Principe g´en´eral

La m´ethode appliqu´ee dans ce travail consiste `a d´eterminer les zones de capture « probabilistes » en r´egime d’´ecoulement transitoire avec des m´e-

thodes dont la validit´e est d´emontr´ee en r´egime d’´ecoulement permanent. Ces derni`eres sont d´ecrites en d´etail dans le chapitre 2.

Pour rappel, les ´equations d’´ecoulement transitoire en milieu horizontal, confin´e, sans alimentation et `a ´epaisseur constante est d´ecrite par l’´equa- tion suivante :

S∂H

∂t = ∇ · (K∇H) (4.1)

o`u, H(x, t) est la charge hydraulique [L], t le temps [T] et S est le coefficient d’emmagasinement.

La forme divergente de la solution de transport dans les conditions d’´ecoule- ment d´efinies par l’´equation 4.1, pour un compos´e conservatif, non r´eactif et `

a densit´e constante est d´ecrite par l’´equation classique d’advection-diffusion (ADE) :

∂φC

∂t = −∇ · qC + ∇ · φD∇C (4.2)

o`u C(x, t) [M/L3<sub>] est la concentration de mati`ere dissoute, q = K∇H est</sub> le vecteur du flux hydraulique [L/T], D est le tenseur de macrodispersion chimique [L2_/T].

La m´ethode appliqu´ee dans ce chapitre se base sur une forme adjointe de l’ADE, dite « arri`ere », dans laquelle le signe du terme advectif est invers´e et pour laquelle les conditions initiales et aux limites sont adapt´ees (cf. chapitre 3 pour les d´etails). Cornaton (2004) montre que ce mod`ele peut ˆetre adapt´e afin d’obtenir le champ de probabilit´e p(x, t) qu’une particule d’eau situ´ee en x sorte `a l’exutoire Γout en un temps inf´erieur `a t, exutoire dont la zone

de capture est ´evalu´ee. Pour un domaine 2D horizontal, sans alimentation, l’´equation est ´ecrite de la mani`ere suivante :

∂φp

∂t = ∇ · qp + ∇ · φD∇p (4.3)

Pour d´eterminer un tel champ de probabilit´e en r´egime d’´ecoulement perma- nent, une probabilit´e maximale p = 1 est impos´ee sur Γout et une probabilit´e

p = 0 est impos´ee sur toutes les autres limites exfiltrantes du domaine ainsi que sur les autres puits de captage. Aucune valeur de probabilit´e n’est im- pos´ee sur les limites infiltrantes du mod`ele.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 0

1

1000 1100 1200 Temps [j]

phase non-stationnaire phase stationnaire

p_max p_min P_p p _p p_steady p_eq ∆p

écoulement permanent avec dispersivité équivalente écoulement permanent

écoulement transitoire

Fig. _{4.1 : Comparaison entre les probabilit´es qu’une particule soit capt´ee par} le puits pour les r´egimes d’´ecoulement permanent, transitoire, et permanent avec dispersivit´e ´equivalente.

Le champ p(x, ∞) d´efinit la zone de capture permanente du puits de captage en r´egime d’´ecoulement permanent.

Cette probabilit´e est d´efinie comme la proportion de mati`ere dissoute injec- t´ee en un point d’infiltration xinf qui finit, tˆot ou tard, par ˆetre capt´ee par le

puits de pompage. Les valeurs de p(x, t) peuvent donc ˆetre compar´ees avec les taux de restitution mout de simulations d’essais de tra¸cage issus d’un

point d’injection quelconque, ´etant d´emontr´e par Cornaton (2004) qu’en r´e- gime permanent, p(xinf, ∞) et mout sont ´equivalents, et cela quelle que soit

la complexit´e du domaine.

Si cette m´ethode est d´emontr´ee math´ematiquement pour le r´egime hydrau- lique permanent (Cornaton, 2004), la question est de savoir si elle reste valable pour le r´egime transitoire. Elle est donc appliqu´ee telle que d´ecrite pour le r´egime permanent, mais dans des r´egimes d’´ecoulement transitoires p´eriodiques, avec cependant quelques adaptations techniques n´ecessaires, in- h´erentes au r´egime transitoire, qui sont d´ecrites plus loin dans ce chapitre. Pour les simulations `a suivre, la zone de capture permanente est volon- tairement calcul´ee en r´egime de transport transitoire. Ce proc´ed´e permet de suivre le d´eveloppement temporel de la zone de capture jusqu’`a l’´etat d’´equilibre, repr´esent´e sur la figure 4.1 par l’aplatissement de la courbe de probabilit´e psteady. Une fois les valeurs stabilis´ees, la phase est dite station-

naire. Ce proc´ed´e permet de comparer l’int´egralit´e de la simulation en r´egime d’´ecoulement permanent avec celle du r´egime transitoire.

En r´egime d’´ecoulement transitoire p´eriodique, si les temps de simulation sont suffisamment longs, un comportement similaire est observ´e, `a une dif-

f´erence toutefois : la stabilisation se traduit par une fluctuation p´eriodique du champ de probabilit´e p(x, t), caract´eris´ee par une p´eriode de fluctuation Pp et par une amplitude ∆p.

La phase est dite stationnaire si p(x, t) oscille de mani`ere p´eriodique ou, en d’autres termes, si, quelque soit le point du domaine, la diff´erence de probabilit´e au temps t et au temps t + Pp est nulle.

En chaque point du domaine, pmax, pmin et ¯p sont respectivement les proba-

bilit´es maximales, minimales et moyennes des probabilit´es p, calcul´ees sur une p´eriode Pp pendant la phase stationnaire (Fig. 4.1).

∆p est d´efini comme la diff´erence absolue entre pmax et pmin, toutes deux

´etant ´egalement d´etermin´ees pendant la phase stationnaire (Fig. 4.1). Dans ce chapitre, le premier objectif est d’analyser les fluctuations tempo- relles du champ p(x, t) en fonction de la distance au puits d, mais ´egalement en fonction des param`etres transitoires des conditions aux limites. Ces pa- ram`etres sont d´ecrits au paragraphe 4.2.6.

Dans un premier temps, la m´ethode de d´etermination des zones de capture transitoires est valid´ee en comparant les probabilit´es simul´ees avec les taux de restitution mout issus de simulations d’essais de tra¸cage ou de conta-

minations ponctuelles. Dans un deuxi`eme temps, les conditions initiales et aux limites seront modifi´ees afin de simuler des cas de pollution p´erenne, o`u la source de pollution est maintenue pendant toute la dur´ee de la simula- tion. Cette approche sera trait´ee en d´etails dans la section 4.5. Toutes ces simulations sont effectu´ees en r´esolvant la forme classique de l’ADE. Il est important de pr´eciser que les deux m´ethodes utilisent deux ´echelles de temps invers´ees. En effet, la m´ethode utilis´ee pour d´eterminer les zones de capture se base sur une inversion du champ de vitesse et donc, dans une certaine mesure et uniquemment pour l’advection, de l’axe du temps. Pour comparer les m´ethodes, il est donc n´ecessaire d’inverser l’´echelle de temps. Comme expliqu´e dans la section 4.2.6, selon la complexit´e du probl`eme, il existe plusieurs fa¸cons d’inverser ou de redresser le temps sans influencer les r´esultats. Pour des syst`emes simples o`u une sym´etrie temporelle des fonctions d’entr´ees existe, il n’est pas n´ecessaire d’inverser le temps. Les fluctuations d´efinies par des fonctions sinuso¨ıdales simples, telles qu’utilis´ees pour l’exemple d´ecrit plus loin dans ce chapitre, constituent un exemple de fonctions sym´etriques dans le temps.

En r´egime d’´ecoulement transitoire, il est constat´e que les taux de restitution mout varient significativement selon le moment tcont, relatif `a la p´eriode de

fluctuation, o`u l’injection se produit.

A partir de cette observation, la m´ethode pr´esent´ee dans ce travail est in- tuitive. Elle consiste `a simuler des s´eries d’essais de tra¸cage d´ecal´es dans

le temps d’une valeur ∆ϕu, mais dont les points d’injection sont identiques

d’un essai `a l’autre. L’indice u se rapporte `a une limite ou `a un param`etre quelconque qui fluctue p´eriodiquement dans le temps. Un nombre suffisant d’essais sont effectu´es de sorte que l’ensemble des tcont couvre l’int´egralit´e

de la p´eriode de fluctuation Pu. Le rapport entre ∆ϕu et Pu d´etermine la

r´esolution temporelle des essais de tra¸cage. Le degr´e maximum de r´esolution est atteint lorsque la valeur de ∆ϕu correspond `a la valeur du pas de temps

des m´ethodes « arri`eres ».

Les diff´erents temps d’injections sont obtenus par la valeur du param`etre de d´ephasage ϕu dans l’´equation 4.8 (section 4.2.6).

Pour chaque essai de tra¸cage, les taux de restitution mout sont calcul´es par

int´egration des courbes de restitution, par rapport `a la variable du temps, selon l’´equation suivante :

mout = Qw Mi Z _∞ 0 C(t)dt (4.4)

o`u Mi [M] est la masse inject´ee, Qw [L3/T] est le d´ebit de pompage et C(t)

[M/L3_{] la concentration simul´ee au puits dans la phase fluide.}

Les r´esultats montrent que, sur une p´eriode de fluctuation, les taux de res- titution sont compris dans une fourchette allant de mmin `a mmax.

La m´ethode ne permet pas de d´eterminer `a l’avance les temps pour lesquels le maximum et le minimum sont atteints. Il est donc n´ecessaire de simuler un nombre suffisant d’essais de tra¸cage pour couvrir l’ensemble de la p´eriode de fluctuation et avec une r´esolution suffisante pour capter les variations des conditions aux limites les plus rapides.

Pour terminer, la distribution des taux de restitution mout est compar´ee

avec celle des probabilit´es p(x, t) simul´ees au point d’injection.

L’ensemble de la m´ethode d´ecrite pr´ec´edemment est consid´er´ee comme va- lable si, pour un exutoire Γout et pour un champ transitoire donn´es, l’´ecart

ε, entre la distribution des taux de restitution mout et celle des probabilit´es

p(x, t), est faible.