Principe de la méthode des éléments discrets (MED)

Pour réaliser notre étude, nous avons fait le choix de nous limiter à la MED. Pour mémoire,

on signale qu’il existe une approche sensiblement différente, appelée "dynamique des contacts", dans

laquelle on considère des particules strictement indéformables, y compris au niveau des contacts (i.e.,

sans interpénétration). Dans cette méthode, il n’y a donc aucune élasticité du matériau. On pourra se

reporter pour plus de détails aux travaux de Radjaï et Jean [Radjaï (1995), Jean (1999)] et au code de

calcul LMGC90 [Dubois et Jean (2003)]. On peut également parler de la méthode discrète "SPOT"

qui est moins connue, mais tout aussi efficace pour simuler l’écoulement granulaire (e.g., grains de

maïs dans un silo) ou générer des empilements de sphères. Cette méthode est développée par Bazant

et elle est basée sur une théorie statistique réaliste [Bazant (2006)].

Fig. 2.1 –Cycle de calcul de la Méthode des Eléments Discrets.

Concernant la méthode des éléments discrets, son objectif est de déterminer les positions de

toutes les particules et les forces appliquées sur toutes les particules, quel que soit l’instanttconsidéré

et pour un pas de tempsdt. Au début du cycle de calcul, les positions de toutes les particules au temps

tet de toutes les forces de contact au tempst−dtsont connues.

Le calcul des positions de toutes les particules au tempst+dt et de toutes les forces de contact au

tempstest réalisé en quatre étapes (voir Fig. 2.1).

– Etape 1 : mise à jour des contacts et des interpénétrations entre particules à partir des positions

des particules au tempst.

– Etape 2 : calcul et stockage de toutes les forces de contact au tempstà partir des

interpénétra-tions calculées à l’étape 1 et des forces de contact au tempst−dtpar application de la loi de

contact.

– calcul du déplacement des particules entre les tempst ett+dt par résolution des équations

issues du principe fondamental de la dynamique.

– calcul des positions des particules au tempst+dt.

A la fin du cycle de calcul, la connaissance des positions des particules au tempst+dtet de

toutes les forces de contact au tempstpermet d’initier le cycle de calcul au pas de temps suivant.

2.2.1 Loi de mouvements

Le milieu granulaire est représenté par un assemblage de particules tridimensionnelles

assimi-lables à un empilement de sphères. Dans l’assemblage, une particule pquelconque est caractérisée à

tout instant par sa positionp_i, sa vitesse en translation ˙p_i, et en rotation ˙θ_i. En connaissant les rayons

des particules, on peut donc établir à un instant donné une liste des contacts, sachant que deux

par-ticules sont en contact, si la distance entre les centres est inférieure ou égale à la somme des rayons.

Pour chaque contact, on calcule l’effort exercé entre les particules en fonction des lois de contact (voir

Sec. 2.3). Le torseur [F_i;M_i] résultant des forces de contact sur la particulepentraîne une

accéléra-tion en translaaccéléra-tion et en rotaaccéléra-tion suivant le principe fondamental de la dynamique. Si l’on notemla

masse de l’élément etIson moment d’inertie, on a :

¨

p_i = ^Fi

m ^(2.1)

¨

θ_i = ^Mi

I ^(2.2)

La position des particules, qui évolue au cours de la simulation, est déterminée à des intervalles

de tempsdt. Pour cela, les accélérations ¨p_iet ¨θ_isont intégrées suivant le schéma en différences finies

centrées du premier ordre traduit dans les équations (2.3) à (2.6). Dans ces équations, un indice après

une expression entre crochets désigne l’instant auquel l’expression est évaluée. Cette méthode

d’in-tégration émet l’hypothèse que les vitesses et les accélérations sont constantes sur chaque intervalle

de temps.

[ ˙p_i]_t+

dt 2

=[ ˙p_i]_t−

dt 2

+[ ¨p_i]_t.dt (2.3)

[˙θ_i]_t+

dt 2

=[˙θ_i]_t−

dt 2

+[¨θ_i]_t.dt (2.4)

[p_i]_t+dt=[p_i]_t+[ ˙p_i]_t+dt.dt (2.5)

[θ_i]_t+dt=[θ_i]_t+[˙θ_i]_t+dt.dt (2.6)

Entre chaque calcul des déplacements, les forces entre particules sont recalculées en tenant

compte des nouvelles positions; on dispose alors d’un système de forces de contact à jour pour le pas

de temps suivant. Le concept de cet algorithme est schématisé à la figure 2.1. On peut traiter par cette

méthode des problèmes dynamiques où le temps apparaît comme un paramètre pertinent. Dans notre

cas, le temps n’aura généralement pas de sens précis. Les itérations ont pour rôle essentiel de faire

converger le système vers un état d’équilibre statique. Pour qu’il y ait une convergence du calcul, il

faut que la valeur du pas de temps (dt) utilisé soit toujours inférieure à celle du pas de temps critique

(dt_critique).

2.2.2 Pas de temps critique

L’algorithme de résolution des équations du mouvement utilisé dans la MED étant de nature

explicite, la pertinence des résultats obtenus n’est assurée que si le pas de tempsdt ne dépasse pas

une valeur limite (dt_critique). Cette valeur limite assure que la valeur maximale du pas de temps soit

faible devant le temps nécessaire à ce que le contact s’établisse entre deux particules. Le pas de temps

est donc directement lié au temps de contact. Quel que soit le modèle de contact utilisé, la durée du

contact entre deux particules est fonction de la masse moyenne (m_i) des particules en contact et de

leur raideur de contact équivalentek_i. Le temps de contact diminue lorsque la taille moyenne des

particules diminue et lorsque leur raideur de contact augmente. La valeur du pas de temps critique

(dt_critique) est calculée comme étant une fraction de la durée du contact binaire purement élastique

entre les deux particules en contact ayant les tailles et les raideurs les plus pénalisantes.

dt_critique=αmin(

s

mn

i

kn

i

) (2.7)

Oùα∈[0,5; 1[ etnvarie de [1:nombre total de contact].

2.2.3 Code de calcul Yade

Le code de calcul YADE ("Yet Another Dynamic Engine") [Kozicki et Donzé (2008a),Kozicki

et Donzé (2008b)], propose un environnement open source écrit en langage C++permettant le

dé-veloppement de modèles numériques éléments discrets en trois dimensions. Il s’agit en fait d’une

évolution du code SDEC [Donzé et Magnier (1995)] basée sur la méthode de calcul aux éléments

discrets (MED), dont les capacités sont en perpétuelle évolution grâce à la mise en commun du

tra-vail de ses utilisateurs. Comme de nombreux codes utilisant la MED, le code YADE considère des

éléments sphériques identifiés indépendamment par leur propre masse m, rayonret moment d’inertie

I. A chaque itération du cycle de calcul (voir Fig. 2.1), les positions des grains sont recalculées par

intégration du principe fondamental de la dynamique à partir des forces résultantes définies par les

lois d’interaction locales interparticulaires (voir Sec. 2.2.1).

Dans sa version de base, le code YADE propose des lois d’interaction classiques de type "contact"

qui sont définies par des rigidités linéaires normales et tangentielles et un angle de frottement

inter-granulaire (Φ_c) (voir Sec. 2.3). Par ailleurs, le code offre la possibilité d’utiliser le moment en rotation

résistant pour simuler la résistance au roulement propre aux grains réels non sphériques. Mais étant

donné la complexité du comportement inter-granulaire à reproduire, nous faisons le choix de ne pas

intégrer le moment résistant dans le modèle de contact qui sera défini dans la section 2.3), ainsi le

jeu de paramètres micromécaniques à calibrer nous concernant se restreint finalement à la rigidité

normalekn, la rigidité tangentiellektet l’angle de frottement inter-granulaire (Φ_c). Le fait de ne pas

intégrer de moment résistant en rotation pour chaque particule a pour conséquence de restreindre

notre champ d’investigation et de ne pas pouvoir simuler des cas de compression avec déviateur pour

des poudres avec une géométrie anguleuse.

Fig. 2.2 – Représentation des boites englobantes (boites de couleur verte) dans le code éléments

discrets open-source YADE.

Afin de permettre la convergence du système vers un état d’équilibre quasi-statique, outre la

définition d’un pas de temps suffisamment petit pour assurer la stabilité du schéma d’intégration, les

dissipations d’énergies sont rendues possibles grâce à un amortissement "non visqueux" s’appliquant

indépendamment à chacun des éléments. Une particularité qui est propre au code de calcul YADE

est l’algorithme de détection des contacts, qui est basé sur un principe de boîtes englobantes (voir

Fig. 2.2). En effet chaque sphère est associée à une boîte englobante et pour savoir si il y a un contact

potentiel entre deux sphères, les boîtes englobantes qui se touchent sont scrutées en procédant à un

tri rapide à partir de leurs coordonnées (x,y,z). Une fois que deux boîtes se touchent, le calcul de la

distance entre deux sphères coûteux en temps de calcul est réalisé afin de calculer l’interpénétration

(h) entre les sphères. D’autres algorithmes de détection des contacts tout aussi performants existent

et les plus utilisés sont décrits dans cette thèse à l’annexe C.3.

Dans le document Modélisation de la compression haute densité des poudres métalliques ductiles par la méthode des éléments discrets (Page 85-89)