2.3 Analyse d’une première transposition : le graphe au programme de la Ter-
2.3.4 Analyse du document d’accompagnement des programmes et des
2.3.4.1 Exercices et problèmes
La distinction faite dans les manuels scolaires entre exercice et problème n’est pas expli-citée et ne semble pas évidente à l’analyse. Leurs présentations et leurs places dans les chapitres suggèrent que la différence se situe à plusieurs niveaux : complexité des énoncés, longueur du texte, difficulté supposée des solutions.
Revenons aux définitions1 de ces termes.
exercice : Action ou moyen d’exercer ou de s’exercer.
exercices scolaires : Devoirs écrits ou oraux donnés aux élèves en vue de les préparer à satisfaire aux épreuves de contrôle d’un enseignement.
L’exercice est donc du domaine de l’action. Il appartient à l’outillage pédagogique et a un but précis : la préparation aux épreuves de contrôle. Exercice, dans l’acception que nous utilisons ici, appartient à l’univers scolaire ; un mathématicien « ne fait pas d’exercices ».
problème :ÉPISTÉMOL.Question à résoudre par des méthodes rationnelles ou scientifiques.
MATH. Question pouvant être résolue à partir des éléments donnés dans l’énoncé.
Problème a deux acceptions qui nous intéressent ici. Dans les deux cas, un problème est avant tout une question. Son acception mathématique (que nous aurions plutôt qualifiée de mathématique scolaire) laisse à penser que la question a déjà été résolue. Cela nous semble quelque peu réducteur dans le sens où les mathématiciens sont confrontés à des problèmes mathématiques dont personne ne connaît de solution. Nous conserverons la définition « épistémologique » de problème commequestion à résoudre par des méthodes rationnelles.
2.3.4.2 Les énoncés contenus dans le document d’accompagnement
Prenons maintenant le document d’accompagnement des programmes. Ce document de 22 pages propose 25 problèmes accompagnés d’éléments de résolution et suivis de quelques définitions et propriétés. Nous utiliserons la typologie construite précédemment sur ces exemples. Certains se prêtent assez mal à ce type d’analyse, dans la mesure où ce sont des présentations de problèmes plus que des énoncés en tant que tels. Au niveau de la modélisation en particulier, il est souvent difficile de savoir si les graphes dessinés appartiennent à l’énoncé ou aux éléments de résolution qui l’accompagnent. Nous noterons les énoncés entre parenthèses lorsque nous ne pouvons déterminer si leur résolution est à la charge de l’élève ou non.
(Les numéros et titres sont ceux du document d’accompagnement.)
1Les définitions en italiques sont issues du dictionnaire TLF (Trésor de la Langue Française).
tel-00416598, version 1 - 14 Sep 2009
N˚ Titre Ti Énoncés
1 Les enveloppes S1, (P1, P2) Étudier l’existence d’un circuit ou d’un chemin eulérien dans un graphe. (Démontrer qu’un graphe admet un cir-cuit (ou un chemin) eulérien. Démontrer qu’un graphe n’admet ni chemin ni circuit eulérien).
2 Les ponts de Königsberg
(M1), S1, (P1, P2)
(Modéliser une situation par un graphe). Étudier l’exis-tence d’un circuit ou d’un chemin eulérien dans un graphe. (Démontrer qu’un graphe admet un circuit (ou un chemin) eulérien. Démontrer qu’un graphe n’admet ni chemin ni circuit eulérien).
3 Dominos (M1), S1,
(P1, P2)
(Modéliser une situation par un graphe). Étudier l’exis-tence d’un circuit ou d’un chemin eulérien dans un graphe. (Démontrer qu’un graphe admet un circuit (ou un chemin) eulérien. Démontrer qu’un graphe n’admet ni chemin ni circuit eulérien).
4 Traversée de fron-tières
(M1), S1, (P1, P2)
(Modéliser une situation par un graphe). Étudier l’exis-tence d’un circuit ou d’un chemin eulérien dans un graphe. (Démontrer qu’un graphe admet un circuit (ou un chemin) eulérien. Démontrer qu’un graphe n’admet ni chemin ni circuit eulérien).
5 Dessins de graphes M4, S3 Reconnaître différentes représentations d’un même graphe. Étudier l’existence de graphe(s) dont une liste des degrés est donnée.
6 Associer un graphe à une situation
M2 Représenter une situation par un graphe.
7 Matches de football M2, S2 Représenter une situation par un graphe. Tracer un graphe dont les sommets répondent à des contraintes de degrés.
8 Poignées de main (T1), S2 (Modéliser une situation par un graphe). Tracer un graphe dont les sommets répondent à des contraintes de degrés. Étudier des éléments non triviaux de la structure d’un graphe.
9 Transport de pro-duits chimiques
(A3), P4 Déterminer le nombre chromatique d’un graphe d’incom-patibilité.
10 Coloration de la carte de l’Europe
A3, P4, (M1) Déterminer le nombre chromatique d’un graphe modéli-sant une carte géographique.
11 Un problème
d’aquariophile
A3, P4, (M1) Déterminer le nombre chromatique d’un graphe donné par un « tableau d’incompatibilité ».
12 Nombre chroma-tique
A3, M5, M6, (A3), P4
Tracer le graphe correspondant à une matrice donnée.
Déterminer le nombre chromatique d’un graphe. Associer un graphe à une matrice. Donner la matrice associée à un graphe.
13 Organisation d’un examen
P4, (M1, A3) (Modéliser une situation par un graphe.) Déterminer le nombre chromatique d’un graphe.
14 Ouverture de ma-gasins
M1 ou M2, (A3), P4
Modéliser ou représenter une situation par un graphe.
Déterminer le nombre chromatique d’un graphe.
15 Puissance de la ma-trice associée à un graphe
M6, A7 (Matrice d’adjacence et puissances de la matrice sont don-nées). Tracer le graphe associé à la matrice d’adjacence.
Interpréter les termes des puissances de la matrice.
16 Circuits touris-tiques
A7 (Graphe et matrice d’adjacence associée sont donnés, ainsi que les puissances de la matrice). Combien de che-mins existent de . . . à . . . .
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17 Coloration de graphes
P3, P2, Dén, (A3)
Démontrer qu’un graphe est k-colorable. (Dén est une tâche unique de dénombrement). Dénombrer les 3-colorations d’un graphe donné.
18 Algorithme de colo-ration d’un graphe
M1 ou M2, A3, P2, P3
Représenter une situation (carte géographique) par un graphe. Démontrer qu’un graphe est k-colorable. Appli-quer l’algorithme de coloration.
19 Diamètre d’un
graphe
S3 Déterminer le diamètre d’un graphe. Caractériser les graphes de diamètre 1. Donner le nombre de sommets et d’arêtes d’un graphe en fonction de son diamètre.
20 Parcours autorou-tier
A4 (Graphe à double pondération) Trouver le plus court che-min entre 2 sommets avec chacune des pondérations.
21 Algorithme de
Dijkstra
(A2, A4) (Pas d’énoncé : présentation de l’algorithme de Dijkstra sur un exemple).
22 Reconnaissance de codes
S5 Les mots . . . sont-ils acceptés par l’automate donné ? Donner la liste des mots de klettres acceptés par un au-tomate. Caractériser l’ensemble des mots acceptés par un automate.
23 L’allumeur de ré-verbère
M2, M5, A6, A8
« Qu’observe-t-on en simulant une grande population de réverbères régis par le même système probabiliste de changements d’états ? » Représenter une situation par un graphe. Calculer la puissancen-ième d’une matrice. Cal-culer la probabilité que . . . à lan-ième étape.
24 Transfert de popu-lation
M2, A6, A8 Calculer une probabilité. (Quatre fois le même exercice en modifiant les conditions de départ).
25 Un problème d’en-démie
M2, M5, A6, A8
Tracer le graphe probabiliste décrivant une situation et écrire la matrice de transition. Calculer une probabilité en effectuant des calculs matriciels.
En appliquant notre typologie aux problèmes du document d’accompagnement, nous avons constaté que cette application était bien plus complexe que pour les exercices de manuels. L’explication nous paraît assez simple et elle pourrait presque permettre de redéfinir1 exercice etproblème.
Un exercice est un ensemble de tâches aisément repérables, chaque tâche étant associée à une technique unique qu’il permet ainsi d’exercer.
Un problème est une question dontseule la résolutionpeut amener à un « découpage » en terme de tâches à résoudre, ce « découpage » étant à la charge de l’élève et pouvant varier d’un élève à l’autre.
Le programme se voulant basé sur la résolution de problèmes, le travail à proposer en classe est censé être composé majoritairement de problèmes, au sens où nous l’entendons, et, pour être pragmatique, l’année de Terminale étant celle du baccalauréat, de quelques exercices bien choisis. Or, nous avons constaté que les manuels offrent quantité d’exercices et très peu de problèmes.
1Voir section 2.3.4.1.
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2.3.4.3 Adéquation entre les manuels et le programme
La différence principale que nous avons constatée, dans les manuels, entre le chapitre traitant des graphes et les autres concerne le « cours »1 : ce cours est en effet présenté sur des exemples, il est très illustré2. Ce chapitre contient aussi un nombre d’exercices bien supérieur aux autres. Pourquoi la différentiation ne se situe-t-elle pas sur les problèmes ? Comment aurions-nous traité ce chapitre ?
Plaçons-nous du point de vue de l’enseignant. Si nous interprétons les termes du pro-gramme tels que nous les voyons, le déroulement « idéal » de cet enseignement s’effectue-rait ainsi. L’enseignant choisit un ensemble de problèmes3 couvrant les notions données par le programme. Le travail des élèves, qu’il soit individuel ou en petits groupes, n’est pas guidé pour permettre un vrai travail de recherche avec ses essais et tâtonnements4 menant à conjecturer des résultats et à les argumenter. Une mise en commun, qui pourra inclure un débat scientifique5, suit cette phase de recherche. L’institutionnalisation, phase essentielle, permet alors à l’enseignant :
– de valider les arguments pertinents des élèves,
– d’apporter des éléments de preuve lorsque ceux-ci ne sont pas apparus dans la classe, – de valider certaines conjectures qui prendront alors le statut de théorèmes,
– de fixer le vocabulaire qui sera utilisé par la suite.
Pour qu’une disposition de ce type puisse vivre en classe, un manuel n’apparaît pas indispensable à l’enseignant. Dans l’idéal, le manuel ne contiendrait que des problèmes, et aucun résultat qui puisse induire les élèves dans une direction ou une autre, ce qui pourrait nuire au fonctionnement du dispositif décrit ci-dessus. Un « livre du maître » détaillé pourrait indiquer les différentes pistes de résolution qui peuvent apparaître en classe, il donnerait les arguments principaux nécessaires à la résolution locale des problèmes, et proposerait les preuves conférant un caractère général à ces arguments.
Plaçons-nous maintenant du point de vue des concepteurs de manuels. Comment réaliser un manuel respectant les contraintes du programme ? Peut-on imaginer un manuel qui ne contiendrait que des problèmes sans éléments de résolution, ni vocabulaire, ni preuve ? Le manuel est un outil diversement utilisé par les enseignants. Son rôle est multiple : – Il est une banque d’exercices et de problèmes pour l’enseignant.
– Il est un cours supplémentaire pour l’élève, avec une approche qui peut être différente de celle de son professeur.
1Les manuels de mathématiques du secondaire ont sensiblement la même organisation. Ils comportent pour chaque chapitre 4 ou 5 sections : une ou plusieurs activités préparatoires, un cours, éventuellement des travaux dirigés ou de nouvelles activités, puis des exercices et enfin des problèmes.
2Dans le manuel Transmath [55] par exemple, le terme « cours » n’apparaît pas dans le chapitre consacré à la théorie des graphes, alors qu’il apparaît dans tous les autres chapitres. Les notions nou-velles apparaissent à l’intérieur d’activités, une section nommée « des idées, des réflexes » résume les
« propriétés » à connaître, et les démonstrations apparaissent dans une section clairement délimitée. La volonté des auteurs de différencier ce chapitre des autres est indéniable.
3De façon idéale, cet ensemble est un ensemble de situations didactiques fondamentales telles que définies par Guy Brousseau dans [11].
4Voir le programme page 60 du B.O. hors-série n˚4, du 30 août 2001.
5En référence au débat scientifique défini par Marc Legrand [38].
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– Il est un moyen pour les parents de savoir ce qui est vu ou doit être vu par leurs enfants en classe.
– Il est un moyen pour le professeur de bâtir son propre cours.
– . . .
Dans le cadre de l’introduction d’un nouvel objet mathématique, que les enseignants n’ont pour la plupart jamais rencontrés durant leur scolarité, le manuel est aussi un moyen pour compléter leur propre formation. Il nous semble peu réaliste qu’un éditeur prenne le parti de ne pas chercher à remplir au mieux ces différentes attentes et ne propose ainsi qu’un chapitre composé exclusivement de problèmes sans élément de résolution.