Les micro-résonateurs étudiés dans la suite sont des micro-résonateurs dont la cavité résonante, en forme d’anneau ou d’hippodrome, est couplée à un seul guide d’onde recti- ligne, dit d’accès. Dans cette étude, nous utilisons des guides d’onde monomodes, l’indice effectif du mode fondamental guidé nef f0 est noté nef f dans la suite. En sortie de ce guide d’onde d’accès, l’intensité lumineuse transmise, mesurée en fonction de la longueur d’onde, est la réponse du micro-résonateur, aussi appelée fonction de transfert. La fonc- tion de transfert présente des raies de résonance dont la forme est décrite par différentes caractéristiques définies dans un premier temps. Le micro-résonateur, dans ces travaux, est à la base d’un capteur optique intégré. Le principe de détection, les méthodes d’analyse et les grandeurs d’un capteur sont, dans un deuxième temps, définis.
2.3.1
Fonction de transfert : caractéristiques spectrales
Un micro-résonateur en forme d’hippodrome est composé d’un guide d’accès couplé à une cavité résonante. Ces deux guides sont séparés d’une distance g appelée gap. La cavité résonante est en forme d’hippodrome défini par ses dimensions R, le rayon, et Lc,
la longueur de couplage, représentées sur la figure 2.18. On parle d’anneau lorsque Lc est
nulle.
Figure 2.18 – Représentation du fonctionnement d’un micro-résonateur : (a) Schéma d’un micro-résonateur en forme d’hippodrome, (b) Fonction de transfert ou Transmission du micro-résonateur.
Un champ optique incident Ei, provenant d’une source large-bande, est injecté à l’en-
trée du guide d’accès et se propage dans le guide jusqu’à rencontrer une zone, appelée zone de couplage. Le champ optique se sépare alors en deux parties. Une première partie
Etest directement transmise, avec un coefficient de transmission τ , vers la sortie du guide
d’accès. L’autre partie E2 est couplée dans la cavité avec un coefficient de couplage κ.
Après s’être propagé pendant un tour dans la cavité, le champ subit des pertes optiques prises en compte dans un facteur d’atténuation noté a ainsi qu’un retard φ pendant le tour. Le champ après un tour dans la cavité est noté E3. Une partie de ce champ est cou-
plée vers le guide rectiligne d’accès, avec un coefficient de couplage κ0 et se propage vers la sortie du guide d’accès. L’autre partie est transmise dans la cavité avec un coefficient de transmission τ0.
Les longueurs d’onde en phase avec les longueurs d’onde incidentes après un tour dans la cavité, résonnent par interférences constructives dans la cavité. Les longueurs d’onde couplées de la cavité résonante vers le guide d’onde d’accès interfèrent destructivement avec les longueurs d’onde incidentes dans le guide d’onde d’accès.
Le spectre observé en sortie du guide rectiligne d’accès présente des extinctions de la transmission pour chaque longueur d’onde résonante comme représenté sur la figure 2.18b. Comme nous l’avons vu précédemment dans la partie 2.2.4, le formalisme des matrices de transfert [218] permet de relier le champ Et au champ Ei en fonction des coefficients de
couplage (κ pour guide rectiligne-cavité et κ0 pour cavité-guide rectiligne), des coefficients de transmission (τ pour guide rectiligne-guide rectiligne et τ0 pour cavité-cavité ) et des pertes de couplage α. La matrice de transfert est de la forme :
Et E2 = α τ jκ0 jκ τ0 Ei E3 (2.68)
Le développement de cette équation donne les relations suivantes :
Et = α(τ Ei+ jκ0E3) E2 = α(jκEi+ τ0E3)
(2.69)
Le champ E3 correspond au champ E2 qui a parcouru un tour dans la cavité. Son
expression est :
E3 = aE2exp(jφ) = aE2exp(j
2πnef f
λ L) (2.70)
avec a le facteur d’atténuation du champ défini comme :
a = exp(−αpertesLL
2 ) (2.71)
où αpertesL est le facteur des pertes linéiques optiques défini par l’équation (2.33) et L
la circonférence de la cavité définie par :
L = 2πR + 2Lc (2.72)
La transmission complexe t(λ) du micro-résonateur, égale au rapport entre le champ de sortie Et et incident Ei, est obtenue en résolvant par substitution les équations (2.69)
et (2.70). Elle est de la forme : t(λ) = Et Ei = ατ − (κκ 0 + τ τ0)α2aexp(j2πnef f λ L) 1 − αaτ0exp(j2πnef f λ L) (2.73)
Dans la suite, nous supposerons que la zone de couplage du micro-résonateur est symétrique et sans pertes, c’est à dire que le couplage de la cavité vers le guide rectiligne et le couplage du guide rectiligne vers la cavité sont identiques ainsi que la transmission cavité-cavité et guide rectiligne-guide rectiligne : κ0 = κ et τ0 = τ et que les pertes de couplage sont négligées, α = 1. Dans cette hypothèse, la loi de conservation de l’énergie donne pour un coupleur symétrique et sans pertes :
κ2+ τ2 = 1 (2.74) L’équation (2.73) devient : t(λ) = τ − aexp(j 2πnef f λ L) 1 − aτ exp(j2πnef f λ L) (2.75)
La transmission s’exprime aussi en intensité. Les intensités lumineuses du champ optique incident Ei et du champ transmis Et sont définies par Ii = |Ei|2 et It= |Et|2 respective-
ment. La transmission en intensité s’exprime alors par :
T (λ) = |t(λ)|2 = It Ii = Et Ei 2 = τ 2+ a2− 2aτ cos(2πnef f λ L) 1 + a2τ2− 2aτ cos(2πnef f λ L) (2.76)
La transmission dépend donc des paramètres de couplage τ =√1 − κ2, des pertes optiques
linéiques αpertesL liées au facteur d’atténuation a, de la longueur d’onde λ, du périmètre
de la cavité L et de l’indice effectif nef f du mode propagé dans la cavité.
La résonance est obtenue lorsque le retard accumulé après un tour est un multiple de 2π : 2πnef f
λ L = p2π (2.77)
où p est un nombre entier.
Ainsi, la longueur d’onde de résonance s’exprime :
λres = nef fL
p (2.78)
D’après cette relation, la longueur d’onde de résonance dépend de l’indice effectif du mode propagé dans les guides d’onde. Ce paramètre optique nef f est utilisé pour réaliser
une application de détection avec des micro-résonateurs. L’ajout de molécules cibles à la surface du micro-résonateur va venir modifier l’indice effectif nef f et donc la position
de la longueur d’onde de résonance λres. Ce décalage est exploité pour remonter à la
concentration de molécules cibles. L’analyse de ce décalage engendré est développée dans la partie 2.4.
La fonction de transfert T(λ) est la réponse du micro-résonateur. Cette fonction de transfert peut être optimisée, afin d’obtenir les applications souhaitées, en modifiant les
dimensions du micro-résonateur, les dimensions des guides d’onde et en choisissant les matériaux selon leurs indices de réfraction. Pour cela, différentes caractéristiques impor- tantes sont définies à savoir, l’intervalle spectral libre ISL, le facteur de qualité Q, la finesse F et le contraste C. La figure 2.19 représente les paramètres caractéristiques du micro-résonateur déduits directement de la transmission spectrale :
Figure 2.19 – Transmission spectrale d’un micro-résonateur.
Intervalle spectral libre ISL
L’Intervalle Spectral Libre (ISL) est la distance entre deux longueurs d’onde résonantes consécutives :
ISL = λresi+1− λresi =
λ2 resi
L.ng
(2.79) où ng est l’indice de groupe, qui s’exprime comme une fonction de la longueur d’onde et
de l’indice effectif :
ng(λ) = nef f(λ) − λ dnef f
dλ (2.80)
Pour les applications de capteurs optiques, une grande gamme de mesure est souhaitée. La modification de l’environnement du micro-résonateur par l’ajout de molécules cibles va entraîner un décalage de la longueur d’onde de résonance. Ce décalage ne doit pas être supérieur à l’intervalle spectral libre ISL. Il faut donc viser un grand intervalle spectral libre afin d’avoir une étendue de mesure suffisante. D’après l’équation 2.79, l’intervalle spectral libre est inversement proportionnel à la circonférence L de la cavité. Il faut donc choisir la circonférence du micro-résonateur la plus petite possible. Or, nous avons vu que les pertes radiatives αr, définies par l’équation (2.37), augmentent de manière exponen-
tielle avec la diminution du rayon R. Il y a donc un compromis à trouver sur la valeur du rayon R pour avoir, à la fois, un grand ISL et des pertes de courbure négligeables. La largeur à mi-hauteur δλ
La largeur à mi-hauteur δλ intervient dans la définition du facteur de qualité Q et de la finesse F. Elle correspond à la largeur spectrale calculée à la moitié de la raie de résonance. Elle dépend donc du maximum et du minimum de la transmission spectrale, s’exprimant, d’après l’équation 2.76, comme :
Tmax = τ + a 1 + τ a 2 , pour cos(2πnef f λ L) = −1 (2.81)
Tmin = τ − a 1 − τ a 2 , pour cos(2πnef f λ L) = 1 (2.82)
A partir de ces définitions, la largeur à mi-hauteur δλ est :
δλ = λ 2 res πnef fL arccos(x) (2.83) avec : x = y(1 + τ 2a2) − (τ2+ a2) 2τ ay (2.84) et y = 1 2(Tmax+ Tmin) (2.85)
où τ est le coefficient de transmission et a le facteur d’atténuation. Facteur de qualité Q
Le facteur de qualité Q est défini par le rapport entre une longueur de résonance λres
et la largeur à mi-hauteur δλ de la résonance associée :
Q = λres
δλ (2.86)
Le facteur de qualité Q est aussi lié au temps de vie des photons à l’intérieur de la cavité résonante. Il représente, d’un point de vue énergétique, le rapport entre l’énergie moyenne E des modes résonants et de l’énergie ∆E dissipée dans ce mode sur une période de 2π [220].
Q = 2π E
∆E (2.87)
Si le système ne présente aucune perte optique, la durée de vie et par conséquent Q seraient quasi-infinis. La résonance serait alors infiniment fine. Dans le cas réel, les différentes pertes optiques de diffusion, d’absorption et radiatives, diminuent le facteur de qualité Q élargissant ainsi la raie de résonance engendrant une largeur à mi-hauteur δλ non négligeable.
Pour une longueur d’onde résonante, la largeur à mi-hauteur dans la cavité, et donc le facteur de qualité, dépendent du facteur d’atténuation a et du coefficient de transmission
τ relié au coefficient de couplage κ par la relation τ = √1 − κ2. Le facteur de qualité Q
joue un rôle dans la gamme de détection du capteur. Plus il est élevé, plus la limite de détection du capteur est faible.
Finesse F
La finesse F est définie par le rapport entre l’intervalle spectral libre et la largeur à mi-hauteur de résonance :
F = ISL
Nous avons vu que pour obtenir une bonne gamme de détection, un grand ISL est désiré. De plus, pour atteindre un système possédant une bonne limite de détection, une fine largeur à mi-hauteur est souhaitée. La combinaison de ses deux tendances donne une plus grande finesse.
Contraste C
Le contraste de transmission C est la différence entre la transmission maximale Tmax
et la transmission minimale Tmin à la longueur d’onde de résonance :
C = Tmax− Tmin (2.89)
Un bon contraste est nécessaire pour bien visualiser les résonances hors du bruit du signal. Les caractéristiques principales du micro-résonateur dépendent des paramètres géo- métriques du micro-résonateur, du taux de couplage entre la cavité et le guide rectiligne et des pertes optiques. L’étude des relations entre tous ces paramètres permet de fixer les dimensions du micro-résonateur et le choix des matériaux.
Le micro-résonateur est un dispositif utilisé, notamment, pour des applications capteurs. Nous allons voir maintenant le principe de détection d’un capteur optique à base de micro- résonateur. Les principales grandeurs du capteur telles que la sensibilité S et la limite de détection LD sont définies dans la partie suivante.