Cette section concerne les correspondances de Galois. Elle joue un rôle important dans la théorie des ensembles ordonnés. Nous en présentons d’abord quelques généralités avant de voir le cas particulier de correspondance de Galois associée à une relation binaire.
3.3.1 Généralités
Définition 13. Soient (E, ≤), (E0, ≤) deux ensembles ordonnées et fg : E → E0 et gg : E0 → E deux applications. Le couple d’applications (fg, gg) sera dit correspondance de Galois entre E et E0 si les trois propriétés suivantes, qui sont appelées respectivement antitonie, antitonie et extensivité, sont vérifiées :
H ∀ x, x0 ∈ E, x ≤ x0 ⇒ fg(x) ≥ fg(x0) ; H ∀ y, y0 ∈ E0, y ≤ y0 ⇒ gg(y) ≥ gg(y0) ;
H ∀ (x, y) ∈ E × E0, x ≤ ggofg(x) et y ≤ fgogg(y).
Dans les ensembles ordonnés respectifs (E, ≤) et (E0, ≤), les applications composées γf = fgogget γg = ggofgsont des opérateurs de fermeture. D’une manière récapitulative, un treillis est un ensemble ordonné dont tout couple d’éléments admet un infinimum et un supremum. On parle alors de treillis de Galois lorsqu’on a affaire à deux treillis auxquels sont associés une correspondance de Galois. Le treillis de Galois peut être vu comme un regroupement conceptuel et hiérarchique d’objets, et interprété comme une représentation de toutes les implications entre les attributs.
Proposition 16. Soient (E, ≤), (E0, ≤) deux ensembles ordonnés, et que fg : E → E0 et gg : E0 → E deux applications. Le couple (fg, gg) est une correspondance de Galois si et seulement si pour tout (x, y) ∈ E × E0, on a x ≤ gg(y) ⇔ y ≤ fg(x).
Proposition 17. H Soit (fg, gg) une correspondance de Galois. On a les égalités sui-vantes : fg = fgoggofg et gg = ggofgogg. Ainsi, une correspondance de Galois (fg, gg) sera dit couple involutif.
H Soit (fg, gg) une correspondance de Galois entre deux ensembles E et E0. Notons φg = fgogg et φ0g = ggofg. Les applications φg et φ0g sont des opérateurs de fermetures respectivement sur E et E0.
3.3.2 Correspondances de Galois associées à une relation binaire
Soient E et F deux ensembles fini et R une relation binaire de E vers F on note par FE
l’ensemble des parties de E et par FF celui de F. Définissons deux fonctions fR et gR de la façon suivante.
fR : FE → FF
E3 7→ fR(E3) = ∩x∈E3{y ∈ F : xRy} = {y ∈ F : ∀ x ∈ E3 : xRy} . gR : FE → FF
E4 7→ gR(E4) = ∩y∈E4{x ∈ E : xRy} = {x ∈ E : ∀ y ∈ E4 : xRy} . Théorème 6. H Le couple (fR, gR) est une correspondance de Galois ;
H Réciproquement, si (fg, gg) est une correspondance de Galois entre les ensembles FE et FF, alors R(fg, gg) = {(x, y) ∈ E×F : x ∈ gg({y})} = {(x, y) ∈ E×F : y ∈ fg({x})} est une relation binaire de E vers F. Par ailleurs, nous avons les égalités suivantes fR(fg , gg ) = fg, gR(gg , fg ) = gg et R(fR,gR) = R.
Remarque 12. Notons que ce type de correspondance joue un rôle important en Ana-lyse Formelle de Concepts (A.F.C.). Cette notion d’A.F.C. fournit un cadre théorique fondamental pour la fouille des règles d’association d’un contexte binaire. En A.F.C., l’ensemble E désigne un ensemble fini d’entités et FF un ensemble fini d’attributs ou variables. En fait, nous avons la définition 14 suivante.
Définition 14. H Un contexte formel est un triplet K = (T, I, R) où T est en-semble fini d’entités ou d’objets, I un enen-semble fini d’attributs ou de variables et R une relation binaire de T vers I ;
H Soit (E4, E5) ∈ R2. Le couple (E4, E5) sera dit concept formel si E4 est un fermé de φr (i.e φr(E4) = E4) et E5 = fR(E4) où φr= gRofR.
3.4 Familles de Moore et Notions équivalentes
Voyons dans cette section la notion de Familles de Moore et celle d’équivalentes.
La littérature atteste que les Familles de Moore, dénommées souvent « Systèmes de Ferme-ture », permettent d’obtenir qu’elles sont cryptomorphes à d’autres notions telles que : les Opérateurs de Fermeture, Systèmes implicatifs, etc. [Dom02], [DL04], [Arm74]. Cette sec-tion est consacrée aux études de correspondances réciproques entre la nosec-tion de Familles de Moore et Opérateurs de Fermetures, Familles de Moore et Systèmes Implicatifs.
3.4.1 Généralités sur la notion de familles de Moore
Définition 15. Soit E un ensemble. Une famille de Moore sur E est une partie Fm de l’ensemble des parties de E vérifiant les deux conditions suivantes :
Suite de la Définition 15.
(i) E ∈ Fm;
(ii) E0o ⊆ Fm⇒ ∩E0
o ∈ Fm.
Si Fmest un ensemble fini, donc E l’est aussi, la condition (ii) peut être remplacée par la condition (iii) suivante :
(iii) E1; E2 de Fm impliquent E1 ∩ E2 ∈ Fm. Les éléments de Fm sont appelés les fermés de Fm.
Dans toute la suite, nous travaillons dans des familles de Moore finies.
Exemple 5. H Soient E un ensemble et (E1, E2) ⊆ F2
m. Alors, la famille Fm(E1, E2), de sous-ensembles de E, définie par : Fm(E1, E2) = {E3 ⊆ E : E1 6⊂ E3 ou E2 ⊆ E3}, est une famille de Moore. En particulier :
I pour E1 = ∅, Fm(∅, E2) = {E3 ⊆ E, E2 ⊆ E3} ;
I pour E2 = {i}, Fm(E1, {i}) = {E3 ⊆ E : E1 6⊂ E3 ou i ∈ E3} est noté Fm(E1, i). H Soit E = {a ; b ; c ; d ; e}.
Alors Fm = {∅ ; a ; b ; d ; de ; bcd ; abcde} est une famille de Moore sur l’ensemble E. Ici, les ensembles finis sont notés comme des mots. Par exemple ae désigne la paire {a ; e} ;
Remarque 13. Notons que Fm(E1, E2) = Fm(E1, E2−E1). En effet, si E2 ⊆ Fm(E1E2) alors il est clair que E2 ⊆ Fm(E1, E2−E1). Réciproquement, si E2 6⊂ Fm(E1, E2) i.e E1 ⊆ E3 et E2 6⊂ E3 alors E1 ⊆ E3 et E2− E1 6⊂ E3 i.e E3 6⊂ Fm(E1, E2−E1). Par ailleurs, d’après la définition de Fm(E1, E2) si Fm est un fermé qui contient E1 alors Fm contient aussi E2, en d’autres termes E1 implique E2. Ainsi, l’ensemble Fm(E1, E2) sera dit famille de Moore implicative.
Rappelons que l’ensemble (Fm, ∩, ∪) est un treillis. Comme Fm est un sous ensemble de FE stable par intersection donc Fm est un inf-demi-treillis. Par ailleurs, Fm contient un plus grand élément qui est l’ensemble E, donc la famille de Moore Fm est un treillis, par application du Théorème 5. Ainsi, nous avons le résultat suivant.
Théorème 7. Soit Fm une famille de Moore sur E. L’ensemble ordonné (Fm, ⊆) est un treillis, avec les supremum et infinimum définie par :
∀ (E3, E4) ∈ F2
m, E3∧ E4 = E3∩ E, E3∨ E4 = ∩ {F ∈ Fm : E3∪ E4 ⊆ F} [Mon03].
Réciproquement, tout treillis est isomorphe à un treillis des fermés d’une famille de Moore. La réciproque du théorème ci-dessus est vraie. En fait, nous avons le théorème suivant. Théorème 8. Tout treillis est isomorphe à un treillis des fermés d’une famille de Moore [Mon03].
Remarque 14. La notion duale de famille Moore est définie de la façon suivante. Une famille d’ensembles Ed de parties E sera dite duale de famille de Moore ou encore un système d’ouvertures, si elle vérifie les deux conditions ci-dessous :
(i) ∅ ⊆ Ed;
(ii) (Ed1, Ed2) ⊂ E2d⇒ Ed1 ∪ Ed2 ⊂ Ed.
3.4.2 Familles de Moore et Opérateurs de fermeture
Définition 16. Soit E un ensemble. Un opérateur de fermeture ou tout simplement fermeture sur E est une application φm définie sur Fm satisfaisant aux trois conditions suivantes :
(i) ∀ (E1, E2) ⊆ E2, E1 ⊆ E2 ⇒ φm(E1) ⊆ φm(E2) (isotonie) ; (ii) ∀ E1 ⊆ E, φm(φm(E1)) = φm(E1) (idempotence) ;
(iii) ∀ E1 ⊆ E, E1 ⊆ φm(E1) (extensivité) ;
(iv) une ouverture sur E est une application φm définie sur Fm qui est à la fois isotonie, idempotente et contractante (i.e., pour tout E1 ⊆ E φm(E1) = E1).
Nous avons défini ci-dessus un opérateur de fermeture par trois axiomes (isotonie, idem-potente et extensivité). Remarquons qu’il existe d’autres caractérisations des opérateurs de fermeture. Nous donnons ci-après trois de ces caractérisations.
Théorème 9 (Propriété d’indépendance de chemin). Soit φm une application extensive définie sur Fm [Plo73].
(E1, E2) ⊆ E2. Alors, φm est une fermeture, si et seulement si, pour tous (E1, E2) ⊆ E2, φm(E1∪ E2) = φm(φm(E1) ∪ φm(E2)).
Définition 17. Soient E un ensemble et Fm une famille de Moore fini sur E. Une partie E0p de E est appelée ensemble quasi-fermé de Fm, si E0p ∈ F/ m et Fm∪ E0
p est une famille de Moore sur E. Etant donné F ⊂ Fm, E0p est un ensemble F-quasi-fermé de Fm
si E0p est quasi-fermé et φmFm(E0p) = F.
Exemple 6. Soit E = {a ; b ; c ; d ; e}. Nous avons vu, dans l’exemple5, que la famille Fm = {∅ ; a ; b ; d ; de ; bcd ; abcde} est une famille de Moore sur l’ensemble E. Alors {ab} est quasi-femé et φmFm{ab} = {abcde}. Par contre {ae} n’est pas quasi-fermé, car {de} ∩ {ae} = {e} 6⊂ Fm∪ {ae}.
Pour une famille de Moore Fm sur un ensemble E, tout ensemble E1 minimal de FF\Fm est quasi-fermé (en effet E1 ∈ min(FF\Fm) implique (E2 ⊂ E1) ⊂ Fm pour tout E2 ⊂ Fm tel que E1 6⊂ E2).
3.4.3 Familles de Moore et système implicatif
Au début de cette section, on a décrit que la notion de famille de Moore est équivalente à celle de systèmes implicatifs. Elles font une partie fondamentale sur l’étude de l’analyse de données, la base de données relationnelle et l’extraction de connaissances, ces qui inté-ressent principalement à trouver le dispositif d’implication permettant d’administrer toutes les implications entre les entités dans un contexte de base de données. Le présent paragraphe concerne les correspondances entre les notions de familles de Moore et systèmes implicatifs.
Définition 18. Soit E un ensemble fini. Un système implicatif sur E, noté Si, est une relation binaire définie sur FE : Si⊆ F2
E. Si (E4, E5) ∈ Si2 on écrit E4 → SiE5 ou tout simplement E4 → E5 et on lit E4 implique E5 ou E4 → E5 est une implication de Si.
Un système implicatif Si sur E est dit complet s’il vérifie, pour tous (E4, E5, E6, E7) ⊆ E4, les trois conditions suivantes :
(i) E4 ⊇ E5 ⇒ E4 → E5;
(ii) E4 → E5 et E5 → E6 ⇒ E4 → E6;
(iii) E4 → E5 et E6 → E7 ⇒ E4∪ E6 → E5∪ E7.
Définition 19. Soit Si un système implicatif défini sur un ensemble E. H E4 →SiE5 est dite propre (resp. triviale) si E4∩ E5 = ∅ ;
H Soit y ∈ E. Toute implication de la forme E4 → Si{y} s’appelle implica-tion élémentaire.