Etude exp´erimentale sur la vitesse de convergence

L’objectif de ce paragraphe est d’´etudier, de mani`ere exp´erimentale, la vitesse de convergence de l’algorithme distribu´e. Pour ce faire, on reprend les sc´enarios d’occupa-tion 2 et 4, pr´esent´es ci-dessus. Les figures 3.16 et 3.17 illustrent l’´evolud’occupa-tion de l’´ecart maximal parmi les agents entre deux vecteurs d’´echange cons´ecutifs, exprim´ee en norme infinie, et ´egalement la valeurs du rayon spectral de la matrice ΘΘΘ.

5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 0.5 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 10⁻²⁰ 100 10²⁰ 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 0.1 0.2 Pas δ1(k) δ2(k) δ3(k) δⁱ m ax i (k ˜yyy (l ) i − ˜yyy (l − 1 ) i k^∞ ) ρ (ΘΘΘ )

Figure 3.16 – Sc´enario 2 : ´Evolution de la vitesse de convergence et du rayon spectral de la matrice ΘΘΘ en fonction du profil d’occupation, pour la configuration DiMPCHV1, avec : N₂ = 6, N_2,j = 3, ∀j ∈ N³₁ 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 0.5 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 10−20 10⁰ 1020 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 0.1 0.2 Pas δ1(k) δ2(k) δ3(k) δi m ax i (k ˜yyy (l ) i − ˜yyy (l − 1 ) i k^∞ ) ρ (ΘΘΘ )

Figure 3.17 – Sc´enario 4 : ´Evolution de la vitesse de convergence et du rayon spectral de la matrice ΘΘΘ en fonction du profil d’occupation, pour la configuration DiMPCHV1, avec : N₂ = 6, N_2,j = 3, ∀j ∈ N³₁

La vitesse de convergence de l’algorithme distribu´e est relativement rapide. Pour les quatre sc´enarios ´etudi´es, un maximum de 4 it´erations par pas d’´echantillonnage est n´eces-saire pour satisfaire la condition de convergence avec ǫ_i= 10−2. Un nombre ´elev´e d’it´era-tions est atteint quand le rayon spectral ρ(ΘΘΘ) est relativement important. Ces instants correspondent `a la p´eriode de pr´echauffage pendant laquelle la vitesse de convergence augmente progressivement.

Sc´enario ^{Loi de commande} I_c [oCh] E_c [kWh] Type Sp´ecificit´e 1 ^DiMPCHV1 l_max = 1 158,64 175,67 lmax = 2 154,62 175,48 l_max = 10 154,61 175,46 D´eMPCHV1 - 167,29 177,43 2 ^DiMPCHV1 l_max = 1 71,14 235,85 lmax = 2 66,44 235,39 l_max = 10 66,44 235,26 D´eMPCHV1 - 84,48 237,23 3 ^DiMPCHV1 l_max = 1 620,99 249,57 l_max = 2 607,07 248,74 l_max = 10 606,86 248,83 D´eMPCHV1 - 618,27 256,61 4 ^DiMPCHV1 l_max = 1 301,96 221,44 l_max = 2 294,93 221,24 lmax = 10 294,91 221,22 D´eMPCHV1 - 323,24 225,50

Table 3.2 – R´esultats comparatifs D´eMPCHV1 - DiMPCHV1 pour les quatre sc´enarios d’occupation, avec les param`etres : N_u,i = N_2,i = 2, N_2,i = N_2,i = 10, λ_i = 1, ǫ_i = 0, ∀i ∈ N3

1

Dans le tableau 3.2, on compare les performances de la structure de commande dis-tribu´ee en utilisant plusieurs valeurs du nombre maximal d’it´erations. On observe que la version non it´erative de l’algorithme 1 offre des r´esultats proches de ceux obtenus par la proc´edure it´erative, ce qui est principalement dˆu `a une bonne initialisation (voir le para-graphe 3.4.3.2) La deuxi`eme it´eration permet une am´elioration au niveau du confort de 2,25 `a 6,6 % avec des taux de consommation quasiment identiques. Pourtant, il semble que l’augmentation du nombre d’it´erations `a une valeur sup´erieure `a 2 ne modifie pas de mani`ere significative les performances de contrˆole. Ceci peut s’expliquer par le fait qu’`a partir de la deuxi`eme it´eration certaines composantes des vecteurs d’´echange restent constantes. De plus, la s´equence de sortie calcul´ee de fa¸con distribu´ee n’a pas une ´evolution importante au fil des it´erations (les termes de pond´eration λi´etant choisis afin de favoriser le suivi de consigne).

3.5 Conclusion

Le travail d´evelopp´e dans ce chapitre avait comme objectif de pr´esenter une strat´egie de commande pr´edictive `a crit`ere quadratique pour la r´egulation du poste de chauffage des bˆatiments, dans le cas d’une occupation intermittente. L’utilisation d’un mod`ele lin´eaire du syst`eme (bˆatiment et organe de chauffe) permet, dans le cadre d’une optimisation sans contraintes, d’exprimer la commande sous la forme d’une loi lin´eaire. Ainsi, le r´egulateur pr´edictif peut ˆetre facilement implant´e sur une carte ´electronique embarqu´ee.

Dans un premier temps, nous avons modifi´e la fonction de coˆut classique de la loi de commande pr´edictive, pour mieux r´epondre aux objectifs de contrˆole thermique dans le cadre d’une occupation discontinue. Ainsi, le profil futur d’occupation a ´et´e inclus dans la formulation de la fonction de coˆut. Ceci modifie l’objectif de contrˆole en fonction de la phase (occupation / inoccupation) de la zone. La loi de commande lin´eaire devient ainsi variable dans le temps. Malgr´e le fait que la strat´egie de commande ait ´et´e pr´esent´ee dans le contexte de la r´egulation thermique, elle peut ´egalement ˆetre une solution pour la commande des syst`emes qui poss`edent un fonctionnement discontinu, comme par exemple les machines-outils qui doivent usiner des pi`eces [79]. Il apparaˆıt des p´eriodes de temps pendant lesquelles la machine n’usine pas, et dans ce cas seule la r´eduction de sa consommation ´energ´etique est int´eressante.

Pour faciliter la mise en oeuvre de la loi de commande pr´esent´ee, une structure polyno-miale dynamique de type RST, dont les coefficients des trois polynˆomes sont variables dans le temps, a ´et´e d´evelopp´ee. Pour r´eduire la charge de calcul en ligne, les coefficients des po-lynˆomes peuvent ˆetre stock´es dans un bloc de m´emoire. Afin d’am´eliorer les performances de contrˆole sans augmenter la complexit´e du correcteur, une strat´egie de diminution de l’horizon de pr´ediction sur la sortie, en fonction du profil d’occupation, a ´et´e pr´esent´ee.

La d´emarche d´evelopp´ee pour une seule pi`ece a ´et´e adapt´ee `a un bˆatiment multizone o`u la commande est calcul´ee de mani`ere distribu´ee. Les interactions thermiques entre les zones adjacentes sont prises en compte dans le mod`ele de commande par l’utilisation d’un couplage par les sorties. Cette particularit´e du mod`ele permet de r´eduire la quantit´e d’in-formations ´echang´ees entre les agents voisins, en employant une strat´egie de variation de l’horizon de pr´ediction. En fonction du profil d’occupation local et de l’it´eration courante, la s´equence d’information ´echang´ee parmi les agents est compos´ee d’une partie calcul´ee de fa¸con distribu´ee, mais peut ´egalement inclure une partie ´evalu´ee de mani`ere d´ecentralis´ee sans avoir recours `a une proc´edure d’optimisation. Une condition n´ecessaire et suffisante pour la convergence de l’algorithme propos´e a ´et´e formul´ee.

Les r´esultats de simulation ont montr´e des augmentations sur le degr´e de confort ainsi que des ´economies d’´energie avec l’architecture distribu´ee `a horizon dynamique. Le prix `

a payer pour ces am´eliorations de performance est l’utilisation d’un r´eseau de commu-nication, qui permet l’´echange d’information entre les r´egulateurs locaux. Pour le cas o`u l’algorithme non it´eratif n’offre pas les performances requis, une complexit´e suppl´ementaire s’ajoute, suite au calcul de la commande optimale `a chaque it´eration de l’algorithme

dis-tribu´e.

Malgr´e les avantages de la commande pr´edictive `a crit`ere quadratique, elle n’offre pas une relance optimale du poste de chauffage. Celle-ci suppose le d´eclenchement du chauffage `a puissance maximale, au dernier moment, pour que la temp´erature de la zone atteigne la valeur de confort d`es le d´ebut de la p´eriode d’occupation. Comme on a pu le constater, la dur´ee de la p´eriode de pr´echauffage des r´egulateurs ´etudi´es dans ce chapitre est d´efinie par la taille de l’horizon maximal de pr´ediction. Pourtant, l’´evolution de la puissance de chauffe pendant la relance d´epend des param`etres de r´eglage du r´egulateur. Sachant qu’il n’existe pas de r`egles permettant de calculer les param`etres sp´ecifiques `a la commande pr´edictive, nous avons ´egalement analys´e les performances obtenues pour diff´erentes valeurs des param`etres de r´eglage.

Les performances ´economiques ´etant g´en´eralement exprim´ees via des crit`eres lin´eaire de performance , il s’av`ere alors int´eressant d’´etudier le comportement des r´egulateurs pr´edictifs `a crit`ere lin´eaire, cet aspect sera d´evelopp´e dans les chapitres suivants.

MPC lin´eaire multivariable pour la

r´egulation thermique multizone

¹

C’est un m´enage `a quatre : lui, elle, l’id´ee qu’elle se fait de lui

et l’id´ee qu’il a d’elle.

La vie de couple Claude Roy