3.5 Conclusions
4.2.8 Adaptation des conditions aux limites
En r´egime d’´ecoulement permanent, chaque limite est d´efinie une fois pour toutes comme infiltrante ou exfiltrante. En r´egime transitoire, cela n’est plus aussi simple, car le sens du flux peut temporairement s’inverser et une limite infiltrante peut devenir exfiltrante et inversement. Il est donc n´ecessaire de red´efinir `a chaque pas de temps, l’extension exacte des limites infiltrantes Γ− et exfiltrantes Γ+.
Cela est illustr´e ci-dessous par le cas d’un puits unique dont le niveau d’eau sur la limite aval HL(t) fluctue p´eriodiquement avec une amplitude telle,
qu’en situation de hautes eaux, la charge est temporairement sup´erieure `
a la charge impos´ee sur la limite amont HD. La limite aval devient donc
temporairement infiltrante (Fig. 4.12-c).
Lorsque le gradient hydraulique r´egional diminue, la zone de capture du puits s’´elargit en amont et le point de stagnation se d´ecale r´eguli`erement vers l’aval. Bear and Jacobs (1965) montrent analytiquement que dans un aqui- f`ere captif id´eal, ces deux grandeurs sont proportionnelles au d´ebit pomp´e Qwet inversement proportionnelles `a l’´epaisseur de l’aquif`ere b, `a la conduc-
tivit´e hydraulique K et au gradient hydraulique r´egional ι (Eq. 4.7).
xL= Qw 2πbKi (4.7a) yL= Qw 2bKi (4.7b)
o`u xL est la distance entre le puits et le point de stagnation et yL est la
demi largeur de la zone de capture.
Par cons´equent, si par hypoth`ese, le rapport entre l’extension lat´erale du domaine et la distance entre la limite aval et le puits, est suffisamment grande, le point de stagnation peut potentiellement atteindre la limite aval au temps t1 − ∆t (Fig. 4.12-b).
A partir de cet instant, si le gradient hydraulique continue de diminuer, le flux hydraulique va commencer `a s’inverser sur un nombre de noeuds de plus en plus important le long de la limite aval, en partant du centre et en s’´eloignant progressivement vers les limites lat´erales du domaine. D`es que la valeur HL(t) d´epasse HD, soit au temps t1, la situation est `a nouveau
stabilis´ee mais avec cette fois, un gradient hydraulique r´egional invers´e. Pass´e le minimum, le gradient hydraulique va augmenter jusqu’au temps t2 o`u la limite aval devient `a nouveau partiellement exfiltrante, et cela jusqu’au temps t2 + ∆t. Pass´e cette limite, la situation redevient normale avec une limite aval int´egralement exfiltrante. La charge variant p´eriodiquement, ce processus est r´ep´et´e `a chaque nombre entier n de p´eriodes.
Pour r´esumer, trois situations distinctes peuvent se pr´esenter, illustr´ees par les figures 4.11 et 4.12 :
– La situation normale d´efinie pour les temps t 6∈ [t1−∆t+nP ; t2+∆t+nP ] pendant lesquels HD ≪ HL. La limite amont est infiltrante et la limite
aval exfiltrante.
– La situation interm´ediaire d´efinie pour les temps t ∈ [t1 − ∆t + nP ; t1 + nP ] ∪ [t2 + nP ; t2 + ∆t + nP ] pendant lesquels HD < HL. La limite
amont est toujours exclusivement infiltrante et la limite aval partiellement infiltrante.
– La situation inverse d´efinie pour les temps t ∈ [t1−∆t+nP ; t2+∆t+nP ] pendant lesquels HL > HD : la limite amont est exfiltrante et la limite
aval infiltrante.
En conclusion, en r´egime d’´ecoulement transitoire, il n’est pas possible de d´efinir avec pr´ecision et certitude quels noeuds sont affect´es par ce processus et pendant quelle p´eriode de temps1.
Ainsi le sens du flux sur l’ensemble des limites ouvertes du domaine doit ˆetre analys´e `a chaque pas de temps, et les conditions de transport adapt´ees en fonction du sens du flux. Le logiciel Groundwater permet de faire cela automatiquement. t HL(t) HL HD(t)=cte t1+nP t2+nP t1 t2 P Δt Δt
Fig.4.11 : Fluctuation temporelle des conditions de charges impos´ees sur le limite aval HL et sur la limite amont HD. Selon l’amplitude de la variation de HL, des situations de gradient hydraulique r´egional invers´e peuvent se pr´esenter (temps compris enre t1 et t2). Pendant une br`eve p´eriode ∆t, la limite aval est `a la fois infiltrante et exfiltrante (cf fig. 4.12)
1Les ´equations 4.7 montrent que les dimensions des syst`emes d´ecrits dans ce chapitre
sont telles que la situation interm´ediaire ne se rencontre pas. Le puits est situ´e `a une distance de 200 m de la limite aval du domaine. Cela signifie que la limite aval devient infiltrante si le point de stagnation atteint cette limite, soit `a une distance xL =200 m.
Avec un d´ebit de pompage Qw =8.64 m3/j et une transmissivit´e de T = b ∗ KS =10−4
m/s, cette valeur est atteinte pour un gradient ι =7.96x10−4. Or, avec ces valeurs, la
demi-largeur maximale de la zone de capture est de yL=628 m, ce qui est plus ´elev´e que
l’extension lat´erale du domaine de y/2 =125 m. Avec de telles dimensions, la situation interm´ediaire se produit uniquemment si le puits est localis´e `a une distance inf´erieure `a xL=55.73 m. La situation interm´ediaire correspond en r´ealit´e `a un syst`eme o`u l’int´egralit´e
HL(t) Γ− Γ+ HR(t)=cte p(x,t)=0 Γ− HL(t) Qw(t) p(x,t)=1 Γout Qw(t) p(x,t)=1 Γout Γ+ HR(t)=cte Γ− HR(t)=cte Γ+ HL(t) p(x,t)=0 Γ+ HL(t) p(x,t)=0 Γ+ HL(t) p(x,t)=0 Qw(t) p(x,t)=1 Γout z.c. HL(t) < HR(t) HL(t) > HR(t) z.c. z.c. HL(t) ≈ HR(t) a b c t ∉ [ t1 - ∆t + nP ; t2 + ∆t + nP ] t ∈ [ t1 - ∆t + nP ; t2 + ∆t + nP ] t ∈ [ t1 - ∆t + nP ; t1 + nP ] ∪ [ t2 + nP ; t2 + ∆t + nP ]
Fig. 4.12 : Repr´esentation sch´ematique des zones de capture en fonction des va- leurs des conditions aux limites. Trois cas peuvent se pr´esenter : (a) la direction d’´ecoulement est normale avec un gradient r´egional suffisamment ´elev´e pour que la zone de capture se d´eveloppe uniquement en amont ; (b) la direction d’´ecoulement est normale mais le gradient hydraulique r´egionale est faible. Le point de stagnation imaginaire est en dehors du domaine. Les eaux proviennent en partie de la limite aval ; (c) le gradient hydraulique est invers´e et la zone de capture se d´eveloppe uniquemment en aval du puits.