Énoncés autour de la structure d’un graphe

2.4.3.1 S1 : Étudier l’existence d’un circuit ou d’un chemin eulérien

Lorsque le théorème d’Euler est connu, il existe une technique pour répondre à cette question : compter. On compte le nombre d’arêtes arrivant en chaque sommet. Si tout est pair, on répond qu’il existe un circuit ; si deux et seulement deux sont impairs, qu’il existe un chemin ; sinon, qu’il n’existe pas de chemin eulérien dans le graphe.

À partir du moment où le théorème d’Euler est connu dans la classe, toute question sur l’existence d’un chemin ou d’un circuit eulérien dans un graphe perd tout intérêt autre que de savoir si les élèves connaissent leur leçon.

2.4.3.2 S2 : Étudier des éléments simples de la structure d’un graphe

Pour illustrer ce type d’énoncés, en voici quelques exemples issus du manuel Déclic [53].

– Donner le nombre de sommets et d’arêtes des graphes suivants¹.

– Donner l’ordre d’un graphe. Donner le nombre d’arêtes d’un graphe². (Questions stric-tement équivalentes à celles de l’énoncé précédent).

– Citer une paire de sommets non adjacents³.

– Donner la liste des suivants (resp. précédents) d’un sommet donné⁴.

1Déclic [53], Exercice 4 page 240.

2Déclic [53], Exercices 6, 7 et 8 page 259.

3Déclic [53], Exercice 8 page 241.

4Déclic, Exercice 43 page 245.

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– Reconnaître un graphe non connexe¹.

Ces énoncés appartiennent aux « questions de cours », leur seul intérêt étant la connais-sance d’un vocabulaire spécifique.

2.4.3.3 S3 : Étudier des éléments non triviaux de la structure d’un graphe Nous utilisons l’expression « éléments non triviaux » dans l’idée où les énoncés que nous allons décrire pourraient amener à des questions non triviales si les questions posées dans ces énoncés étaient ouvertes. Nous verrons que celles posées ici amènent à des solutions évidentes, ou qu’elles sont tellement fermées qu’elles font perdre tout sens mathématique au problème.

Voici des exemples de tels énoncés dans le manuel Déclic :

– Dessiner un graphe non orienté d’ordre n composé de parêtes.

– Donner le diamètre d’un graphe donné.

– Donner le niveau d’un sommet d’un graphe donné.

Prenons-les séparément.

Dessiner un graphe non orienté d’ordre n composé de p arêtes.

Si la question est posée sans aucun contexte, une solution triviale suffit à y répondre : prenons par exemple, un sommet comportantpboucles, etn−1sommets isolés, il répond bien à la question posée. Dans le contexte des exercices proposés, il semble que le graphe attendu est un graphe simple. Mais la solution demeure assez triviale : on placensommets et p arêtes les reliant en prêtant garde à ne pas placer d’arête multiple. Tant que p est plus petit que le nombre d’arêtes du graphe completKn, soit ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ , on est sûr de pouvoir dessiner un tel graphe².

Donner le diamètre d’un graphe donné

Cette question est posée quatre fois dans le manuel Déclic³. Le manuel donne pour défi-nition de diamètre : plus grande distance constatée entre deux sommets parmi toutes les paires de sommets. Nous faisons l’hypothèse que les auteurs utilisent l’expression « dis-tance constatée » pour signifier qu’il n’y a pas besoin pour les élèves de prouver que cette distance est effectivement la plus grande, et qu’ils n’ont donc pas à appliquer l’algorithme de Dijkstra à toutes les paires de sommets. En Terminale ES, cet algorithme est en effet la technique consacrée pour trouver un chemin entre deux sommets dans un graphe et prouver que ce chemin est un plus court chemin. C’est le moyen donné aux élèves pour établir la distance entre deux sommets.

Comment cette hypothèse se traduit-elle dans les problèmes du manuel ?

Le premier exercice propose les deux graphes complets K₅ et K₆. Il est demandé aux

1Déclic [53], Exercice 1 page 259. Parmi les 5 graphes proposés, 4 sont plans. Le cinquième est composé deP2et P3 dont deux arêtes se croisent.

2Ce qui est le cas dans tous les exercices sus-mentionnés, c’est-à-dire Déclic [53], Exercices 5 page 240, 11 et 12 page 241.

3Voir Déclic [53] Exercices 1, 2, 3 et 4 page 281.

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élèves :

1. Rechercher le diamètre de chacun des deux graphes suivants.

2. Quelle même propriété possèdent ces deux graphes ? 3. Généraliser et énoncer un théorème.

Cette dernière question nous semble prêter à confusion. Elle attend peut-être une généra-lisation argumentée (comme : chaque sommet d’un graphe complet étant relié à tous les autres, la plus grande distance qui existe entre deux sommets d’un graphe est 1) menant à l’énonciation du théorème(Les graphes complets ont 1 pour diamètre) ainsi prouvé. Mais telle qu’elle est écrite on peut penser que les élèves, qui ont trouvé 1 comme diamètre de deux graphes complets, peuvent généraliser en disant que tous les graphes complets sont de diamètre 1, et ont ainsi énoncé un théorème qui reste à prouver. Quoi qu’il en soit, pourquoi poser la question « énoncer un théorème » ? Pourquoi pas « énoncer une conjecture » ou « prouver votre conjecture » ? Si c’est le mot même de conjecture qui est gênant, on peut imaginer d’autres formulations comme « montrer que le résultat que vous avez trouvé sur les exemples peut être généralisé ». Le terme théorème nous semble ici utilisé à mauvais escient.

Le deuxième exercice propose deux cycles C5 et C6. Les deux premières questions sont identiques à celles de l’exercice précédent. La troisième est la suivante :

Chercher à énoncer un théorème donnant le diamètre de tels graphes.

Il semble que, cette fois-ci, on ne puisse plus faire l’hypothèse que la question appelle une argumentation. Nous interprétons cette question comme : « énoncer une conjecture sur le diamètre du cycle à n sommets ».

Pour se donner une intuition du diamètre, supposons que le cycle soit un collier formé de billes disposées entre des tiges souples de même taille et pesantes. Si l’on suspend le collier par l’une de ses billes, son diamètre est la distance entre le point de suspension et le point le plus bas du collier¹. On voit ainsi que le diamètre d’un cycle sera (à peu près) égal à la moitié du nombre de ses arêtes. La conjecture attendue par l’énoncé est qu’un cycle à n sommets a un diamètre égal à la partie entière de n/2.

Imaginons alors que la question de prouver cette conjecture soit posée. Pour cela, on est amené à remarquer plusieurs propriétés élémentaires du cycle. Tous les sommets jouent le même rôle, on peut donc choisir d’établir le diamètre d’un cycle à n sommets en choisissant un sommet x quelconque et en établissant sa distance avec tous les autres sommets du graphe.

Que se passe-t-il si l’on applique alors l’algorithme de Dijkstra² en prenantxpour sommet de départ ? On commence par se déplacer sur le sommet situé à une distance 1 à gauche (par exemple) de x, puis sur celui à distance 1 à droite de x, puis sur celui à distance 2

1On peut généraliser ce dispositif pour déterminer de façon matérielle le diamètre d’un graphe simple et non orienté. Trouver le diamètre du graphe demandera de mesurer cette distance en prenant tour à tour chacune des billes comme point de suspension. La plus longue distance mesurée ainsi est le diamètre du graphe. (Si les arêtes du graphe sont pondérées, il suffit que chacune des tiges soit de longueur proportionnelle à sa pondération).

2On aura besoin d’une version élargie de l’algorithme par rapport à celle du document d’accompa-gnement. La condition d’arrêt de l’algorithme, pour un graphe connexe, est que la distance dexà chaque sommet du graphe soit établie.

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à droite (par exemple) de x, etc. En fait, on se déplace dans le graphe selon un parcours

« en largeur d’abord »¹ et l’algorithme s’arrête en donnant la distance attendue que l’on peut « lire » sur le dernier sommet marqué. Ce problème pourrait donc être une occasion de proposer l’application de l’algorithme de Dijkstra sur un exemple « générique », qui permettrait de donner du sens à l’algorithme tout en prouvant une propriété des cycles.

Le troisième exercice propose deux arbres et demande de rechercher leur diamètre (les graphes sont dessinés de telle façon que la réponse est immédiate) puis pose la question à quoi correspond leur diamètre?

Quelle est la réponse attendue ? Nous avouons ne pas savoir. Peut-être quele diamètre est la plus longue distance entre deux feuilles, simple application de la définition de diamètre aux arbres, est une réponse suffisante ?

Enfin, le dernier exercice propose un graphe simple (non orienté, connexe, plan) et la question posée est :rechercher le diamètre du graphe suivant. Pour résoudre le problème, les élèves doivent établir la distance de chaque sommet avec tous les autres, la méthode exhaustive étant la seule à leur disposition. Le graphe a 10 sommets et 15 arêtes, ce qui demande une bonne organisation pour que l’exhaustivité puisse être certifiée. Toutefois le diamètre du graphe est évident sur le graphe en question.

Donner le niveau d’un sommet d’un graphe donné

Dans le seul exercice² de Déclic traitant du sujet, leniveau du sommetxest défini comme la longueur de la chaîne orientée la plus longue arrivant au sommetx. L’énoncé demande à l’élève de vérifier que le graphe n’a pas de cycle orienté. Puis il lui demande de remplir des tableaux qui associent à chaque sommet ses suivants et precédents, avant de lui de-mander d’établir le niveau de chaque sommet.

Pourquoi la question sur le cycle orienté n’est-elle pas posée de façon ouverte à l’èlève ? N’est-il pas en mesure de comprendre que tous les sommets d’un tel cycle auraient un niveau infini ? Dans la même optique, on pourrait donner une définition de niveau sur les graphes en général (par exemple le niveau d’un sommet est la longueur du plus long chemin arrivant en ce sommet) et demander aux élèves d’appliquer cette définition pour donner le niveau des sommets du graphe de leur choix. Il me semble qu’une telle question pourrait mener les élèves à une réflexion sur les chemins (un chemin peut-il passer plu-sieurs fois par la même arête ?), sur les différents types de graphes (peut-on généraliser les définitions que l’on connaît sur les graphes simples aux graphes orientés ? Les graphes orientés peuvent-ils être considérés comme généralisant les graphes simples ?. . . )

Dans la suite de l’exercice, on demande à l’élève de remplir des tableaux. Le but est de faire apparaître une structure héréditaire en ordonnant correctement le tableau et en commençant par y indiquer les sommets de plus petits niveaux. Mais la question est po-sée sur un graphe comportant 13 arcs et 9 sommets. Pour y répondre, l’élève n’a aucun intérêt à remplir ces tableaux ou à y chercher une structure. Il lui suffit de regarder le graphe et de compter les arcs composant les chemins orientés menant à chaque sommet.

Cet exemple me semble typique pour illustrer comment la transformation d’un problème

1Ce n’est pas toujours le cas. L’algorithme de Dijkstra suit un parcoursen largeur d’abord seulement si toutes les arêtes ont le même poids. De façon générale, cet algorithme suit un parcours que l’on pourrait qualifier « du meilleur d’abord ».

2Déclic [53], Exercice 44 page 245.

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en exercice peut annihiler l’intérêt et le sens de l’activité mathématique qui était contenue dans le problème.

2.4.3.4 S4 : Étudier des éléments de la structure d’un graphe représenté par sa matrice d’adjacence

Nous avons créé cette catégorie d’énoncé alors que nous n’en avons rencontré qu’une occurrence dans le manuel Déclic :

Pour chacun des graphes représentés par leurs matrices d’adjacence, donner la somme des degrés de chaque sommet. Donner le nombre d’arêtes¹. Cet exercice étant dans la suite logique des précédents qui demandaient de représenter les graphes associés aux matrices données, nous pouvons ramener cet exercice dans la catégorie S2, étudier des éléments simples de la structure d’un graphe.

L’absence d’énoncé de type S4 confirme notre hypothèse selon laquelle la matrice d’ad-jacence n’est pas utilisée autrement que pour compter les nombres de parcours de taille donnée dans un graphe.

2.4.3.5 S5 : Construire un automate acceptant certains mots

Nous utilisons ici la terminologie « automate » alors que celle utilisée dans le programme est celle de « graphe étiqueté ». Le choix du terme peut paraître anecdotique, mais les automates sont utilisés en informatique théorique, en théorie des langages, et non en théorie des graphes. Les automates sont plus que des graphes orientés et étiquetés, certains de leurs sommets sont distingués par exemple (départ et états de satisfaction), mais surtout, leur construction est déterminée par des contraintes liées à ce qu’ils doivent reconnaître.

L’énoncé « construire un automate acceptant certains mots » est mentionné dans le programme (« résolution de problèmes conduisant à la modélisation d’une situation par un graphe [. . . ] dont la solution est associée : [. . . ] à la construction d’un graphe étiqueté »), mais on n’en trouve aucune occurrence dans le document d’accompagnement, ni dans les manuels Déclic ou Transmath. Que signifie cet énoncé ?

Si l’on demande aux élèves de construire un automate reconnaissant les motsabacc,aabbac etaabacc, l’élève peut répondre :

Fig. 2.15: Un automate reconnaissant les mots abacc, aabbac etaabacc.

1Déclic [53], Exercice 33 page 243.

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Ajouter à la définition du « graphe étiqueté » que les étiquettes ne peuvent contenir qu’une seule lettre ou qu’un seul symbole ne changerait rien. Les élèves pourraient alors présenter des automates composés de trois chemins orientés dont on confondrait les extrémités, chacune reconnaissant un mot :

Fig.2.16: Un autre automate reconnaissant les mots abacc, aabbac etaabacc.

Tant que l’on n’introduit pas une contrainte amenant à minimiser le nombre de sommets, un tel énoncé ne pourra fonctionner, et restera un problème mal posé. Il prend toute sa dimension pour la reconnaissance de famille de mots, si l’on se permet de poser la question du déterminisme¹, si la question de l’existence même d’un automate fini pour reconnaître une famille infinie de mots est posée, etc.

2.4.3.6 S6 : Reconnaître si un mot est accepté par un automate donné Un automate et un mot sont donnés. La technique associée à l’énoncé ci-dessus consiste à se placer sur le sommet d’entrée, vérifier qu’un arc étiqueté par la première lettre du mot sort du sommet, si c’est le cas se placer sur ce sommet et recommencer avec la lettre suivante du mot. Si le mot est lu et que l’on se retrouve sur un sommet « fin », alors le mot est reconnu. Sinon, il ne l’est pas.

Cette technique ne fonctionne que parce que les automates présentés sont des automates déterministes. Mais toute question sur le déterminisme est absente. Encore une fois, une technique élémentaire est proposée qui fonctionne sur une classe de graphes bien particulière. Les exercices et problèmes ne sortent jamais de cette classe. Aucune question sur les limites de la technique n’est posée. Finalement, toutes les questions qui ont du sens mathématiquement sont évacuées.