Niveau collège

8.9.1 Enfant de 11 à 12 ans : classe de 6

Ils doivent être capable d’approfondir, de développer les connaissances acquises sur les droites à l’école Primaire et d’utiliser des propriétés et des définitions pour construire et/ou pour justifier. C’est-à-dire qu’il doit être capable de (d’) :

H nommer une droite (AB), (xy), (D) ;

H reconnaître et placer des points alignés, des points non alignés ; H tracer la droite passant pour deux points distincts donnés ; H reconnaître et tracer des droites sécantes ;

H connaître et utiliser les notations (D)⊥(L), (D)//(L) ;

H construire à l’aide de la règle et de l’équerre :

I la droite perpendiculaire à une droite donnée et passant par un point donné ; I la droite parallèle à une droite donnée et passant par un point donné ;

H vérifier que deux droites sont perpendiculaires ;

H justifier que deux droites sont parallèles ou qu’elles sont perpendiculaires en utilisant des définitions et/ou des propriétés.

Moralité 10. Pour l’élève ayant acquis ces connaissances ci-dessus, on peut en effet in-troduire dans cette classe la notion de demi-plan de Poincaré suivi de la construction des droites hyperboliques.

8.9.2 Enfant de 12 à 13 ans : classe de 5

Principalement, l’élève de cette catégorie doit être capable d’utiliser la notion de distance pour caractériser un segment et un triangle, il doit également capable d’avoir une première notion de regionnement du plan. C’est à dire qu’il doit connaitre quelques propriétés carac-téristiques des triangles particuliers, reconnaitre et construire des triangles particuliers. Moralité 11. Pour l’élève ayant acquis ces connaissances ci-dessus, on peut en effet in-troduire la géométrie hyperbolique dans cette classe mais on se limite jusqu’à la notion de traçage d’un demi-cercle centré sur l’axe x passant par deux points sur le demi-plan et à la construction de tous les éléments géométriques, triangle, parallélogramme etc. en connaissant que la somme des angles du triangle est inférieure à 180o.

8.9.3 Enfant de 13 à 14 ans : classe de 4

L’objectif général concernant qu’il doit être capable d’utiliser les symétries orthogonales et centrales pour justifier des propriétés de configurations et un programme de construction simple. C’est à dire qu’il doit être capable de savoir la propriété de la droite des milieux et des propriétés de droites particulières d’un triangle. Plus précisément, il doit être capable de (d’)

H énoncer la définition de la droite des milieux ;

H énoncer les propriétés du segment joignant les milieux de deux côtés d’un triangle : I longueur de segment ;

I direction du support de ce segment ;

H utiliser la propriété directe pour justifier que deux droites sont parallèles ;

H utiliser la propriété réciproque pour justifier qu’un point est milieu d’un segment ; H construire l’orthocentre d’un triangle quelconque dont :

I un des angles est obtus ; I les trois angles sont aigus ;

H reconnaître l’orthocentre d’un triangle rectangle (il s’agit du sommet de l’angle droit) ; H construire le cercle inscrit dans un triangle donné ;

H déterminer la position de centre de gravité.

Moralité 12. Pour l’élève ayant acquis ces connaissances ci-dessus, on peut en effet intro-duire la géométrie hyperbolique dans cette classe mais on se limite jusqu’à l’introduction de notion de l’inversion ainsi, elle est faite suivant qu’il maîtrise déjà les techniques élémen-taires pour l’étude des calculs vectoriels et il sait également de mettre en œuvre les techniques élémentaires pour l’étude vectorielle des situations rencontrées en géométrie.

En un mot, l’enseignement de la géométrie hyperbolique non euclidienne au niveau du col-lège est limité jusqu’àu l’esquisse des constructions des figures géométriques hyperboliques fondamentales et élémentaires sans entamer sur les études analytiques.

8.9.4 Enfant de 14 à 15 ans : classe de 3

L’élève de cette classe doit principalement être capable de connaitre les propriétés directes et réciproques de Thalès, et d’utiliser ces propriétés pour justifier et construire. C’est à dire qu’il doit connaitre les propriétés directe et réciproque de Thalès et d’utiliser ces propriétés pour justifier et construire. Il doit aussi être capable de maîtriser et compléter les connaissances acquises dans les classes antérieures sur les symétries et les translations et d’utiliser, de ma-nière plus performante, les symétries et les translations pour démontrer et pour construire et encore d’acquérir une première notion sur la composition des deux transformations. Au-trement dit, il doit être capable de (d’)

H reconnaître une configuration de Thalès dans un triangle ;

H énoncer correctement les propriétés directe et réciproque de Thalès ; H utiliser les propriétés de Thalès pour :

I partager un segment dans rapport donné ;

I construire la quatrième proportionnelle des nombres a, b, et c pris dans cet ordre ; I calculer les distances ;

I justifier un parallélisme des droites.

H construire un triangle semblable à un autre donné ;

H reconnaître des triangles semblables sur une configuration donnée ; H justifier que deux triangles donnés sont semblables ;

H résoudre des problèmes simples faisant intervenir des triangles semblables ; H reconnaitre une configuration de Thalès dans le cas général

H connaitre quelques applications simples du théorème de Thalès dans le cas général. H reconnaître des symétries et des translations ;

H utiliser les symétries et translations pour justifier : I une propriété d’une configuration ;

I un programme de construction ;

H Construire l’image d’un point, d’une figure simple par :

I la composée de deux symétries orthogonales d’axes parallèles, d’axes perpendicu-laires ;

I la composée de deux symétries centrales ; I la composée de deux translations.

H justifier que :

I la composée de deux symétries orthogonales d’axes parallèles est une translation ; I la composée de deux symétries orthogonales d’axes perpendiculaires est une

sy-métrie centrale ;

I la composée de deux symétries centrales est une translation ; I la composée de deux translations est une translation.

Moralité 13. Pour l’élève ayant acquis ces connaissances ci-dessus, on peut en effet in-troduire la géométrie hyperbolique dans cette classe. Mais, on se limite jusqu’à la mise en épreuve que la homographie est une transformation géométrique idéale pour travailler selon le modèle de Poincaré.