poten-tiellement capable de réduire les tests très coûteux sur ligne de production. Les adeptes de la
mo-délisation ont pour objectifs attendus la détermination et le contrôle des propriétés mécaniques de
la pièce finale dont notamment l’identification des valeurs de paramètre de pilotage du procédé. De
sorte à satisfaire toutes les attentes en ce domaine, il demeure encore des améliorations à apporter.
Les simulations entreprises doivent prédire les propriétés (densité, limite élastique, ...) du composant,
à cet égard l’annexe B) expose au travers d’un exemple des éléments de savoir faire actuels en termes
de modélisation numérique.
Un nombre restreint d’essais expérimentaux restera toujours requis pour caractériser précisément les
matériaux puis calibrer les paramètres des modèles de comportement utilisés dans les codes éléments
finis. Dans un avenir proche, il semble raisonnable de penser que l’accroissement des connaissances
sur les matériaux et les progrès de la modélisation réduiront encore le nombre des essais nécessaire à
une bonne calibration.
Concernant la modélisation de la phase de compression, il est important de tenir compte dans
la mesure du possible des caractéristiques du massif de poudre inhérentes aux phases précédentes,
ces caractéristiques ayant des influences sur la réponse du matériau pendant la phase de compression
comme nous l’avons vu dans les sections 1.4 et 1.5. En partant de ce postulat, il existe alors plusieurs
voies pour modéliser la compression de la poudre : l’approche par la simulation discrète (voir Sec. 1.7)
basée sur l’hypothèse des milieux continus. L’approche continue, intégrée à la méthode éléments finis,
consiste à reproduire le comportement de la poudre par mise en œuvre de lois phénoménologiques
dont les fondements sont rappelés en annexe A. Cette approche reste la plus employée dans le monde
industriel.
1.6.1 Les modèles de plasticité incrémentaux
La plupart des modèles de comportement sont basés sur la théorie incrémentale de la plasticité
pour laquelle les lois de comportement et la notion de surface de plasticité servent à décrire la réponse
macroscopique du matériau (voir annexe A). Ces lois phénoménologiques peuvent être établies par
formalisme mathématique suite à l’analyse des résultats expérimentaux ou encore en s’inspirant des
résultats de la modélisation micromécanique par approche discrète. Elles sont souvent exprimées par
des fonctions quadratiques de la contrainte moyenne (p=σ1+σ23+σ3), de la contrainte effective de Von
Mises et prennent une forme de type elliptique.
Brown et Abou-Chedid [Brown et Abou-Chedid (1992)] montrent que beaucoup de critères
plastiques sont inadaptés pour mener des applications directes à la compression des poudres. Dans la
littérature, nous disposons de modèles phénoménologiques élaborés tels que le critère de Hill. Mais
celui-ci, dans sa formulation originale, repose sur l’hypothèse d’incompressibilité plastique ce qui
conduit à ne pas pouvoir le considérer pour les matériaux granulaire.
Il a fallu ainsi développer des lois phénoménologiques qui prennent en compte la compressibilité
du matériau et le paramètre d’écrouissage avec un nombre restreint de paramètres pour favoriser leur
implémentation dans des codes de calculs éléments finis. Dans la suite, nous présenterons les deux
principaux modèles utilisés par un grand nombre de chercheurs pour prédire la réponse de la poudre
en cours de compression.
1.6.1.1 Le modèle Drucker-Prager/Cap
De grandes déformations ont lieu lorsque des poudres métalliques ductiles sont comprimées.
En terme d’ordre de grandeur, il est courant que le volume circonscrit par l’outillage en fin de la
phase de transfert soit divisé d’un facteur 2 en fin de compression. Ce comportement montre ainsi de
premières similarités avec le phénomène de compression des sols. Les modèles empiriques utilisés
pour modéliser la réponse des sols sous sollicitations mécaniques ont ainsi été adoptés et modifiés
pour prédire la réponse des poudres industrielles. De plus, l’équipement et les différents chemins de
chargement utilisés pour déterminer les propriétés des sols sont également utilisés dans le cas des
poudres.
Fig. 1.13 –Modèle modifié de Drucker-Prager/Cap représenté dans le plan p-q avec l’introduction
d’une limite en traction T. Le critère de Von Mises n’est pas apdapté au comportement des comprimés
à vert en cours de compression [Coube (1998)].
Drucker et Prager [Drucker et Prager (1952)] ont étendu le modèle de Mohr-Coulomb écrit en
1776 pour l’interprétation des résultats des tests triaxiaux. L’ensemble du modèle composé
essen-tiellement de deux mécanismes est dénommé Drucker-Prager/Cap (DPC) au sein de la communauté
scientifique. Il est depuis des années utilisé pour modéliser le comportement des sols. La surface de
plasticité de ce modèle est constituée d’une surface de fissurationFS (voir Eq. 1.4) et d’une surface
elliptique (la surface Cap)FC (voir Eq. 1.5). Les surfacesFS etFC constituent une surface de
plasti-cité combinée de forme convexe dans le plan du premier et du second invariant (i.e., le plan p-q) (voir
Fig. 1.13) qui est caractérisée par l’équation:
FS =q−p.tan(β))−d=0 (1.4)
FC =
q
(p− pa)2+Rq2−R(d+pa.tan(β))=0 (1.5)
Où
R=R1+R2exp(R3ρ) d=d1exp(d2vp) (1.6)
Avec les paramètres R l’excentricité de la surface cap, d la contrainte limite de cohésion, β
l’angle de la droite de rupture sont constants dans la version originale du modèle. Par ailleurs, la
valeurPaest une fonction de durcissement ou d’écrouissage activée par une partie hydrostatique
pré-pondérante du chargement, cette fonction est donc croissante avec la densité.
Dans la figure 1.13, deux extensions du modèle original sont ainsi inclues: la limite en
trac-tionT, qui caractérise la contrainte limite en traction du comprimé à vert et la limite de Von Mises
σy du matériau dense sans porosité. Pour les états de contrainte situés à l’intérieur de la surface de
plasticité, la poudre a un comportement élastique réversible. Si l’état de contrainte atteint une des
surfaces de plasticitéFS ouFC, le massif de poudre se déforme plastiquement. La densité augmente,
si l’état de contrainte est sur la surface cap, tandis que la densité décroît par effet de la dilatation
quand l’état de contrainte atteint la surface de Drucker-Prager. Le mécanisme modélisé par la droite
de Drucker-Prager induit une dilatation du massif de poudre et un radoucissement, sa réponse
méca-nique, la localisation de la déformation et la fissuration pouvant apparaître par le développement de
ce mécanisme.
Par les premières caractéristiques qui viennent d’être décrites, il apparaît une bonne adéquation
du modèle de Drucker-Prager/Cap aux traits les plus saillants du comportement observé des
com-primés à vert. En effet et à titre d’exemple, un comprimé à vert à base de poudre de fer de densité
7mg.m−3se rompt en traction pour une contrainte de quelques mégapascal [Alvain (2001)] qui
néces-site une pression isotrope p de quelques centaines de mégapascal pour augmenter sa densité [Pavier
(1998)]. Par ailleurs, l’amplitude de l’écrouissage décrit par ce modèle peut être particulièrement
éle-vée, la valeur du paramètre Pa en tout début de compression (poudre à l’état pulvérulent) étant de
l’ordre d’un mégapascal. Chtourou et al. [Chtourouet al.(2002)] ont récemment amélioré le modèle
Drucker-Prager/Cap pour les poudres ductiles.
Pour décrire le comportement de la poudre de façon plus réaliste et spécialement concernant
la formation de fissures pendant la compression et les phases de décharge et d’éjection, le modèle
Drucker-Prager/Cap a été modifié par Coube et Riedel [Coube et Riedel (2000)]. Il est alors proposé
que les paramètres de cohésion d,βet T et transition R dépendent de la densité tout commepa. Dans
les relations suivantes la densité ρ et la déformation volumique plastique vp sont alternativement
utilisées. Elles sont liées par:
vp =ln( ρ
ρ0) (1.7)
Oùρ0est la densité initiale après la phase de remplissage et la déformation volumique plastique
(vp) est définie positive pendant la compression. La relation de durcissement, l’excentricité de la
surface Cap et les paramètres de cohésion sont initialement décrits par les expressions empiriques
suivantes:
vp =W(1−exp(−c1pc
2a)) (1.8)
tan(β)=b1−b2vp (1.9)
Les paramètresW,c1,c2,R1,R2,R3,d1,d2,b1etb2 sont déterminés par des expériences tels
que le test brésilien, la compression simple et les essais triaxiaux. Pour les détails concernant les
techniques des mesures, on peut se reporter à un ouvrage [Brewinet al.(2008)].
1.6.1.2 Le modèle Cam-Clay
Le second modèle de comportement couramment mis en œuvre pour modéliser le comportement
des poudres est le modèle de Cam-Clay qui a aussi pour origine la mécanique des sols. Le modèle
original a été développé par Schofield et Wroth [Schofield et Wroth (1968)]. Ce modèle est décrit
par une seule surface de plasticité, celle-ci étant régulière. Par la suite, le modèle a été simplifié par
Wood [Wood (1990)]. La surface de plasticité est alors décrite par une expression quadratique de
la contrainte déviatoire et de la pression moyenne, elle est déplacée de façon à intersecter l’origine
comme le présente la figure 1.14.
L’expression de la surface de plasticité pour ce modèle s’écrit alors:
p= σa+2σr
3 et q=σa−σr (1.10)
Oùσaetσrsont respectivement la contrainte axiale et la contrainte radiale.
f = (p(σi j)−p0)
2
p2
0
+ q
2(σi j)
q2
0
=1 (1.11)
Où p0 et q0 sont respectivement la longueur du demi-grand axe et du demi-petit axe de
l’el-lipse. Les paramètres matériaux (p0,q0) varient en fonction de la densité pour reproduire l’effet de
Fig. 1.14 –Modèle modifié de Cam-Clay représenté dans le plan p-q.
l’écrouissage sur le comportement de la poudre, cette variation étant décrite par des équations
ana-lytiques. Deux équations sont donc requises pour déterminer les paramètres p0 etq0 au cours de la
densification du comprimé. Elles sont identifiées en insérant l’équation 1.10 dans l’équation 1.11.
Il vient en utilisant l’équation A.16-C:
p0=k1(ln(1− ρ−ρ0
ρ−ρmax))
k
2(1.12)
q0=qmax.tanh(k3p0
qmax) (1.13)
Les termesk1àk3sont des constantes issues de l’analyse de résultats expérimentaux,ρ0etρmax
sont respectivement la densité théorique initiale et maximale pour la poudre, le paramètreqmax
cor-respondant à la contrainte maximale déviatoire du matériau dense.
Comme le précédent modèle, il est nécessaire de calibrer les paramètres à partir des bases de
données expérimentales. La figure 1.14 inclut le chemin de chargement typique de la compression
en matrice d’un cylindre sans frottement aux parois. Disposant de matrice instrumentée, les
caracté-ristiques de ce chemin peuvent être utilisées pour calibrer ce modèle de plasticité intégré aux
simu-lations éléments finis. Les différentes courbes isodensité représentées par la figure 1.14 sont toutes
elliptiques, elles représentent l’écrouissage de la surface charge pour cinq niveaux croissants de
den-sification. Tenant compte des caractéristiques du comportement ainsi modélisé, ce modèle prévoit une
absence totale de tenue du comprimé à vert en traction par exemple.
D’autres modèles de comportement peuvent être mis en œuvre pour simuler la compression de
poudre, cependant nous avons voulu par cette section présenter les deux modèles les plus connus. Pour
avoir des informations complémentaires sur les capacités et les performances de l’approche continue
au travers d’un cas concret, il convient de se reporter à l’annexe B.
En conclusion de cette section, les lois phénoménologiques macroscopiques du type
Drucker-Prager/Cap et Cam-Clay construites sur la base de la théorie de la plasticité conviennent pour prédire
avec une précision correcte la distribution de densité en fin de compression et après éjection [Frachon
et al.(1999), Frachonet al.(2002)]. Par ailleurs, cette approche basée sur la mécanique des milieux
continus assure des simulations assez rapides ce qui la positionne comme un bon outil de première
analyse [Ariffinet al.(1998), Jonsen et Haggblad (2005), Brewinet al.(2008)]. Il demeure cependant
acquis au sein de la communauté scientifique que ces lois ne peuvent pas modéliser et reproduire la
réponse d’un matériau granulaire, surtout quand il s’agit des zones de la pièce concernées par des
chemins de chargement complexes développés aussi bien au cours de la compression ou de
l’éjec-tion. La seule variable d’état (densité relative) que ces modèles intègrent ne permet pas en tant que
variable scalaire la description d’une histoire complexe de chargement. Il est attendu au travers d’une
meilleure prise en compte de l’histoire de chargement de pouvoir à la fois améliorer la précision
sur les valeurs d’effort simulé et de construire des critères valables pour détecter de manière fiable
des conditions initiales à l’apparition de défauts. L’introduction de nouveaux formalismes traduisant
des caractéristiques plus anisotropes et permettant de réelles évolutions de la forme de la surface de
charge tout en tenant compte des effets variés des chemins de chargement reste donc à développer.
Afin de mieux circonscrire cette complexité induite par la microstructure du matériau, on opte
dans cette thèse pour l’approche discrète qui est dédiée à la modélisation du comportement
méca-nique des matériaux granulaires. Pour se familiariser avec cette méthode numérique, dans la suite
de ce chapitre seront présentées deux méthodes discrètes existantes. L’objectif final est de pouvoir
sélectionner une des deux méthodes qui sera la mieux adaptée à notre étude.
Dans le document
Modélisation de la compression haute densité des poudres métalliques ductiles par la méthode des éléments discrets
(Page 55-60)