Présentation du programme de la spécialité mathématique

Le GEPS Mathématiques a donc rédigé en 2000–2001 un nouveau programme contenant, dans l’enseignement de la spécialité mathématiques de la Terminale ES, des éléments de théorie des graphes. Dans l’introduction du programme, les rédacteurs sont explicites quant à leurs intentions :

Pour l’enseignement de spécialité, le programme est résolument novateur. Cet aspect novateur garde toutefois une dimension raisonnable, eu égard à l’horaire en jeu ; il valorise par ailleurs la série ES qui aborde ainsi des objets mathématiques originaux. Ce programme de spécialité se situe dans le prolongement de celui de l’option de première ES ; les élèves voulant choisir la spécialité « mathématiques » en terminale ES auront donc tout intérêt à suivre l’option

« mathématiques » en première, sauf à rattraper quelques notions, en particulier le calcul matriciel.

B.O. hors-série n˚4 du 30 août 2001, page 60.

Nous reprenons ici l’intégralité du paragraphe du programme concernant les graphes.

Une ouverture sur la théorie des graphes

Ce choix est cohérent tant avec le programme de la classe antérieure qu’avec les exigences de formation ultérieure : on trouve en effet ici quelques applications intéressantes du calcul ma-triciel développé dans l’option de première ES ; par ailleurs, les problèmes résolus constituent une première approche, volontairement modeste, de situations complexes (d’ordonnancement, d’optimisation de flux, de recherche de fichiers informatiques, d’études de migrations de popu-lations. . . ) auxquelles de nombreux élèves seront par la suite confrontés, notamment en gestion ou en informatique. Ce thème sensibilise naturellement à l’algorithmique et, en montrant la puissance de la théorie des graphes pour la modélisation, permet un autre regard mathématique sur diverses situations.

Enfin, la présence des graphes dans les programmes permettra ultérieurement de définir des thèmes de TPE faisant intervenir des mathématiques consistantes.

B.O. hors-série n˚4 du 30 août 2001, page 60.

Nous noterons ici en particulier la justification d’introduire la théorie des graphes dans le curriculum, comme application du calcul matriciel, pour approcher des problèmes issus de la gestion¹ ou de l’informatique, et enfin pour sensibiliser les élèves à l’algorithmique et à la modélisation.

Un travail axé sur la seule résolution de problèmes

Il n’est pas question de retomber dans les pièges du langage ensembliste des années 1970 : toute présentation magistrale ou théorique des graphes serait contraire au choix fait ici. L’essentiel du travail réside dans la résolution de problèmes : résolution à l’initiative des élèves, avec ses vante :http://www.eduscol.education.fr/D0015/graphes.pdf.

1Nous n’avons pas trouvé d’exemple de tels problèmes ni dans le document d’accompagnement, ni dans les manuels.

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essais et tâtonnements, ses hésitations pour le choix de la représentation en termes de graphe (quels objets deviennent arêtes ? lesquels deviennent sommets ?), la recherche d’une solution et d’un raisonnement pour conclure. Toute notion relative à la théorie des graphes absente de la liste de vocabulaire élémentaire du tableau ci-après est clairement hors programme. Cette liste doit suffire pour traiter tous les exercices proposés. On trouvera dans le document d’accompa-gnement des éléments de théorie des graphes nécessaires à la formation des enseignants ainsi qu’une liste d’exemples sans caractère normatif, couvrant largement le programme et illustrant le type de travail attendu ; chaque exemple est suivi d’une liste de contenus (termes ou pro-priétés) que celui-ci permet d’aborder ; un lexique en fin de ce document reprend la totalité des termes et propriétés du programme ainsi introduits. L’optique première étant la résolution de problèmes, on insistera plus sur le bon usage des mots que sur leur définition formelle.

L’intérêt du lexique est de bien marquer des limites à ce qui est proposé.

À titre indicatif, la répartition horaire entre les différents chapitres peut être : 40 % pour les graphes ; 35 % pour les suites ; 25 % pour la géométrie dans l’espace.

B.O. hors-série n˚4 du 30 août 2001, page 60.

La lecture de ce paragraphe appelle trois remarques.

– Toute présentation magistrale ou théorique des graphes serait contraire au choix fait ici. L’essentiel du travail réside dans la résolution de problèmes. La résolution de pro-blèmes a souvent été décriée en France, à plus ou moins juste titre à notre avis. La critique majeure qui lui est faite est de ne proposer aux élèves que la résolution de pro-blèmes locaux, de ne pas aboutir à la généralisation et finalement de ne pas permettre l’accès à des connaissances mathématiques. Pour nous, cela révèle surtout l’absence d’institutionnalisation des connaissances après cette phase de résolution de problèmes.

Or, le programme impose d’éviter toute présentation théorique des graphes. Comment institutionnaliser des connaissances sans passer par la théorie ? Il y a ici, à notre avis, un grand risque que ces deux phrases juxtaposées n’amènent à une interprétation vi-sant à supprimer la phase d’institutionnalisation qui est déjà trop souvent absente de la classe pratiquant la résolution de problèmes.

– Chaque exemple est suivi d’une liste de contenus (termes ou propriétés) que celui-ci permet d’aborder ; un lexique en fin de ce document reprend la totalité des termes et propriétés du programme ainsi introduits. L’optique première étant la résolution de problèmes, on insistera plus sur le bon usage des mots que sur leur définition formelle.

Ce qui est frappant est que ce qui paraît important à donner aux élèves est une liste de mots sans définition formelle. On peut interpréter cela en pensant que la manipulation du graphe durant la résolution de problèmes va permettre l’accès aux concepts, et que le « bon usage des mots » ne viendra que confirmer la connaissance conceptuelle ainsi construite. L’interprétation peut malheureusement être bien plus minimale, et laisse à craindre une mise en œuvre du programme amenant à une pauvreté conceptuelle préjudiciable pour cet enseignement.

– Toute notion relative à la théorie des graphes absente de la liste de vocabulaire élémen-taire du tableau ci-après est clairement hors programme. Cette liste doit suffire pour traiter tous les exercices proposés. Soulignons deux points dans cette phrase : on ne parle plus deproblèmes mais d’exercices; les notions à aborder sont identifiées à une

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liste de vocabulaire élémentaire. éventuelle-ment étiqueté ou pondéré et dont la solution est associée :

– à la coloration d’un graphe, – à la recherche du nombre

chroma-tique,

– à l’existence d’une chaîne ou d’un cycle eulérien,

– à la recherche d’une plus courte chaîne d’un graphe pondéré ou non,

– à la caractérisation des mots re-connus par un graphe étiqueté et, réciproquement, à la construction d’un graphe étiqueté reconnais-sant une famille de mots,

– à la recherche d’un état stable d’un graphe probabiliste à 2 ou 3 som-mets.

– lien entre la somme des degrés des sommets et le nombre d’arêtes

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Remarquons que ce programme semble être composé d’une liste de compétences (connais-sances de résultats élémentaires à savoir appliquer dans un cadre fixé) associée à une liste de termes sur les graphes.

Au niveau du contenu, une partie du programme se détache nettement des autres : la partie « graphes probabilistes ». Ici, le graphe n’est plus qu’un support de représentation de données. Les « graphes probabilistes », plus communément appelés diagrammes ou chaînes de Markov, ne font pas partie de la théorie des graphes, ils appartiennent au domaine de la statistique et des probabilités. Cette partie du programme sera évoquée dans la suite de ce document, mais nous la considérons comme hors du champ de notre étude.