Le cas des graphes simples avec boucles

L’hypothèse selon laquelle on pourrait se serrer la main à soi-même peut sembler étrange, pourtant elle s’est posée pendant les formations que nous animions. En soulevant les implicites que contient l’énoncé, la question de savoir ce qui se passait lorsque l’on peut se serrer la main s’est spontanément posée.

Revenons dans le cadre des graphes avec cette hypothèse. Un graphe simple comportant des boucles (une boucle par sommet au plus) peut-il avoir des sommets de degrés tous différents ? Pour répondre à cette question, il faudrait au préalable répondre à une seconde question : « Pour combien une boucle contribue-t-elle dans le degré d’un sommet ? » En effet, vue la définition que l’on a donnée au degré d’un sommet, on pourrait être tenté de répondre 1 ou 2 selon l’interprétation que l’on a de la phrase : « le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes incidentes à ce sommet ». Nous considérerons localement et arbitrairement, qu’une boucle contribue pour 1 au degré du sommet auquel elle est incidente (le raisonnement suivant pouvant être appliqué avec une définition donnant 2 pour la contribution d’une boucle au degré d’un sommet, ce qui est plus traditionnellement admis).

SoitG_n la famille des graphes simples avec boucles àn sommets. Pour n= 2, nous avons deux contre-exemples à la conjecture selon laquelle deux sommets au moins d’un graphe G_n sont de même degré :

1Les questions connexes sont pour la plupart des questions qui nous ont été posées lors des séances de formation d’enseignants. Certaines attendent une réponse simple, d’autres demandent plus de réflexion.

Nous vous les proposons comme des ouvertures possibles, leur résolution n’étant pas nécessaire à la compréhension de la suite.

2Le problème général d’existence de graphes répondant à une séquence de degrés donnés n’est pas entièrement résolu à l’heure actuelle.

tel-00416598, version 1 - 14 Sep 2009

Fig.4.12: Deux contre-exemples à 2 sommets

Ces deux graphes semblent être les seuls contre-exemples à notre conjecture pour n = 2 parmi les graphes de G₂. Lorsque nous observons les séquences de degrés possibles pour qu’un tel graphe soit un contre-exemple, c’est-à-dire la liste des degrés des sommets du graphe (habituellement classés dans l’ordre croissant), nous avons trois possibilités : (0,1),(0,2),(1,2). Le degré ne peut dépasser 2, chaque sommet ne pouvant être relié qu’à l’autre sommet et à lui-même et la séquence (0,2) n’est pas possible, un sommet ne pouvant comporter deux boucles.

Les deux graphes précédents sont donc bien les deux seuls contre-exemples à notre conjec-ture. Nous qualifierons le premier de graphe à sommet isolé et nous le noterons I₂, le second de graphe à sommet saturé, noté S₂. Nous pouvons construire de nouveaux contre-exemples sur la base de ceux-ci. Commençons par construire des contre-exemples à 3 sommets.

Nous construirons un contre-exemple « saturé » à 3 sommets, S3, à partir du contre-exemple « isolé » à 2 sommets, I₂, en ajoutant un sommet relié à tous les autres et comportant une boucle. Quant au contre-exemple « isolé » à 3 sommets,I₃, il est construit sur le contre-exemple « saturé » à 2 sommetsS2 en lui ajoutant un sommet isolé :

Fig. 4.13: Le passage de 2 contre-exemples à 2 sommets à 2 contre-exemples à 3 sommets.

Pour un rang quelconque, supposons que nous ayons deux contre-exemples à n−1

som-tel-00416598, version 1 - 14 Sep 2009

mets,S_n−1 comportant un sommet saturé (et par conséquent aucun sommet isolé)¹,I_n−1 comportant, lui, un sommet isolé (et donc aucun sommet saturé). Nous allons ajouter un sommet isolé pour le premier, et un sommet que nous allons saturer pour le second :

Fig. 4.14: Le passage d’un contre-exemple saturé à n−1 sommets à un contre-exemple isolé à nsommets.

Fig. 4.15: Le passage d’un contre-exemple isolé à n−1 sommets à un contre-exemple saturé à nsommets.

Par induction, nous pouvons donc affirmer qu’il existe deux contre-exemples ànsommets à la conjecture « deux sommets au moins d’un graphe simple et avec boucles sont de même degré ». Ces contre-exemples sont-ils les deux seuls pour la famille G_n? La récurrence ascendante que nous avons faite nous a montré que ce procédé de construction donnait deux contre-exemples à partir des contre-exemples de rang inférieur. N’étant pas certains par cette récurrence d’avoir obtenu tous les contre-exemples possibles, tentons une in-duction descendante pour montrer que les graphes In et Sn ainsi construits représentent bien l’ensemble de tous les contre-exemples que nous recherchons.

La séquence de degrés d’un graphe simple avec boucles ayant tous ses sommets de degrés différents va être du type (0,1, . . ., X, . . ., n), le symbole X correspondant à un « trou » dans la suite des entiers : on prend l’ensemble des entiers de 0 à n privé d’un entier dont le rang est symbolisé parX. Supposons queX soit différent de 0 et den. Pour les raisons

1L’existence d’un sommet saturé dans un graphe donné implique l’absence de sommet isolé dans ce graphe, de même que l’existence d’un sommet isolé implique l’absence de sommet saturé, comme nous l’avons vu précedemment. (Un sommet est saturé s’il est relié à chacun des autres ; réciproquement un sommet est isolé s’il n’est relié à aucun autre sommet : l’existence de ces deux sommets est incompatible).

tel-00416598, version 1 - 14 Sep 2009

évoquées plus haut, ceci n’est pas possible, car signifierait que l’un des sommets est isolé, et qu’un autre est saturé. On doit donc avoir X = 0 ouX =n.

SiX =n, le graphe contient un sommet isolé. Le sous-graphe induit ne contenant pas le sommet isolé sera donc un contre-exemple de rang n−1. Il aura une séquence de degrés de la forme (1,2, . . ., n−1), et sera donc un contre-exemple de type Sn−1. Le graphe de départ pour X =n était donc un contre-exemple I_n.

Si X = 0, alors le graphe a un sommet de degré n, c’est-à-dire un sommet saturé, et sa séquence de degrés est du type (1,2, . . ., n). Prenons le sous-graphe induit ne contenant pas ce sommet saturé. La séquence de degrés de ce graphe sera (0,1, . . ., n−2), le degré de chaque sommet diminuant de 1 par rapport au graphe dont il est issu, lorsqu’il n’est plus relié au sommet saturé. Cette séquence de degrés correspond à un contre-exemple In−1, le graphe dont il est issu étant lui le contre-exemple S_n.

Cette « déconstruction » nous a donc permis de montrer que l’on passe de façon unique de In à Sn−1, et de Sn à In−1. Les contre-exemples à la conjecture pour les graphes Gn

sont donc au nombre de 2 pour toutn.