Principe de la commande pr´edictive

a l’implantation et la difficult´e d’obtention d’un mod`ele math´ematique ont longtemps p´enalis´e l’utilisation des commandes optimales (pr´edictives) dans les bˆatiments.

Mais l’importance de ces deux inconv´enients a diminu´e progressivement. Ainsi, les avanc´ees technologiques ont permis notamment `a la commande pr´edictive d’ˆetre employ´ee dans de nombreuses applications [152]. D’autre part, de nombreux outils de simulation de thermique et / ou ´energ´etique des bˆatiments ont ´et´e d´evelopp´es, parmi lesquels SIMBAD [42], EnergyPlus [55], SIBIL [54], DOE-2 [25], HAP [38], BLAST [96], TAS [71], HVACSIM [148], TRNSYS [19], SPARK [172], ESP-r [35], COMFIE [16] et bien d’autres. Due aux avantages ´enormes du logiciel (coˆut et vitesse), la majorit´e des r´esultats exp´erimentaux concernant le contrˆole thermique des bˆatiments s’appuient sur des simulations. `A partir des d´etails de construction du bˆatiment r´eel (orientation, structure, dimensions et composition des murs, fenˆetres, ´equipements CVC), l’utilisateur du logiciel peut ´egalement obtenir un mod`ele math´ematique par une proc´edure d’identification ou par acc`es direct au mod`ele du logiciel, quand cela est possible.

2.1.4.1 Principe de la commande pr´edictive

Le principe de la commande pr´edictive [30] consiste `a optimiser une fonction de coˆut, qui d´ecrit l’objectif de contrˆole sur un horizon de temps fini. Afin de calculer la s´equence de commandes qui optimise le crit`ere d´efini, le contrˆoleur dispose d’un mod`ele (math´ematique) du processus pour pr´edire son comportement. `A chaque instant, une s´equence de commandes optimales en boucle ouverte, minimisant la fonction de coˆut, sur l’horizon de pr´ediction est calcul´ee, mais seul le premier ´el´ement est appliqu´e au syst`eme. Cette proc´edure est reprise `a la p´eriode d’´echantillonnage suivante (figure 2.3), mettant `

a jour les param`etres courants du syst`eme (mesures ou estimations), selon le principe d’horizon fuyant.

En fait, la technique pr´edictive est similaire au comportement anticipatif de l’ˆetre humain. Pour une analogie simple, prenons le cas de la conduite d’une voiture. Le

conduc-kk + 1 k k + 1

k − 1 k + N Temps k − 1 (k + 1) + N Temps

Pass´e Horizon Futur Pass´e Horizon Futur

Consigne Sortie Pr´ediction de la sortie

de pr´ediction non pr´evu de pr´ediction non pr´evu

Figure 2.3 – Principe de fonctionnement de la commande pr´edictive : Pr´ediction de la commande et de la sortie `a l’instant k sur un horizon fini (gauche) ; R´eit´eration `a l’instant suivant (droite)

teur connaˆıt la trajectoire `a suivre sur un horizon fini et, prenant en compte les ca-ract´eristiques de la voiture (mod`ele mental), d´ecide d’actionner ses commandes. En utili-sant un r´egulateur classique, comme le PID, les actions sont prises en fonction des erreurs pass´ees entre la sortie et la consigne, ce qui est ´equivalent, dans cet exemple, `a conduire la voiture en regardant le r´etroviseur [30]. Cette comparaison est pourtant l´eg`erement in´equitable pour le PID, sachant qu’il n’utilise pas les connaissances sur la consigne future `

a suivre.

Les ´etapes sp´ecifiques de la mise en œuvre d’une loi de commande pr´edictive peuvent ˆetre divis´ees en deux cat´egories, en fonction de leur apparition par rapport au moment de mise en service du r´egulateur (voir la figure 2.4) :

1. ´Etapes hors ligne

– Le mod`ele de commande est un ´el´ement essentiel `a la commande pr´edictive. Le concept fondamental de ce type de contrˆole, celui de pr´ediction, s’appuie sur le mod`ele de commande. Ainsi, sa pr´ecision devient d´eterminante pour les perfor-mances de la commande. Il faut mentionner que la commande pr´edictive est sou-vent pr´ec´ed´ee d’une proc´edure d’identification [165], et ´evidemment, plus le mod`ele de pr´ediction est pr´ecis, plus la commande appliqu´ee sera efficace.

– Le crit`ere d’optimisation est ensuite d´efini en fonction des objectifs de contrˆole : (a) Stabilit´e. La structure de la fonction de coˆut est usuellement choisie telle

que l’optimum forme une fonction de Lyapunov pour le syst`eme en boucle ferm´ee, qui garantit la stabilit´e. Dans la pratique, cette exigence est souvent relax´ee pour le cas des syst`emes stables et lents, tels que les processus ther-miques pr´esents dans les bˆatiments [76]. Ainsi, dans la suite de ce m´emoire on s’int´eressera plutˆot aux aspects technico-´economiques qu’`a la probl´ematique de stabilit´e.

´

Elaboration du mod`ele de pr´ediction

D´efinition de la fonction de coˆut

Mise `a jour des variables (´etat, sortie, consigne, perturbations, etc.)

Calcul de la s´equence de commandes (via l’optimisation)

Application du premier ´el´ement de la s´equence au syst`eme

In st a n t su iv a n t (k = k + 1 ) Pr´e-calcul ´ E^ta p es h o rs li g n e ´ E^ta p es en li g n e Mise en service

Figure 2.4 – Proc´edure de synth`ese de la loi de commande pr´edictive

(b) Performances de la commande. Le crit`ere est g´en´eralement, mais pas tou-jours, utilis´e pour sp´ecifier les performances souhait´ees en boucle ferm´ee. Une liste non exhaustive des travaux concernant l’application de la commande pr´edictive (MPC) aux processus thermiques sera donn´ee dans le paragraphe suivant, dont diff´erentes fonctions de coˆut sont propos´ees pour minimiser l’´energie, maximiser le confort ou optimiser un crit`ere qui d´ecrit un compromis entre ces deux objectifs.

Traditionnellement, la commande pr´edictive est formul´ee via une fonction de coˆut quadratique. D’un point de vue th´eorique, l’optimisation quadratique pr´esente des bonnes propri´et´es, comme la d´erivabilit´e et la convexit´e du crit`ere. La formulation analytique de l’optimum, pour le cas sans contraintes, constitue un autre avantage, en diminuant l’effort de calcul en ligne. Pourtant, les objectifs ´economiques ont souvent une importance majeure dans les performances des r´egulateurs. Ces ob-jectifs, exprim´es sous une forme lin´eaire, transforme la formulation initiale en un probl`eme d’optimisation dans le cadre de la programmation lin´eaire (sous condi-tions de lin´earit´e du mod`ele et des contraintes). Bien que le calcul de la solution d’un programme lin´eaire exige un effort r´eduit par rapport `a une optimisation qua-dratique de mˆeme complexit´e, le principal inconv´enient reste la non-d´erivabilit´e de la fonction de coˆut [159]. Ainsi, les solutions analytiques ne sont g´en´eralement pas disponibles.

– Une ´etape de pr´e-calcul est souvent n´ecessaire pour r´eduire la charge en ligne. Ainsi, la loi de commande MPC `a crit`ere quadratique sans contraintes peut ˆetre implant´ee sous la forme d’un r´egulateur lin´eaire de type RST, par exemple, comme on le verra au chapitre suivant.

– La mise `a jour des variables est une ´etape propre `a tout contrˆoleur en boucle ferm´ee. Cette ´etape peut viser ´egalement `a actualiser les param`etres sp´ecifiques `a la loi pr´edictive, comme par exemple les dimensions des horizons de pr´ediction et les valeurs des termes de pond´eration ou bien les contraintes du probl`eme d’opti-misation.

– Un acteur d´ecisif pour l’applicabilit´e de cette strat´egie de commande est le solveur utilis´e. Ainsi, il doit fournir une solution du probl`eme d’optimisation dans un d´elai d´efini, inf´erieur `a la p´eriode d’´echantillonnage du processus.

– `A la fin de la proc´edure d’optimisation, seul le premier ´el´ement de la s´equence de commande est appliqu´e au syst`eme. `A l’instant suivant, de nouvelles informations seront utilis´ees pour le calcul de la s´equence optimale. Cette technique se base sur le principe de l’horizon glissant.