Bien des sujets de Baccalauréat ont déjà passé devant mes yeux : en effet, leur nombre avoisine les 400. Pour témoigner ce fait, limitons-nous aux seuls huit sujets dont 3 sujets de Terminale A (Annexe A), 3 sujets de Terminale D (Annexe B) et 2 sujets de Terminale C (Annexe C).
On n’ignore que depuis la classe de seconde, on fait déjà l’étude de la homographie propre. En première, on l’étend vers les études de ses associées suivant le programme en vigueur. En plus, en première scientifique, on fait également l’étude de la fonction f (x) = ax
2+ bx + c dx + e . Pour cette fonction, nous constatons que si a = 0, alors on obtient f (x) = bx + c
dx + e qui est exactement l’expression de la homographie propre. Dommage, le programme ne poursuit pas ce processus.
En terminale, beaucoup de transformations sont déjà introduites à savoir : les similitudes directes, similitudes indirectes etc.. Mais, on ne voit jamais la homographie propre complexe qui représente une transformation géométriques intéressante. Ce constat est bien prouvé même au mode d’établissement du sujet de baccalauréat (voir annexes A,B, C).
En effet, comme on le voit sur les sujets du baccalauréat aux annexes A, B, C, le mode d’établissement de tous les sujets du baccalauréats suit ce même rythme tant dans l’Ensei-gnement général que technique. Seulement, les ayant droits à la préparation des sujets de Baccalauréat, et du BEPC même, ne sentent nullement pas les enjeux de la homographie propre, vraisemblablement par négligence ou même par l’ignorance des enjeux des homogra-phies.
A cet effet, nous nous proposerons d’instaurer une formation continue quant aux enseigne-ments des homographies depuis les classes de collège jusqu’à l’Université. Autrement dit, le long trajet collège-Université doit se constituer pour former un bagage pédagogique solide et solidaire concernant les homographies et bien d’autres. La discontinuité dans la formation sera ainsi automatiquement éliminée car, dans ce cas, ladite formation est régie par une même pédagogie et une même didactique des disciplines.
8.7 Pertinence et faisabilité de l’enseignement de la
géo-métrie hyperbolique plane dès le collège
8.7.1 Motivation
Avec les programmes scolaires successifs, tous les élèves de collège et de seconde, première et terminale scientifiques au lycée étudient la géométrie sous sa forme euclidienne seulement. Notons que l’enseignement de toutes les géométries dans ces classes sont alors effectuables et/ou constructibles à partir du plan euclidien.
A ce sujet, en admettant que le demi-plan du Poincaré est le plan supérieur du plan euclidien et ayant acquis des connaissances en géométrie euclidienne pour les élèves au collège et au lycée, il n’y a aucune raison d’empêcher l’introduction de l’enseignement de la géométrie hyperbolique non euclidienne selon le modèle de Poincaré.
En effet, quant à la géométrie non euclidienne, nous nous pensons qu’il est bien possible et nécessaire d’introduire cette partie dès le collège, mais on se limitera jusq’à l’esquisse de construction des figures géométriques élémentaires et fondamentales (voir par exemple les figures6.22,6.23, 6.25 pages 89, 90, 92 et annexe E) hyperboliques à l’aide des matériels de construction géométriques (compas, règle, etc.) [TA17].
8.7.2 Enjeux de l’enseignement-apprentissage des géométries
L’élève n’apprend qu’en agissant et donc en étant impliqué par la scénario d’enseignement-apprentissage. Contrairement à la conception béhavioriste, acquérir une connaissance n’est pas un processus d’empilement, mais plutôt le passage d’une phase d’équilibre à un nouvel équilibre par le biais d’une phase de déséquilibre de conflit sociocognitif provoqué par une contradiction entre pré-conceptions et la situation à la quelle on est confronté.
La pédagogie de la géométrie exclusivement euclidienne depuis la jeune enfance de 6ans jus-qu’à l’adolescence engendre certainement une pré-conception de ne percevoir que les formes géométriques euclidiennes, pré-conception qui risque d’être difficile à effacer, voire indélébile, donc va s’ériger en un obstacle épistémologique, mais aussi un obstacle didactique envers l’ap-prentissage des géométries non euclidienne plus tard !
Se pose alors la question de savoir sur la géométrie : « comment créer une opportunité d’un déséquilibre instable face à cette prégnance durable et quasi exclusive à la géométrie eucli-dienne ? ».
Etymologiquement le terme « géométrie » vient des deux racines « géo » et « métrie » signi-fiant respectivement « terre (gaia en Grec) » et « mesure (metron en Grec) ».
Après ces quelques repères historiques sur la pédagogie et sur la géométrie et enjeux de son enseignement-apprentissage aux niveaux scolaires, nous présentons d’une façon très simplifiée et assez intuitive la géométrie hyperbolique analytique mise en relation avec les homogra-phies complexes.
Ensuite, nous tenterons de monter la pertinence et la faisabilité de l’enseignement précoce de cette géométrie non euclidienne selon le modèle de Poincaré : cette reforme concerne le niveau collège et lycée.
8.7.3 Etude expérimentale
A titre indicatif, voici une question portant sur la reconnaissance et la dénomination des figures de la géométrie euclidienne et de celles hyperboliques que nous avons posées à 40 étudiants et à 10 enseignants chercheurs des mathématiques et des sciences physiques.
Figure 8.1 – Sujet de test L’enquête a donné le résultat représenté par la figure 8.2.
Figure 8.2 – Résultat de l’enquête
A l’issue de ce test, nous avons constaté que personne n’arrive pas à nommer correctement les figures relatives aux géométriques hyperboliques, la plupart d’entre eux ne possèdent aucun mot pour les reconnaitre. L’interprétation de ce fait est évidente, vu les programmes scolaires suivis. Voici quelques réponses témoins concernant le test en vigueur et les autres réponses à la question sont visibles à l’annexe D.
Figure 8.4 – Copie de test
8.7.4 Analyse du résultat d’enquête
Vraisemblablement, le non apprentissage de la géométrie hyperbolique et la prégnance à la géométrie euclidienne pourraient être la raison de cet échec. Or, dans la vie quotidienne, il existe plusieurs architectures d’images telles que la géométrie euclidienne ne suffit ni pour les construire, ni pour optimiser la créativité et l’éducation à l’esthétique qui sont des en-jeux majeurs de l’enseignement des géométries : à titre indicatif, apprécions les polygones hyperboliques rappelées dans l’annexe E (notons que tous ces polygones sont extraits des Polygones hyperboliques réguliers et ses translatés par Marcel Morales).
Tout ceci montre, partiellement certes, la pertinence de l’enseignement d’au moins une géo-métrie non euclidienne dès le collège et poursuivie et approfondie au Lycée.
Figure 8.5 – Trois géométries existant dans la littérature