Commande pr´edictive pour le contrˆ ole thermique

Parmi les nombreuses m´ethodes de commande pr´edictive, la commande pr´edictive g´en´eralis´ee (GPC de l’anglais Generalized Predictive Control) [37] est l’une des plus connues. Sa popularit´e est principalement li´ee `a l’usage d’un mod`ele entr´ee-sortie, usuel-lement de type CARIMA (Controlled AutoRegressive Integrated Moving Average), qui aboutit `a l’implantation de la loi de commande sous une forme RST, quand le probl`eme pos´e est lin´eaire et sans contrainte. De nombreuses applications sont trait´ees par la m´ethode GPC, essentiellement pour des syst`emes monovariables [26].

Rien n’impose une formulation sp´ecifique de la fonction de coˆut, pourtant dans les travaux mentionn´es ci-dessous, le crit`ere pr´ef´er´e est celui d´ecrit par l’´equation suivante :

J(k) = N2 X j=N1 δ(j)[ˆy(k + j|k) − w(k + j)]²+ Nu X j=1 λ(j)∆u²(k + j − 1|k), (2.3)

o`u ˆy et w sont, respectivement, la sortie pr´edite (utilisant le mod`ele CARIMA) et la consigne, quand ∆u repr´esente l’incr´ement de la commande (∆u(k) = u(k) − u(k − 1)). La notation x(k + j|k) traduit la pr´ediction de la variable x, correspondant `a l’instant k + j, calcul´ee au pas de temps k. Le probl`eme d’optimisation s’exprime alors comme la minimisation du crit`ere (2.3) :

min

∆u(k|k),∆u(k+1|k),...,∆u(k+Nu−1|k)J(k). (2.4) Dans la formulation (2.3) on peut ´egalement identifier les param`etres de r´eglage sp´ecifiques `

a la commande pr´edictive GPC :

– les horizons inf´erieur, N₁, et sup´erieur, N₂, de pr´ediction sur la sortie,

– l’horizon de pr´ediction sur la commande, N_u, au-del`a duquel les valeurs futures de la commande sont consid´er´ees constantes,

Pour la r´egulation de la temp´erature dans une pi`ece chauff´ee par un convecteur ´elec-trique, les auteurs proposent dans [52] un r´egulateur RST construit `a partir de la solution analytique du probl`eme d’optimisation de GPC. Afin de simplifier l’implantation, une technique d’anticipation empirique est mise au point qui r´eduit la dimension de l’horizon de pr´ediction. L’id´ee utilis´ee est le d´ecalage dans le temps de la consigne future. Dans [33], la commande GPC est appliqu´ee `a un syst`eme de chauffage par le plancher. L’identification des param`etres du mod`ele CARIMA est bas´ee sur une m´ethode d’estimation des moindres carr´es. Suite `a cette proc´edure, les auteurs ont propos´e deux mod`eles du syst`eme (pour le jour et pour la nuit). Les mod`eles polynomiaux, sp´ecifiques `a la commande pr´edictive g´en´eralis´ee, sont relativement difficiles `a manipuler dans le cas des processus multivariables. C’est pourquoi, par exemple, on retrouve des structures de commande GPC d´ecentralis´ees (monovariables) [189, 162], pour des syst`emes de climatisation multivariables.

Pour les processus de grande taille, compos´es de plusieurs sous-syst`emes, la formulation de la commande pr´edictive dans l’espace d’´etat est pr´ef´erable [175]. Ce formalisme, com-mun´ement appel´e MPC (Model Predictive Control) ou MBPC (Model-based Predictive Control) [36], facilite ´egalement l’analyse de stabilit´e et de robustesse du correcteur.

Dans [64], le passage de la formulation polynomiale vers celle de l’espace d’´etat est d´etaill´e. Le mod`ele du syst`eme de climatisation consid´er´e est suppos´e lin´eaire. L’ajout de l’indice PMV au mod`ele conduit les auteurs `a adopter une structure Hammerstein-Wiener (bas´ee sur une fonction de transfert `a laquelle vient s’ajouter une non-lin´earit´e statique). Diff´erentes fonctions de coˆut quadratiques sont propos´ees pour le contrˆole de la temp´erature, de l’humidit´e et de l’indice de confort. Ainsi, on peut distinguer des for-mulations quadratiques minimisant soit l’erreur de suivi, soit la commande, ou bien un compromis entre les deux.

Dans le mˆeme esprit, le travail de [150] pr´esente un sch´ema de commande MPC pour un syst`eme de chauffage par le plafond. Une proc´edure d’identification par sous-espaces a ´et´e utilis´ee pour obtenir un mod`ele lin´eaire du processus. La temp´erature ext´erieure est incluse dans le mod`ele sous forme de deux valeurs, T<sub>min</sub>et T<sub>max</sub>, qui d´efinissent l’intervalle de confiance de la pr´evision m´et´eorologique. La fonction de coˆut est une modification de (2.3) o`u le second terme ne minimise pas l’effort de contrˆole ∆u²(k), mais directement la commande u2(k). Les contraintes ”in´egalit´e” sont impos´ees sur l’amplitude et la vitesse du signal de commande, ainsi qu’une limite inf´erieure de la temp´erature. Les r´esultats obtenus sur un bˆatiment r´eel montrent des ´economies importantes, entre 17 et 24 %, par rapport `a une commande en boucle ouverte (en fonction de la temp´erature ext´erieure).

Une formulation similaire de la fonction de coˆut est adopt´ee dans [146], o`u les auteurs comparent trois structures de contrˆole. Le syst`eme de chauffage consid´er´e poss`ede deux sources d’´energie : une source fossile et une source renouvelable. Les sch´emas de commande inclus dans l’´etude sont un PID, un PID-flou et un PID-MPC. Les r´esultats obtenus montrent la sup´eriorit´e du contrˆoleur PID-MPC par rapport `a un indice de performance qui int`egre l’erreur de suivi et le pourcentage relatif d’´energie fossile consomm´ee.

d’un incubateur pour les nouveaux n´es. Un mod`ele affine par morceaux (PWA) est ob-tenu par un algorithme d’identification. Les commandes sont d´efinies par un ensemble de valeurs discr`etes. `A chaque valeur du signal de contrˆole correspond un mod`ele lin´eaire. Deux contrˆoleurs, un pour la r´egulation de la temp´erature et l’autre pour l’humidit´e, sont propos´es. Le crit`ere quadratique utilis´e inclut seulement le carr´e de l’erreur de suivi.

Les travaux mentionn´es, d´edi´es `a l’optimisation du contrˆole des syst`emes CVC utilisent des fonctions de coˆut quadratiques. Pourtant, le coˆut de fonctionnement est souvent pro-portionnel `a l’´energie d´elivr´ee, et non `a son carr´e comme cela est propos´e dans le crit`ere. C’est pourquoi, pour satisfaire des objectifs ´economiques, les probl`emes de minimisation ont ´et´e orient´es vers une formalisation lin´eaire du probl`eme.

La commande pr´edictive a ´et´e ´etudi´ee dans le projet de recherche OptiControl afin de contrˆoler le climat dans les bˆatiments en utilisant les pr´evisions des conditions m´et´eoro-logiques. L’objectif principal du projet est de maintenir la temp´erature ambiante, la concentration de CO₂ et l’´eclairage dans une gamme de confort pr´ed´efinie tout en minimi-sant la consommation [142]. Les r´esultats publi´es sont obtenus en simulation, en utiliminimi-sant diff´erentes configurations d’´equipements [140]. Trois structures de contrˆole sont compar´ees : – La premi`ere, prise comme r´ef´erence, est une strat´egie bas´ee sur des r`egles de type

≪si condition alors action≫, d´efinie dans [74].

– La deuxi`eme loi de commande est de type MPC. Les auteurs proposent une approche stochastique [141]. Le crit`ere `a minimiser est constitu´e par le coˆut de fonctionnement, J(k) =^PNu

j=1c^T(k + j − 1)u(k + j − 1|k). Le confort est exprim´e par une contrainte lin´eaire stochastique, P [GGG(AAAxxx(k) + BBBuuu(k) + CCCwww(k)) ≤ ggg] ≥ α, o`u α ∈ [0, 1] d´esigne le niveau (ou degr´e) de confiance, xxx(k) est l’´etat du syst`eme, uuu(k) et www(k) sont les s´equences futures des entr´ees et des perturbations. La fonction GGG rend la s´equence fu-ture de sorties pr´edites, en utilisant le mod`ele d’´etat d´efini par les matrices AAA, BBB et CCC, quand le vecteur d´esigne les limites de la zone de confort. Cette formulation permet d’´eviter l’infaisabilit´e du probl`eme d’optimisation. Le mod`ele de commande utilis´e est obtenu par la lin´earisation d’un mod`ele bilin´eaire, `a chaque pas d’´echantillonnage (1h).

– La troisi`eme strat´egie est plutˆot un concept. Il s’agit d’un contrˆole optimal qui uti-lise une pr´evision m´et´eorologique parfaite, fournissant ainsi les performances limites qu’un contrˆoleur peut atteindre.

Une m´ethode pour r´eduire le pic de la demande d’´electricit´e dans les bˆatiments a ´et´e ´egalement propos´ee dans [143]. Ainsi, le prix de l’´electricit´e qui intervient dans le crit`ere, c<sup>T</sup>(k), est calcul´e en fonction du prix au compteur, de la charge du r´eseau et d’une variable particuli`ere `a la localisation.

Dans le cadre du programme Homes [1] on retrouve ´egalement des approches pr´edictives pour la r´egulation globale de plusieurs syst`emes, comme le CVC, l’´eclairage et la qualit´e de l’air avec une consommation ´energ´etique minimale. Les auteurs de [12] pr´esentent le probl`eme d’optimisation sous forme d’un PL. Le crit`ere `a optimiser est la consommation ou le coˆut ´energ´etique, sous des contraintes d´efinies par le mod`ele de pr´ediction, le

ni-veau de confort et les limitations des actionneurs. Dans un premier temps, une proc´edure it´erative est propos´ee pour surmonter l’inconv´enient li´e `a la bilin´earit´e du mod`ele. Ainsi, le probl`eme initial est r´esolu par la r´esolution r´ep´etitive d’un programme lin´eaire param´etr´e. Les r´esultats montrent la convergence rapide de l’algorithme, pourtant la preuve th´eorique de la convergence est difficile `a obtenir. Une deuxi`eme contribution est repr´esent´ee par le sous-´echantillonnage de la s´equence future des sorties conjugu´e `a une param´etrisation de la s´equence des entr´ees [13], ce qui permet de r´eduire la charge de calcul.

Une autre initiative r´ecemment d´evelopp´ee au Laboratoire de contrˆole pr´edictif et dis-tribu´e de l’UC-Berkeley, se concentre sur l’´elaboration de strat´egies MPC pour les syst`emes de stockage de l’´energie [112, 111]. Le cas du syst`eme de climatisation dans le campus uni-versitaire est consid´er´e. Ces travaux ont mis au point des mod`eles simplifi´es pour les refroidisseurs, les tours de refroidissement, les r´eservoirs et les bˆatiments. L’objectif de la commande pr´edictive est de minimiser la consommation d’´electricit´e, satisfaisant la charge de refroidissement requise. Pour traiter la complexit´e du syst`eme, un mod`ele de commande simplifi´e sous forme hybride est utilis´e et le probl`eme d’optimisation est r´esolu par une strat´egie de type branch and bound.