3.4 Mod`ele de transport dans une direction quelconque
3.4.7 Exemple d’application num´erique
La nouvelle distribution ´etant ´egalement gaussienne, elle peut-ˆetre utilis´ee comme condition initiale pour un nouveau processus de transport dans une nouvelle direction γ2 pendant un temps t2 en substituant les coefficients a0,
b0 et c0 dans 3.40 `a 3.42 par les valeurs respectives de a1, b1 et c1.
Ces ´etapes peuvent ainsi ˆetre r´ep´et´ees de mani`ere it´erative pour un nombre ind´etermin´e de changements de direction.
De plus, `a chaque instant, connaissant les nouveaux coefficients de l’´equa- tion g´en´erale de l’ellipse, cette derni`ere peut `a nouveau ˆetre formul´ee, dans le rep`ere mobile < u; v > qui permet d’obtenir directement les vraies dimen- sions des grands axes de l’ellipse et de caract´eriser l’extension spatiale de la contamination. A t1, on a ainsi : σu1 = v u u t 2 a1+ c1+ (a1− c1) q 1 + b21 (a1−c1)2 (3.44) σv1 = v u u t 2 a1+ c1− (a1− c1) q 1 + b21 (a1−c1)2 (3.45)
3.4.7 Exemple d’application num´erique
Un panache de contaminant de masse unitaire est lˆach´e dans un aquif`ere dont la vitesse d’´ecoulement est de 1 m/j dans une direction formant un angle γ1 =0°avec l’axe x. Les coefficients de dispersivit´e longitudinale et
transversale sont respectivement αL=20 m et αT= 2 m. Dans un tel milieu,
les dispersions longitudinales et transversales sont respectivement DL =20
m2/j et D
T=2 m2/j.
La distribution initiale du panache est gaussienne avec des ´ecarts-type ´egaux en x et y soit σx0 = σy0 = 2. Les concentrations initiales c(x, y, 0) sont
d´efinies par l’´equation 3.29.
L’isoligne de la concentration initiale, qui d´efinit un ´ecart-type (39% de la masse) est de forme circulaire et d´efinie par l’´equation centr´ee r´eduite 3.27, soit :
Temps γi ai bi ci σu,i σv,i ωi 0 j - 0.25 0.00 0.25 2.00 2.00 0 10 j 0 2.48·10−03 0.00 2.27·10−02 20.10 6.63 0 20 j 45 1.99·10−03 -2.72·10−03 4.72·10−03 26.43 13.76 22.5 30 j 45 1.74·10−03 -2.58·10−03 3.03·10−03 32.66 16.17 31.7 40 j 135 9.82·10−04 -5.02·10−04 1.48·10−03 33.74 25.09 22.5 50 j 135 7.79·10−04 -1.81·10−13 1.08·10−03 35.83 30.40 0 60 j 90 7.55·10−04 -3.84·10−14 7.55·10−04 36.39 36.39 0
Tab.3.11 : Synth`ese des param`etres des ellipses correspondant `a un ´ecart-type de la distribution du panache, pour les cas illustr´es par la figure 3.16.
1 4x
2+ 1
4y
2 = 1 (3.46)
Les coefficients de l’´equation sont donc a0=0.25, b0=0 et c0=0.25.
La figure 3.16 illustre, dans le rep`ere mobile < x′; y′ > et `a chaque change-
ment de direction, les ellipses correspondant `a un ´ecart-type de la distribu- tion. La figure 3.15 montre la trajectoire suivie par le centre de masse ainsi que ses coordonn´ees dans le rep`ere fixe < x; y >.
De 0 `a 10 j, ce panache est transport´e dans la direction γ1 = 0°. A 10 j,
la direction des ´ecoulements change de mani`ere uniforme sur le domaine et prend une nouvelle direction γ2 = 45°. Le panache est transport´e dans la
direction γ2pendant 20 j. Les figures 3.16-C et 3.16-D illustrent les situations
aux temps respectivement de 20 et 30j. A 30 j, la direction des ´ecoulements change `a nouveau de mani`ere uniforme et ces derniers prennent une direction γ3 = 135°. Le panache est transport´e dans cette nouvelle direction pendant
20 j. Les figures 3.16-E et 3.16-F illustrent la situation `a respectivement 40 j et 50 j. Finalement, `a 50 j, la direction des ´ecoulements change une derni`ere fois pour se diriger `a un angle γ4 = 90°. Le panache y est transport´e pendant
10 jours.
Le tableau 3.11 r´esume les coefficients a, b et c ainsi que les ´ecarts-type pour chacune des situations d´ecrites par la figure 3.16.
Les r´esultats montrent simplement que malgr´e le fait que la dispersivit´e longitudinale soit dix fois sup´erieure `a la dispersivit´e transversale, lorsque un panache de substance dissoute est transport´e dans un champs d’´ecoulement dont la direction varie, les processus de dispersion transversale s’en trouvent consid´erablement augment´es.
Pour le cas particulier d´ecrit dans le tableau 3.11, les r´esultats montrent que si les ´ecoulements sont sym´etriques en x et en y et cela quelle que soit
Temps xc,i yc,i v¯i αLa,i αTa,i αLa,i+ αTa,i j m m m/j m m m 0 0.00 0.00 0.00 - - - 10 10.00 0.00 1.00 20.00 2.00 22.00 20 17.07 7.07 0.92 18.79 5.02 23.81 30 24.14 14.14 0.93 18.99 4.60 23.59 40 17.07 21.21 0.68 20.83 11.48 32.32 50 10.00 28.28 0.60 21.33 15.33 36.67 60 10.00 38.28 0.66 16.68 16.68 33.37
Tab.3.12 : Coordonn´ees du centre de masse < xc; yc> au temps ti et d´etermina- tion des coefficients de dispersivit´e longitudinale et transversale apparents.
l’historique des variations de la direction des vitesses, la dispersion finale est isotrope. Les valeurs identiques de σu et de σv `a t = 60 j l’attestent.
Pour reproduire la mˆeme distribution avec une vitesse d’´ecoulement moyenne ¯
v = 0.66 m/j, les dispersions apparentes seraient dans ce cas pr´ecis αL =
αT =16.68 m (Tab. 3.12).
Au final, le panache aura subit une dispersion longitudinale et transversale relativement uniforme alors que les coefficients de dispersivit´e respectifs ont un ordre de magnitude de diff´erence. La similitude entre les valeurs de σu
et σv `a 60 j est ´evidemment due aux choix particuliers des changements de
direction.
De plus, les calculs des angles ω montre qu’entre 10 j et 30 j, la direction d’´ecoulement est de 45°et l’ellipse subit un effet de rotation apparente et l’angle tend, `a long terme, vers la direction d’´ecoulement.
Les r´esultats obtenus dans cette section montrent que par rapport `a un r´egime d’´ecoulement moyen, les variations de la direction des vitesses ont pour effet d’augmenter la dispersion transversale et de diminuer la dispersion longitudinale, de 20 `a 16.68 m pour αL et de 2 `a 16.68 m pour αT.
Lorsque la direction des ´ecoulements varie, le tableau 3.12 montre que la somme des dispersivit´es apparentes est sup´erieure `a la somme des vraies dispersivit´e, selon :
αLa+ αTa > αL+ αT (3.47)
La relation de l’´equation 3.47 peut ˆetre expliqu´ee de la mani`ere suivante : Pour le calcul de la dispersion, il faut prendre en compte la norme de la vitesse (la dispersion n’est pas r´eversible). Or, en r´egime d’´ecoulement tran- sitoire, la moyenne des valeurs absolues de la vitesse est toujours inf´erieure
10 j 10 j 10 j 10 j 10 j 10 j <0;0> <10;0> <17.07;7.07> <24.14.;14.14> <17.07.;21.21> <10.0.;28.28> <10.0.;38.28>
Fig. 3.15 : Trajectoire suivie par le centre de masse du panache d´ecrite dans l’exemple de la figure 3.16.
`
a la valeur absolue de la vitesse moyenne, soit |¯v| < ¯|v|. Par cons´equent, les dispersivit´es apparentes ´etant d´ependantes de ¯|v|, ces derni`eres seront plus ´elev´ees que les vraies dispersivit´es. Ces constatations confirment les conclusions de Goode et Konikow (1990).
Cependant, ces nouvelles solutions reposent sur l’hypoth`ese qu’`a tout ins- tant, la direction des ´ecoulements est uniforme sur le domaine. Cette hy- poth`ese est ´egalement formul´ee dans les travaux cit´es pr´ec´edemment en r´e- f´erence. Or, il se trouve que cette hypoth`ese n’est pas repr´esentative de conditions d’´ecoulements r´eelles. En effet, les effets de variations des condi- tions hydrologiques ne modifient que rarement les ´ecoulements de mani`ere uniforme. Ainsi, ces m´ethodes ont ´et´e pr´esent´ees ici `a des fins purement acad´emiques d’analyses de processus th´eoriques.