III. Modèles microscopiques
III.1. Présentation de la méthode des automates cellulaires
La méthode de modélisation des structures granulaires développée dans ce travail a déjà fait l’objet de plusieurs présentations par Gandin et al. [Gan94, Gan95, Gan96.1, Gan97, Gan99, Tak00]. Ses points fondamentaux vont être rappelés ici.
III.1.1. Approche stochastique de la modélisation
Les structures granulaires se développant lors du refroidissement d’un lingot peuvent être considérées comme un ensemble de petits domaines pâteux ou solides connexes. Cette assimilation se fait, en deux dimensions, à l’aide d’une grille de cellules carrées, de longueur lCA, recouvrant l’ensemble du domaine étudié. Les grains s’étant partiellement développés dans l’une de ces cellules en modifient l’état. La partie de la grille qui contient, au moins partiellement, du solide correspond alors aux cellules partageant ce même état. Une représentation de ce type de modélisation est donnée à la figure III.1. Les branches des grains dendritiques, dont le développement de l’interface s/l n’est pas directement simulé par le modèle, recouvrent progressivement des groupes de cellules voisines. C’est l’ensemble de ces cellules recouvertes qui permet de définir la forme du grain. On nomme ‘pâteuses’ les cellules partiellement solidifiées afin de les différencier des cellules ‘liquides’. Cette discrétisation de l’espace en cellule trouve son origine dans les travaux de Von Neumann [Rap98] qui a développé ce type de modélisation afin de reproduire à l’échelle macroscopique des phénomènes complexes à partir d’un ensemble de règles définies à l’échelle microscopique.
Fig. III.1: Représentation de grains dendritiques recouvrant partiellement un domaine initialement liquide. Seuls les centres des cellules sont représentés ici sous la forme de petits cercles vides. On définit deux types de cellules au cours du processus de solidification : les cellules ne contenant que du liquide (‘Cellule liquide’) et les cellules ayant quitté cet état en étant partiellement recouvertes par les branches dendritiques (‘Cellule pâteuse’) [Gan94].
Le modèle développé repose sur un ensemble de règles déterministes ce qui le différencie notablement de la majorité des autres méthodes de modélisation en automates cellulaires. Ces règles font changer l’état d’une cellule à partir de l’état de ses voisines ou en fonction de paramètres extérieurs, calculés à une échelle macroscopique. Les règles de transition sont généralement parfaitement connues. Seules subsistent des règles de transition stochastiques pour la description des phénomènes dont la physique est moins connue, telle la germination.
III.1.2. Informations propres aux cellules
Le couplage développé entre la méthode en automates cellulaires (grille de cellules - CA) et la résolution macroscopique d’équations de conservation moyennées (maillage en éléments finis défini à partir de nœuds - FE) conduit à définir certains paramètres à ces deux échelles. Les informations contenues au niveau des cellules sont utilisées pour modifier celles existantes aux nœuds. Réciproquement, les paramètres connus aux nœuds nous permettent de faire évoluer ceux des cellules. Avant de détailler les principes de la méthode CA développée, il est nécessaire de préciser les informations propres à chaque cellule.
III.1.2.a. Position et interpolation
Le domaine se solidifiant est recouvert par un maillage en éléments finis auquel on superpose la grille de cellules. On définit alors pour chaque cellule ν de centre Cν, de coordonnées (xν,yν), son élément Fν d’appartenance (Fig. III.2). Certaines variables, connues au niveau des nœuds n qui entourent la cellule ν, sont interpolées à l’aide des coefficients d’interpolation linéaires cνn. Les valeurs calculées au centre de la cellule ν sont égales à la somme des produits des variables nodales par les coefficients d’interpolation respectifs de ces nœuds.
Fig. III.2: Schéma d’un élément triangulaire Fν de sommets n1, n2 et n3. Le centre Cν de la cellule ν a pour coordonnés (xν, yν). Elle possède respectivement les coefficients d’interpolation cνn1 , cνn2 et cνn3 par rapport aux nœuds n1, n2 et n3.
III.1.2.b. Voisinage et croissance
En plus de ses coordonnées, chaque cellule ν possède un numéro qui facilite son repérage et permet son ordonnancement. Par ce moyen, on repère, en deux dimensions, ses huit cellules voisines dont elle pourra modifier les états (Fig. III.3). Cet ensemble constitue son voisinage
{
Nν}
. Le développement du grain recouvrant la cellule se fait par l’intermédiaire d’une forme de croissance quadrilatérale centrée en un point Gν et dont les sommets Sν[ij] (avec ij ∈ {10,01,1¯0,01¯}) représentent les 4 pointes de dendrites s’y trouvant. L'angle θν entre la demi-diagonale GνSν[10] et la direction Ox définit l'orientation cristallographique du grain se développant dans la cellule. Cette orientation est conservée durant la croissance. De plus, les déplacements des grains se limitent, dans notre modèle, à des mouvements de translation. Pour ces raisons, le quadrilatère a des diagonales perpendiculaires dont les angles d’orientation demeurent constants. Grâce à cette propriété, pour le définir, il suffit de connaître les longueurs des 4 demi-diagonales GνSν[ij].Fig. III.3: Schéma d’une cellule ν entourée de ses 4 premières voisines, µ1, µ2, µ3, µ4, et 4 secondes voisines, µ5, µ6,
µ7, µ8,. Une forme de croissance est associée à la cellule ν sous l’aspect d’un quadrilatère de sommets Sν[10], S[01]ν , Sν[1¯ 0], Sν[01¯ ],de centre Gν et d’orientation θν. Le centre Gν est représenté dans ν ce qui n’est pas toujours vérifié.
c
n3νc
n1ν νc
n2νn
1n
2n
3 yν Cν Fνννν x O y xν Sν[01] O x y Sν[1¯ 0] Sν[10] Sν[01¯ ] Gν µ6 µ2 µ5 µ3 µ7 µ1 µ8 ν µ4 θνIII.1.2.c. Etat
Afin de caractériser le caractère ‘pâteux’ ou ‘liquide’ d’une cellule ainsi que l’avancement de sa croissance, deux indices lui sont attribués. Le premier est appelé ‘indice d’état’, ISν, et dépend de l’état des cellules voisines de la cellule ν. Le second est nommé ‘indice de grain’, IGν, et dépend de la valeur de la fraction volumique de zone pâteuse de la cellule ν, gmν, grandeur représentant la fraction de la cellule ν recouverte par le développement du domaine pâteux. Les valeurs possibles pour chacune de ces variables sont :
Pour ISνννν :
ISν = 0 :
ν est non capturée, c’est à dire liquide ISν = + 1 :
ν est capturée et possède au moins l’une de ses voisines µi non capturée (∃ i∈[1,8] / ISµi = 0) ISν = - 1 :
ν est capturée et toutes ses voisines µi le sont également (∀ i ∈ [1,8], ISµi ≠ 0 )
Pour IGνννν :
IGν = + 1 :
ν est capturée et sa fraction volumique de zone pâteuse, gmν, est strictement inférieure à 1 (gmν < 1) IGν = - 1 :
ν est capturée et sa fraction volumique de zone pâteuse est égale à 1 (gmν = 1)
III.1.2.d. Grandeurs caractéristiques
En plus des informations relatives à la position (xν, yν), à l’interpolation (Fν,cnν), au voisinage {Nν}, à la croissance (Gν,Sν[ij]) et à l’état (ISν, IGν), il est nécessaire d’ajouter les grandeurs suivantes pour décrire la solidification d’une cellule ν :
Hν : enthalpie volumique
wν : composition massique moyenne
wlν : composition massique moyenne du liquide Tν : température
gsν : fraction volumique de solide gmν : fraction volumique de zone pâteuse gs mν : fraction de solide interne à la zone pâteuse ∆Tcaptν : surfusion de capture
La surfusion de capture d’une cellule, ∆Tcaptν , correspond à la surfusion à laquelle le solide commence à s’y développer. Ce terme donne ainsi la valeur de la surfusion au front de solidification.