Principales caractéristiques de l’algorithme

III.2.1. Choix de l’outil de calcul

Depuis les années 1990, la puissance des processeurs a considérablement évolué et permet des simulations plus gourmandes en puissance de calcul. L’outil de simulation développé fonctionne sur un ordinateur de bureau standard et fournit des résultats fiables en quelques minutes/dizaines de minutes dans la majorité des cas. Il a été développé sous le logiciel de calcul Matlab, qui permet une utilisation efficace des outils statistiques et qui gère de manière très satisfaisante le calcul matriciel. L’existence de solides connaissances de ce logiciel au sein du laboratoire a appuyé son utilisation comme outil de calcul central.

III.2.2. Algorithmes développés

Deux algorithmes séquentiels complémentaires ont été développés. L’un, appelé algorithme A, permet la simulation des cas où une espèce est largement majoritaire ([α]>>[β]), peu importe la diffusivité des deux espèces. Cet algorithme A est très rapide d’exécution et permet la simulation de la majorité des réactions d’association dans le silicium. Cependant, il ne permet pas la simulation des réactions où [α]~[β], qui sont susceptibles de prendre place (cas des paires dopant-dopant par exemple). Pour simuler ces cas, il est nécessaire d’utiliser un deuxième algorithme, appelé algorithme B. En réalité, cet algorithme est capable de simuler tous les cas de figures sans condition sur les concentrations ou sur les diffusivités. Toutefois, il souffre d’une lenteur de calcul importante, qui restreint en pratique son usage aux cas [α]~[β].

III.2.2.1. Algorithme A

Cet algorithme requiert que [α]>>[β], ce qui est souvent vérifié pour les réactions d’association qui prennent place dans le silicium entre métaux et dopants (FeB, CrB…).

Dans cet algorithme, la taille de la fenêtre de simulation est calculée à partir de [β] pour contenir exactement un unique atome de β. Les atomes de α, dont le nombre est donné par [α]/[β], sont répartis (aléatoirement ou non) dans la fenêtre. Dès lors, à chaque pas de temps ∆t, la direction de saut élémentaire pour chaque atome est déterminée aléatoirement et la longueur de saut élémentaire L est calculée à l’aide de l’équation III-4. Les sauts élémentaires sont répétés tant que l’atome de β n’a pas rencontré de piège α. La Figure 52 est un exemple de simulation obtenue à l’aide de cet algorithme A.

Lors de la capture, le temps de capture est enregistré et une autre fenêtre de simulation est alors ouverte, avec une nouvelle répartition spatiale d’atomes de α et de l’unique atome de β. L’algorithme s’exécutera un nombre de fois égal au paramètre spécifié en entrée par l’utilisateur. Multiplier le nombre de simulations revient à augmenter la taille de l’échantillon statistique (=nombre d’atomes de β) et conduit à une meilleure estimation de la cinétique d’association des complexes αβ. Ensuite, un outil statistique compile tous les temps de capture relevés. A partir de cette compilation, plusieurs informations peuvent être extraites, telles que la concentration en

β libres [β] en fonction du temps ou l’évolution de la concentration en complexes αβ formés [αβ]. Cet algorithme ne permet pas la simulation des cas où [α]~[β]. En effet, puisqu’un seul atome de β est généré par simulation, la diminution du nombre de pièges α au cours du temps, induite par la formation de paires (voir III.2.2.2), n’est pas prise en compte.

III.2.2.2. Algorithme général B

Lors de l’exécution de cet algorithme, deux répartitions spatiales (aléatoires ou non) de plusieurs atomes de α et β sont générées dans une unique fenêtre de simulation. Le nombre Nβ

d’atomes de l’espère minoritaire β à simuler, ainsi que [α] et [β], sont spécifiés en entrée par l’utilisateur. La taille de la fenêtre de simulation (l), ainsi que le nombre d’atomes de α (Nα) à générer dans cette fenêtre, sont ensuite calculés selon :

3 / 1

]

[ ^









=

β

N

l

3

]

[ l

N

= α ×

Une fois la simulation lancée, les sauts élémentaires sont répétés tant que tous les atomes de l’espèce β (minoritaires) ne sont pas capturés (voir Figure 53). A chaque capture d’un atome de β, le temps de capture est enregistré. Tout comme le premier algorithme, il est alors possible de tracer l’évolution de [β] ou de [αβ].

Figure 53 : Simulation avec l’algorithme A. Plusieurs atomes de ββββ (ici 5) cohabitent dans la fenêtre de simulation (croix noires). Le nombre d’atomes de ββββ simulés ainsi que la concentration des deux espèces sont spécifiés en

entrée par l’utilisateur. Ici seulement 5 atomes de ββββ sont générés. En pratique, leur nombre se compte en centaines/milliers.

Contrairement à l’algorithme A, il n’y a pas de conditions sur les concentrations respectives

α et β. En particulier, les cas [α]~[β] seront simulés à l’aide de cet algorithme. Ces derniers présentent deux particularités notables par rapport au cas [α]>>[β] :

1) La concentration [α] de l’espèce majoritairevarie sensiblement au cours de la réaction d’association. Pour prendre en compte cet effet de dilution, il est impératif de rendre indisponibles pour de nouvelles réactions les deux composants du complexe nouvellement formé (l’hypothèse est faite que le complexe formé est neutre et n’a donc pas d’interaction avec les espèces chargées diffusantes). Dans ce but, les paires formées sont artificiellement supprimées, comme illustré sur la Figure 54.

Figure 54 : Diminution progressive des concentrations en pièges αααα (en rouge) au cours du temps lors de la réaction αααα+ββββ αβαβαβαβ avec [αααα]=[ββββ]. Les paires formées sont virtuellement supprimées du volume de simulation.

2) Les atomes de l’espèce minoritaire β, dont le nombre peut être important dans la fenêtre de simulation, sont en compétition pour former des complexes. Pour une concentration identique de pièges α, la probabilité pour un atome de β de s’associer est donc plus faible que lorsque [α]>>[β]. Pour prendre en compte cet effet, il est nécessaire de générer un grand nombre d’atomes des deux espèces α et β. Nous allons voir que le nombre d’atomes à générer est fonction de la précision souhaitée du résultat à de forts taux d’avancements [αβ]/[αβ]max (c’est-à-dire quand [αβ] devient comparable à la concentration maximale atteignable [αβ]max , égale à [β] dans le cas des réactions totales).

III.2.2.3. Avantages/inconvénients des

algorithmes

Les avantages/inconvénients pour chaque algorithme sont regroupés dans le tableau suivant.

Algorithme A Algorithme B

Avantages

* Facilité de programmation.

* Rapidité d’exécution (manipulation de vecteurs, peu gourmand en espace mémoire. Possibilité d’utiliser un pas de temps évolutif (voir III.3.1.2)

* Permet la simulation des cas [α]~[β]. * Possibilité de prendre en compte les éventuelles interactions entre atomes de β.

Inconvénients

* Ne permet pas de simuler les cas où [α]~[β] (notamment, effets de dilution de la concentration en pièges non pris en compte).

* S’il existe des interactions entre les β, cet algorithme ne permet pas de les prendre en compte.

* Manipulation de matrices, gourmandes en espace mémoire et en temps de calcul.