D´ efinition et construction des variables cin´ ematiques

Avant de d´etailler les algorithmes de r´esolution, nous d´eveloppons ci-apr`es quelques ´el´ements de terminologie classique en m´ecanique du contact et apportons les nuances n´ecessaires `a notre probl`eme, le lecteur pourra se reporter `a [Wriggers, 2002] pour une description plus compl`ete. Pour toute contrainte C(Es, Em) et quelque soit son type (C<sup>nn</sup>, Cll ou Css), nous appelons E<sub>s</sub> ´el´ement esclave et E<sub>m</sub> ´el´ement maˆıtre. A titre d’exemple, pour la contrainte Css(F+, F<sup>−</sup>), le cˆot´e + de F est la surface esclave et le cˆot´e − est la surface maˆıtre. De mani`ere intuitive, cette distinction est li´ee au fait qu’un seul des deux cˆot´es, l’esclave, est assujetti `a une contrainte. En r´ealit´e, nous avons vu que nous sym´etrisons les contraintes et que de fait il existe une contrainte C^ss(F⁻, F⁺) inversant les rˆoles : nous l’appelons contrainte conjugu´ee.

Probl`eme de la distance minimale

Il est n´ecessaire de d´efinir une m´etrique permettant d’´evaluer le respect d’une contrainte cin´ematique donn´ee C(Es, Em), autrement dit le degr´e de p´en´etration ou d’´ecart des deux ´elements E_s et E_m dans leur configuration restaur´ee. Ainsi, pour tout point mat´eriel de Xs de Γ^Es

0 , nous pouvons d´efinir la valeur d’une fonction distance minimale d par rapport `

a l’´el´ement maˆıtre (Equation 5.5) : il s’agit de la distance entre le point mat´eriel esclave xs dans sa configuration restaur´ee et sa projection la plus proche sur la surface Γ^Em

t . En m´ecanique du solide traditionnelle, la d´efinition est moins restrictive car elle implique simplement la projection sur le corps le plus proche. Nous appelons donc en r´ealit´e d la fonction distance minimale contrainte et toutes les fonctions d´eriv´ees dans les sections sui-vantes sont ´egalement contraintes. N´eanmoins, pour des raisons de clart´e, nous omettons par la suite cette pr´ecision.

Chapitre 5. Restauration et d´eformation discontinue d(X^s) = min kϕ(Xs) − ϕ(X^m)k, X^m ∈ Γ^Em 0 (5.5) =min kxs− x^mk, x^m ∈ Γ^Em t

Fonction ´ecart normal

Nous d´enotons ¯xm le point spatial satisfaisant le probl`eme de la distance minimale (il est appel´e point d’impact ) et ¯n<sup>m</sup> la normale unitaire sortante `a Γ^Em

t en ce point. Suivant la dimension de la contrainte il n’est pas toujours possible de d´efinir une normale sortante au point d’impact. Les contraintes Css mettent en jeu des surfaces o`u il est donc possible de d´efinir la normale. En revanche, dans un espace tridimensionnel, la normale `a une ligne (contraintes Cll) n’est pas univoque, et la normale `a un noeud (contraintes Cll) n’est pas d´efinie. Dans ces deux cas, nous prenons alors la moyenne des normales avoisinantes. La fonction ´ecart normal g<sub>N</sub> (Figure 5.3) est une fonction scalaire sign´ee repr´esentant le degr´e de p´en´etration ou ´ecart le long de la normale sortante `a Γ^Em

t (Equation 5.6). Elle prend des valeurs n´egatives lorsqu’il y a p´en´etration et positives lorsqu’il y a ´ecart.

g_N = (x^s− ¯x^m) · ¯n^m (5.6)

Fig. 5.3 – D´efinition des variables cin´ematiques de contact (modifi´e d’apr`s [Wriggers, 2002]

5.3. R´esolution num´erique des conditions de contact Fonction ´ecart tangentiel

La fonction ´ecart tangentiel est une fonction vectorielle d´ecrivant la composante tan-gentielle de l’´ecart entre l’esclave et le maˆıtre. Ainsi si nous consid´erons le vecteur xs− ¯xm, il se d´ecompose en une composante normale g_Nn¯m et une composante tangentielle g_T. Au point d’impact, nous pouvons d´eterminer un rep`ere local orthonorm´e et tangent `a la sur-face de faille au moyen des vecteurs ¯a^m₁ et ¯a^m₂ , puis exprimer l’´ecart tangentiel (Equation 5.7). g_T = 2 X α=1 g_Tα a¯^m_α (5.7) g_Tα = (x^s− ¯x^m) · ¯a^m_α

Fonction ´ecart normal affaiblie

Nous avons vu dans la section pr´ec´edente que dans certaines conditions il n’est pas sou-haitable d’honorer strictement une contrainte cin´ematique de contact. C’est notamment le cas aux fronti`eres du domaine o`u le glissement relatif des blocs peut amener une partie du mod`ele hors des limites du domaine. Pour prendre en compte ce type de configuration, nous introduisons une fonction ´ecart normal affaiblie : si la fonction ´ecart tangentiel est non nulle en un point donn´e, alors nous assignons une valeur nulle `a g_N. La suite des algorithmes d´evelopp´es dans cette section ne cherchera donc pas `a corriger la position de ce noeud. N´eanmoins dans la suite de l’expos´e nous continuerons `a utiliser la notation g_N, elle doit se comprendre alors comme la fonction ´ecart normal affaiblie.

Discr´etisation des fonctions ´ecarts

Les fonctions ´ecarts sont comme pour les d´eplacements des fonctions discr`etes d´efinies aux noeuds puis interpol´ees en utilisant un sch´ema bilin´eaire (cas des fronti`eres surfa-ciques) ou lin´eaire (cas des fronti`eres lin´eiques). Le point d’impact ¯x<sup>m</sup> est recherch´e dans la configuration restaur´ee pour chaque noeud de l’´el´ement esclave Es. De nombreuses techniques num´eriques de recherche spatiale existent et permettent de r´eduire le coˆut calculatoire de cette op´eration, le lecteur pourra se reporter `a Williams and O’Connor [1999], Heinstein et al. [2000] et Wriggers [2002] pour une analyse compl`ete. Nous avons d´evelopp´e un algorithme simple et bien plus efficace qu’une recherche exhaustive :

1. Les ´el´ements maˆıtres et esclaves sont plong´es dans l’´etat restaur´e Γt en utilisant les vecteurs de restauration. De mani`ere `a acc´el´erer la recherche spatiale, les boˆıtes englobantes de chacun des ´el´ements sont partitionn´ees par une structure hi´erarchique `

Chapitre 5. Restauration et d´eformation discontinue

hexagonales ; l’algorithme stoppe lorsque toutes les cellules terminant les diff´erentes branches contiennent au plus un noeud.

2. Pour chaque noeud de l’´el´ement esclave E_s, le noeud le plus proche β sur Γ^Em

t

est calcul´e au moyen de le structure hi´erarchique pr´ec´edente. Les ´el´ements discrets voisins de β sur Γ^Em

t sont rassembl´es dans un ensemble V : pour les surfaces ce sont les triangles, et pour les lignes, les segments ayant β comme sommet. Ensuite, et pour chaque ´el´ement de V, nous calculons le point d’impact le plus proche (Equation 5.5) (pour les ´el´ements plats comme les segments et triangles, nul besoin de recourir `

a une r´esolution non lin´eaire). Nous conservons le plus proche de tous comme ¯x^m.