Ωe 0 ρ₀b N^¯ _IdΩ₀ F^s_I f = Z Γ^f₀ N_I^¯t dΓ₀

Ces calculs complexes sont les plus coˆuteux au sein de l’algorithme de relaxation dynamique ; nous avons observ´es qu’ils repr´esentent 90% du temps de calcul effectif. Un moyen d’acc´el´erer l’algorithme est de pr´e-calculer un certain nombre de quantit´es lorsque celles-ci ne d´ependent pas ou d´ependent lin´eairement de l’´etat de d´eformation courant. Ainsi par exemple, si nous consid´erons une relation Hook´eenne sous l’hypoth`ese des petites d´eformations, le vecteur de forces internes est ´egal au produit de la matrice de rigidit´e par le vecteur d´eplacement (Equation 4.22) : F<sup>int</sup><sub>n</sub> = K u<sub>n</sub>. La matrice K est connue et calcul´ee une fois pour toute au d´ebut de l’algorithme ; le produit matrice vecteur restant `a effecteur `a chaque it´eration est une op´eration peu couteuse. N´eanmoins, dans le cas d’une relation N´eo-Hook´eenne, cette op´eration n’est pas envisageable.

Crit`eres de convergence

La d´etection de l’´etat stationnaire est une ´etape difficile car toutes les quantit´es, en plus des effets oscillatoires physiques, sont soumises `a des oscillations num´eriques. Plu-sieurs options sont possibles et sont g´en´eralement bas´ees sur les variations relatives des d´eplacements, des forces, des acc´el´erations et de l’´energie :

1. Norme des forces r´esiduelles Le vecteur des forces r´esiduelles repr´esente le d´es´ equi-libre courant entre les forces internes et les forces externes ; il est calcul´e explicite-ment `a chaque ´etape (Equation 4.30). Underwood [1983], synth´etisant de nombreux autres ´ecrits, utilise sa norme pour d´etecter le passage en phase transitoire. En res-tauration, la plupart des conditions aux limites sont en d´eplacement, elles sont donc appliqu´ees a posteriori lors de l’´etape de correction des vitesses. La valeur de la force ´equivalente n’est jamais explicit´ee car le coˆut calculatoire serait prohibitif. Bien que classiquement utilis´ee, nous n’utilisons donc pas cette technique.

2. Norme des incr´ements de d´eplacement Intuitivement, lorsque l’algorithme converge, le vecteur d´eplacement est stabilis´e et chaque nouvelle it´eration ne modifie que peu

4.4. R´esolution par approche pseudo-transitoire ce vecteur : autrement dit, l’incr´ement de d´eplacement ∆unvoit sa norme d´ecroˆıtre. Puisque nous ne connaissons pas a priori la valeur significative d’un d´eplacement, nous ´etudions plutˆot la valeur relative ∆u_n/u_n et consid´erons la phase stationnaire comme atteinte si elle est inf´erieure `a  sur plusieurs cycles.

3. Norme des ´energies Belytschko et al. [2000] proposent une alternative int´eressante bas´ee sur la variation relative d’´energie du syst`eme. Elle fournit un crit`ere aussi robuste que pr´ec´edemment et pr´esente l’avantage suppl´ementaire de d´etecter de mani`ere robuste les instabilit´es num´eriques : l’´energie interne croˆıt de mani`ere ex-ponentielle. Le calcul des diff´erentes ´energies est r´ealis´e de mani`ere incr´ementielle [Belytschko et al., 2000]. Nous avons donc retenu ce crit`ere dans la mise en oeuvre de nos travaux (4.34). Wint n+1= W_n^int+¹ 2 ^∆u