Preuve des résultats évoqués dans le tableau 7.1

−^xind+m x+m + 1, si X favorise Y xind+m x+m − 1, si X défavorise Y.

(ii ) : - On voit que si x ∈ R et (x + m) ∈ R^∗, alors les quatre expressions de la fonction de normalisations sont bien définies donc, aucun problème de calcul des coefficients de normalisations.

On constate que si x = ∞, alors on peut toujours obtenir une application projective de R dans R pour les fonctions Fshn, F_shnd et F_shng par conséquent les quatre coefficients de normalisation sont toujours calculables, mais par contre, si x = ∞, alors on ne peut jamais obtenir une application projective sur l’intervalle R dans R pour la fonction Fan, il en résulte qu’on ne peut pas calculer lesdits coefficients. D’où le théorème énoncé.

7.10 Preuve des résultats évoqués dans le tableau 7.1

Cette fois-ci, nous allons voir en détail l’origine des résultats dans le tableau 7.1.

1. Multiplicateur de côte ; sa fonction de normalisation est telle que : En uti-lisant l’expression (7.19) pour m = 0 avec xf = −1, yf = 1, xd= 1 et yd= −1 on a : F_shnd(x) =  −1

x + 1, si X favorise Y et x ∈ [1 ; +∞[ x − 1, si X défavorise Y et x ∈ [0 ; 1] .

Car cette mesure prend la valeur 0 à l’incompatibilité (xinc), 1 celle de l’indépendance (x_ind) et +∞ à l’implication logique (x_imp) ; alors il est facile de voir que cette fonction est continue par morceaux et, en particulier au point x_ind= 1.

Enfin, elle représente une fonction qui s’expose, toute opportunité des valeurs sont rem-plies aux conditions suffisantes et nécessaires pour les mesures normalisées et continues. Son tableau de variation est tel que :

Figure 7.2 – Interprétation géométrique de la fonction de normalisation de la mesure « Multiplicateur de côte »

L’allure et le tableau de variation de Fn de la mesure Multiplicateur de Côte justifient que F_shnd^f est strictement croissante, positive et réalise une bijection de [1 ; +∞[ sur [0 ; 1], de même Fd

shng est strictement croissante, négative et réalise une bijection de [0 ; 1] sur [−1 ; 0]. Ces résultats prouvent que Fshnd est strictement croissante et elle réalise une bijection sur [0 ; +∞[→ [−1 ; 1].

2. Exemple-contre exemple ; sa fonction de normalisation est telle que : En uti-lisant l’expression (7.20) pour m = 0 avec x_f = _{1−P (Y}^{P (Y0)}0), y_f = ^{1−2P (Y}_{1−P (Y}0⁰)⁾, x_d = ^{2P (Y}_{P (Y}⁰⁾⁻¹0)

et y_d= −1 on a : F_shng(x) =    P (Y0) 1−P (Y0)x +^{1−2P (Y}_{1−P (Y}0⁰)⁾, si X favorise Y et x ∈ h 2P (Y0)−1 P (Y0) ; 1 i 2P (Y⁰)−1 P (Y0) 1 x − 1, si X défavorise Y et x ∈ⁱ−∞ ; ^{2P (Y}_{P (Y}⁰⁾⁻¹0) i .

3. Gain informel ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’ex-pression (7.20) pour m = 1 avec x_f = _{log P (Y}⁻¹ 0), y_f = 0, x_d= 1 et y_d= −1 on a : F_shng(x) =

 −1

log P (Y0)x, si X favorise Y et x ∈ [0 ; − log P (Y⁰)]

1

x+1 − 1, si X défavorise Y et x ∈ ]−∞ ; 0].

4. Odd-Ratio ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (7.19) pour m = 0 avec xf = −1, yf = 1, xd = 1 et yd= −1 on a :

F_shnd(x) =  −1

x + 1, si X favorise Y et x ∈ [1 ; +∞[ x − 1, si X défavorise Y et x ∈ [0 ; 1].

5. Conviction ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expres-sion (7.21) pour m = 0 avec x_f = −1, y_f = 1, x_d = −^{1−P (Y}_{P (Y}0)⁰⁾ et y_d= ^{1−P (Y}_{P (Y}0)⁰⁾ on a : F_hn(x) = ( −1 x + 1, si X favorise Y et x ∈ [1 ; +∞[ −^{1−P (Y}_{P (Y}0)⁰⁾ 1 x +^{1−P (Y}_{P (Y}0)⁰⁾, si X défavorise Y et x ∈ [1 − P (Y⁰) ; 1 ].

6. Sebag ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (7.19) pour m = 0 avec xf = −_{1−P (Y}^{P (Y0)}0), yf = 1, xd= ^{1−P (Y}_{P (Y}0)⁰⁾ et yd= −1 on a : F_shnd(x) =    −_{1−P (Y}^{P (Y0)}0) 1 x + 1, si X favorise Y et x ∈ ^h_{1−P (Y}^{P (Y0)}0) ; +∞^h 1−P (Y⁰) P (Y0) x − 1, si X défavorise Y et x ∈^h1 − P (Y⁰) ;_{1−P (Y}^{P (Y0)}0) i .

7. M_GK; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (7.18) avec x_f = 1, y_f = 0, x_d = 1 et y_d= 0 on a : F_an(x) = x avec x = ( P (Y⁰/X⁰)−P (Y⁰) 1−P (Y0) , si X favorise Y et x ∈ [0 ; 1] P (Y⁰/X⁰)−P (Y⁰) P (Y0) , si X défavorise Y et x ∈ [−1 ; 0 ].

8. Support ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (7.18) avec x_f = _{P (X}0)(1−P (Y¹ 0)), y_f = −_{1−P (Y}^{P (Y0)}0), x_d= _{P (X}0)P (Y¹ 0) et y_d = −1 on a : F_an(x) = ( 1 P (X0)(1−P (Y0))x − _{1−P (Y}^{P (Y0)}0), si X favorise Y et x ∈ [P (Y⁰)P (Y⁰) ; P (X⁰)] 1 P (X0)P (Y0)x − 1, si X défavorise Y et x ∈ [0 ; P (Y⁰)P (Y ) ].

9. Confiance ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (7.18) avec xf = _{1−P (Y}¹ 0), yf = −_{1−P (Y}^{P (Y0)}0), xd= _{P (Y}¹0) et yd = −1 on a : F_an(x) = ( 1 1−P (Y0)x − _{1−P (Y}^{P (Y0)}0), si X favorise Y et x ∈ [P (Y⁰) ; 1] 1 P (Y0)x − 1, si X défavorise Y et x ∈ [0 ; P (Y⁰) ].

10. Rappel ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (7.18) avec x_f = _{P (X}0^{P (Y})(1−P (Y⁰⁾ 0)), y_f = −_{1−P (Y}^{P (Y0)}0), x_d= _{P (X}¹ 0) et y_d= −1 on a : Fan(x) = ( P (Y⁰) P (X0)(1−P (Y0))x − _{1−P (Y}^{P (Y0)}0), si X favorise Y et x ∈^hP (X⁰) ; ^{P (X}_{P (Y}0⁰)⁾ i . 1 P (X0)x − 1, si X défavorise Y et x ∈ [0 ; P (X⁰) ]

11. Lift ; sa fonction de normalisation est que : En utilisant l’expression (7.18) avec x_f = _{1−P (Y}^{P (Y0)}0), yf = −_{1−P (Y}^{P (Y0)}0), xd= 1 et y_d = −1 on a : Fan(x) = ( P (Y0) 1−P (Y0)x − _{1−P (Y}^{P (Y0)}0), si X favorise Y et x ∈^h1 _{P (Y}¹0) i x − 1, si X défavorise Y et x ∈ [0 ; 1 ].

12. Laverage ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (7.18) avec x_f = _{1−P (Y}^{P (Y0)}0), y_f = −^{P (Y}_{1−P (Y}^{0)(P (X}0⁰)⁾⁻¹⁾, x_d = _{P (Y}¹ 0) et y_d = −^{P (Y0)(P (X}_{P (Y}0)⁰⁾⁻¹⁾ on a : F_an(x) =

( P (Y⁰)

1−P (Y0)x −^{P (Y}_{1−P (Y}^{0)(P (X}0⁰)⁾⁻¹⁾, si X favorise Y et x ∈ [xind; ximp]

1

P (Y0)x − ^{P (Y0)(P (X}_{P (Y}0)⁰⁾⁻¹⁾, si X défavorise Y et x ∈ [x_inc ; x_ind ].

13. Confiance Centrée ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (7.18) avec xf = _{1−P (Y}¹ 0), yf = 0, xd = _{P (Y}¹0) et yd= 0 on a :

F_an(x) =

( 1

1−P (Y0)x, si X favorise Y et x ∈ [x_ind; x_imp]

1

P (Y0)x, si X défavorise Y et x ∈ [x_inc ; x_ind ].

14. Confiance Confirmée descriptive ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (7.18) avec x_f = _{2(1−P (Y}¹ 0)), y_f = ^{1−2P (Y}_{2P (Y}0)⁰⁾, x_d = _{2P (Y}¹ 0) et yd = ^{1−2P (Y}_{2P (Y}0)⁰⁾ on a :

F_an(x) =

( 1

2(1−P (Y0))x +_{2(1−P (Y}^{1−2P (Y0}0⁾)), si X favorise Y et x ∈ [x_ind; x_imp]

1

2P (Y0)x + ^{1−2P (Y}_{2P (Y}0)⁰⁾, si X défavorise Y et x ∈ [x_inc ; x_ind ].

15. Facteur de certitude ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (7.18) avec x_f = 1, y_f = 0, x_d= ^{1−P (X}_{P (Y}0)⁰⁾ et y_d = 0 on a :

F_an(x) = (

x, si X favorise Y et x ∈ [x_ind; x_imp]

1−P (X0)

P (Y0) x, si X défavorise Y et x ∈ [xinc; xind].

16. Laplace ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expres-sion (7.18) avec x_f = _{nP (X}^{nP (X}0)(1−P (Y⁰⁾⁺² 0)), y_f = −_{nP (X}^{nP (X}0⁰)(1−P (Y^{)P (Y0)+1}0)), x_d = _{nP (X}^{nP (X}0)P (Y⁰⁾⁺²0) et y_d = −^{nP (X}_{nP (X}^{0)P (Y}0)P (Y⁰⁾⁺¹0) on a :

F_an(x) =

( nP (X⁰)+2

nP (X0)(1−P (Y0))x − _{nP (X}^{nP (X}0)(1−P (Y^{0)P (Y0)+1}0)), si X favorise Y et x ∈ [x_ind; x_imp]

nP (X⁰)+2

nP (X0)P (Y0)x − ^{nP (X}_{nP (X}^{0)P (Y}0)P (Y⁰⁾⁺¹0) , si X défavorise Y et x ∈ [x_inc; x_ind].

17. Piatesky-Shapiro ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (7.18) avec x_f = _{nP (X}0)(1−P (Y¹ 0)), y_f = 0, x_d= _{nP (X}0¹)P (Y0) et y_d = 0 on a : F_an(x) =

( 1

nP (X0)(1−P (Y0))x, si X favorise Y et x ∈ [xind; ximp]

1

nP (X0)P (Y0)x, si X défavorise Y et x ∈ [x_inc; x_ind].

18. Cosinus ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (7.18) avec x_f = √ P (X0)P (Y0) P (X0)(1−P (Y0)), y_f = −_{1−P (Y}^{P (X0)}0), x_d= √ P (X0)P (Y0) P (X0)P (Y0) et y_d = −1 on a : Fan(x) =    √ P (X0)P (Y0)

P (X0)(1−P (Y0))x − _{1−P (Y}^{P (X0)}0), si X favorise Y et x ∈ [x_ind; x_imp] √

P (X0)P (Y0)

P (X0)P (Y0) x − 1, si X défavorise Y et x ∈ [x_inc; x_ind].

19. Accuracy ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expres-sion (7.18) avec xf = _{2P (X}0)(1−P (Y¹ 0)), yf = ^{1−P (X0)P (Y} 0 )+P (X⁰)−1 2P (X0)P (Y0) , xd = _{P (X}0)P (Y¹ 0) et y_d = ^{1−P (X0)P (Y} 0 )+P (X0)−1 2P (X0)P (Y0) on a : F_an(x) =    1 2P (X0)(1−P (Y0))x + ^{1−P (X0)P (Y} 0 )+P (X0)−1

2P (X0)P (Y0) , si X favorise Y et x ∈ [xind ; ximp]

1

P (X0)P (Y0)x +^{1−P (X0)P (Y}

0

)+P (X⁰)−1

2P (X0)P (Y0) , si X défavorise Y et x ∈ [xinc; xind]. 20. Moindre contradiction ; sa fonction de normalisation est telle que : En

uti-lisant l’expression (7.18) avec x_f = _{2P (X}0^{P (Y})(1−P (Y⁰⁾ 0)), y_f = ^{2P (X}_{2P (X}^{0)P (Y}0)(1−P (Y^{0)−P (X}0))⁰⁾, x_d = _{2P (Y}¹ 0)

et yd= ^{2P (X}_{2P (Y}⁰⁾⁻¹0) on a :

Fan(x) =

( P (Y0)

2P (X0)(1−P (Y0))x +^{2P (X}_{2P (X}^{0)P (Y}0)(1−P (Y^{0)−P (X}0))⁰⁾, si x ∈ [x_ind; x_imp]

1

2P (Y0)x + ^{2P (X}_{2P (Y}⁰⁾⁻¹0) , si X défavorise Y et x ∈ [x_inc; x_ind].

21. Lovinger ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (7.18) avec x_f = 1, y_f = 0, x_d = ^{1−P (Y}_{P (Y}0)⁰⁾ et y_d= 0 on a :

F_an(x) = (

x, si favorise Y et x ∈ [x_ind; x_imp]

1−P (Y0)

P (Y0) x, si X défavorise Y et x ∈ [xinc; xind].

22. Cohen ou Kappa ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’ex-pression (7.18) avec x_f = ^{P (X0)+P (Y}_{2P (X}0)(1−P (Y^{0)−2P (X}0⁰))^{)P (Y0)}, y_f = 0, x_d = ^{P (X0)+P (Y}_{2P (X}^{0)−2P (X}0)P (Y0)^{0)P (Y0)}

et yd= 0 on a : F_an(x) =

( P (X⁰)+P (Y⁰)−2P (X⁰)P (Y⁰)

2P (X0)(1−P (Y0)) x, si X favorise Y et x ∈ [x_ind; x_imp]

P (X⁰)+P (Y⁰)−2P (X⁰)P (Y⁰)

2P (X0)P (Y0) x, si X défavorise Y et x ∈ [x_inc; x_ind].

23. Indice d’Implication de Gras ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (7.18) avec x_f =

√ P (X0)P (Y0) √ nP (X0)(1−P (Y0)), y_f = 0, x_d = √ P (X0)P (Y0) √ nP (X0)P (Y0)x et y_d= 0 on a : F_an(x) =    √ P (X0)P (Y0) √

nP (X0)(1−P (Y0))x, si X favorise Y et x ∈ [x_ind; x_imp] √

P (X0)P (Y0) √

nP (X0)P (Y0)x, si X défavorise Y et x ∈ [xinc ; xind].

24. Spécificité ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’ex-pression (7.18) avec x_f = _{P (X}^{1−P (Y}0)(1−P (Y⁰⁾ 0)), y_f = −^{1−P (Y}_{P (X}⁰0^{)+P (Y})(1−P (Y^{0)P (X}0)) ⁰⁾, x_d = _{P (X}^{1−P (Y}0)(Y⁰⁾0) et y_d = −^{1−P (Y}_{P (X}^{0)+P (Y}0)P (Y^{0)P (X}0) ⁰⁾ on a :

F_an(x) =

( 1−P (Y0)

P (X0)(1−P (Y0))x − ^{1−P (Y}_{P (X}⁰0^{)+P (Y})(1−P (Y^{0)P (X}0)) ⁰⁾, si x ∈ [x_ind ; x_imp]

1−P (Y0)

P (X0)(Y0)x −^{1−P (Y}_{P (X}^{0)+P (Y}0)P (Y^{0)P (X}0) ⁰⁾, si x ∈ [x_inc; x_ind].

25. Fiabilité négative ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (7.18) avec x_f = _{P (X}¹ 0), y_f = −^{1−P (X}_{P (X}^{0)−P (Y}0)(1−P (Y^{0)+P (Y}0))^{0)P (X0)}, x_d = _{P (X}^{1−P (Y}0)(Y⁰⁾0) et yd = −^{1−P (X0)−P (Y}_{P (X}0)P (Y^{0)+P (Y}0) ^{0)P (X0)} on a :

Fan(x) =

( 1

P (X0)x − ^{1−P (X}_{P (X}^{0)−P (Y}0)(1−P (Y^{0)+P (Y}0))^{0)P (X0)}, si x ∈ [x_ind; x_imp]

1−P (Y0)

P (X0)(Y0)x − ^{1−P (X0)−P (Y}_{P (X}0)P (Y^{0)+P (Y}0) ^{0)P (X0)}, si x ∈ [x_inc ; x_ind].

26. Confiance Causale ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (7.18) avec x_f = _{(P (Y}0)+P (X^{2P (Y}0))(1−P (Y⁰⁾ 0)), y_f = ^{P (X0)−P}_{(P (Y}²0^(Y)+P (X^{0)−P (Y}0))(1−P (Y^{0)P (X0)−P (Y}0)) ⁰⁾, x_d= _P2(Y0)+P (X^{2P (Y0)}0)P (Y0) et y_d = −^{P (Y0)+P}_P2²(Y^(Y0⁰)+P (X^{)P (X0)−P (X}0)P (Y0)^{0)P (Y0)} on a : F_an(x) = ( 2P (Y0) (P (Y0)+P (X0))(1−P (Y0))x +^{P (X0}_{(P (Y}^)−P20^(Y)+P (X^{0)−P (Y}0))(1−P (Y^{0)P (X0)−P (Y}0)) ⁰⁾, si x ∈ [xind ; ximp] 2P (Y⁰) P2(Y0)+P (X0)P (Y0)x − ^{P (Y0)+P}_P2²(Y^(Y0⁰)+P (X^{)P (X0)−P (X}0)P (Y0)^{0)P (Y0)}, si x ∈ [x_inc; x_ind]. 27. Confirmation Causale ; sa fonction de normalisation est telle que : En

uti-lisant l’expression (7.18) avec xf = _{4P (X}0)((P (Y¹ 0)−1), yf = ^{4P (X0)P (Y}_{4P (X}^{0)+P (X}0)(P (Y0⁰)−1)^{)+1−P (Y0)}, x_d= −_{4P (X}0¹)(P (Y0) et y_d= −^{4P (X0)P (Y}_{4P (X}^{0)−P (X}0)(P (Y^{0)−1+P (Y}0)) ⁰⁾ on a : F_an(x) = ( 1 4P (X0)((P (Y0)−1)x −^{4P (X0)P (Y}_{4P (X}^{0)+P (X}0)(P (Y0⁰)−1)^{)+1−P (Y0)}, si x ∈ [x_ind; x_imp] − 1 4P (X0)(P (Y0)x − ^{4P (X0)P (Y}_{4P (X}^{0)−P (X}0)(P (Y^{0)−1+P (Y}0)) ⁰⁾, si x ∈ [x_inc; x_ind].

28. Confirmation Descriptive ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (7.18) avec x_f = _{2P (X}0)(1−(P (Y¹ 0)), y_f = −^{2P (X}_{2P (X}^{0)P (Y}0)(1−(P (Y^{0)−P (X}0))⁰⁾, x_d =

1 2P (X0)P (Y0) et y_d= −^{2P (X}_{2P (X}^{0)P (Y}0)P (Y^{0)−P (X}0) ⁰⁾ on a : F_an(x) = ( 1 2P (X0)(1−(P (Y0))x −^{2P (X}_{2P (X}^{0)P (Y}0)(1−(P (Y^{0)−P (X}0))⁰⁾, si x ∈ [xind; ximp] 1 2P (X0)P (Y0)x − ^{2P (X}_{2P (X}^{0)P (Y}0)P (Y^{0)−P (X}0) ⁰⁾, si x ∈ [xinc; xind].

29. Czekanowski-Dice ou F-mesure ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (7.18) avec x_f = _{2P (X}^{P (X}0)(1−P (Y^{0)+P (Y0)}0)), y_f = −_{2P (X}^{2P (X}0)(1−(P (Y^{0)P (Y0)}0)), x_d =

P (X⁰)+P (Y⁰)

F_an(x) =

( P (X0)+P (Y0)

2P (X0)(1−P (Y0))x −_{2P (X}^{2P (X}0)(1−(P (Y^{0)P (Y0)}0)), si x ∈ [x_ind; x_imp]

P (X0)+P (Y0)

2P (X0)P (Y0)x − 1, si x ∈ [x_inc ; x_ind].

30. Dépendance ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expres-sion (7.18) avec x_f = _{1−P (Y}¹ 0), y_f = 0, x_d = _{P (Y}¹0) et y_d= −1 on a : F_an(x) = ( 1 1−P (Y0)x, si x ∈ [x_ind; x_imp] 1 P (Y0)x − 1, si x ∈ [xinc; xind].

31. Dépendance Causale estimée ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (7.18) avec x_f = _{3P (X}0^{P (Y})(1−P (Y⁰⁾ 0)), y_f = −^{7P (X0)P (Y}_{3P (X}^0)−3P0)(1−P (Y^{2(Y0)−2P (X}0)) ⁰⁾, x_d= 1 3P (X0) et yd= −^{7P (X0)P (Y}_{3P (X}^0)−3P0)P (Y^2(Y0⁰)^{)−2P (X0)} on a : F_an(x) = ( P (Y0) 3P (X0)(1−P (Y0))x −^{7P (X0)P (Y}_{3P (X}^0)−3P0)(1−P (Y^{2(Y0)−2P (X}0)) ⁰⁾, si x ∈ [x_ind; x_imp] 1 3P (X0)x − ^{7P (X0)P (Y}_{3P (X}^0)−3P0)P (Y^2(Y0⁰)^{)−2P (X0)}, si x ∈ [x_inc; x_ind].

32. Fukuda ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (7.18) avec xf = _{nP (X}0)(1−P (Y¹ 0)), yf = −^{nP (X0)P (Y0)−min}conf ianceP (X0)

nP (X0)(1−P (Y0)) , xd = _{nP (X}0¹)P (Y0) et y_d = ^{nP (X0)P (Y0)−min}conf ianceP (X⁰)

nP (X0)P (Y0) on a : F_an(x) =

( 1

nP (X0)(1−P (Y0))x − ^{nP (X0)P (Y0)−min}conf ianceP (X⁰)

nP (X0)(1−P (Y0)) , si x ∈ [x_ind; x_imp]

1

nP (X0)P (Y0)x − ^{nP (X0)P (Y0)−min}conf ianceP (X⁰)

nP (X0)P (Y0) , si x ∈ [x_inc; x_ind].

33. Precisio ou Support causal ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (7.18) avec x_f = _{2(1−P (Y}¹ 0)), y_f = −^{1−P (X}_{2(1−P (Y}^{0)+P (Y}0)) ⁰⁾, x_d = _{2P (Y}¹ 0) et y_d = −^{1−P (X}_{2P (Y}^{0)+P (Y}0) ⁰⁾ on a : Fan(x) = ( 1 2(1−P (Y0))x −^{1−P (X}_{2(1−P (Y}^{0)+P (Y}0))⁰⁾, si x ∈ [x_ind; x_imp] 1 2P (Y0)x − ^{1−P (X}_{2P (Y}^{0)+P (Y}0) ⁰⁾, si x ∈ [x_inc; x_ind].

34. Risque relatif ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’ex-pression (7.18) avec x_f = ^{P (Y}_{1−P (Y}^{0)−P (X}0)⁰⁾, y_f = −^{P (Y}_{1−P (Y}^{0)−P (X}0) ⁰⁾, x_d= 1 et y_d= −1 on a : F_an(x) = ( P (Y⁰)−P (X⁰) 1−P (Y0) x − ^{P (Y}_{1−P (Y}^{0)−P (X}0) ⁰⁾, si x ∈ [x_ind; x_imp] x − 1, si x ∈ [x_inc; x_ind].

35. Nouveauté ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (7.18) avec xf = 1 P (X0)(1−P (Y0)), yf = 0, x_d= 1 P (X0)P (Y0) et yd= 0 on a : F_an(x) = ( 1 P (X0)(1−P (Y0))x, si x ∈ [x_ind; x_imp] 1 P (X0)P (Y0)x, si x ∈ [x_inc; x_ind].

36. Pearl ; sa fonction de normalisation est telle que : En utilisant l’expression (1) avec x_f = _{P (X}0)(1−P (Y¹ 0)), y_f = 0, x_d = −_{P (X}0)P (Y¹ 0) et y_d= 0 on a : F_an(x) = ( 1 P (X0)(1−P (Y0))x, si x ∈ [x_ind; x_imp] − 1 P (X0)P (Y0)x, si x ∈ [xinc; xind].

37. Force collective ; sa fonction de normalisation est telle que : x = ^{P (X0∩Y0)+P (X} 0 ∩Y⁰) P (X0)P (Y0)+P (X⁰)P (Y⁰) 1−P (X⁰)P (Y⁰)−P (X⁰)P (Y⁰) 1−P (X0∩Y0)−P (X⁰∩Y⁰)

= _{1−P (X}^{P (X}0)−P (Y^{0)(2P (Y}0)+2P (X^0/X0)−1)0)P (Y0) P (X0)+(2P (Y0)−1) P (X0)+P (Y0)−P (X0)(P (Y0/X0)+P (Y0)) et nous avons : x_imp = _{1−P (X}0)−P (Y^{P (X}0)+2P (X⁰⁾ 0)P (Y0) P (X⁰)+P (Y⁰)−2P (X⁰)P (Y⁰) P (X0)+P (Y0)−P (X0)(1+P (Y0)), xind= _{1−P (X}^{P (X}0)−P (Y^{0)(2P (Y}0)+2P (X⁰⁾⁻¹⁾0)P (Y0) P (X0)+P (Y0)−2P (X0)P (Y0) P (X0)+P (Y0)−2P (X0)P (Y0) et x_inc= _{1−P (X}0)−P (Y^{−P (X}0)+2P (X⁰⁾ 0)P (Y0) P (X⁰)+P (Y⁰)−2P (X⁰)P (Y⁰) P (X0)+P (Y0)−P (X0)P (Y0). De plus, xf = _x ¹ imp−x_ind, yf = −_x ¹

imp−x_indxind, xd= _x ¹

ind−x_inc et yd= −_x ¹

ind−x_incxindd’où F_an(x) =

( 1

ximp−x_indx − _x ¹

imp−x_indxind, si x ∈ [xind ; ximp]

1

xind−x_incx − _x ¹

ind−x_incxindx, si x ∈ [xinc; xind]. ^.

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