déve-loppantes cumule les problématiques d’approximations géométriques (les parties développantes et les coudes) et possède un changement de section au niveau du coude supérieur (zone de la boîte à eau), rendant inutilisable la méthode d’arbre initialement choisie dans Code_Carmel3D. Il faut alors développer une méthode al-ternative permettant de correctement modéliser la structure multi-filamentaire des développantes sans avoir à mailler les brins élémentaires.
2.2 Annulation de la divergence à l’aide d’un
po-tentiel vecteur
2.2.1 Méthode utilisée
Ren (1996) et Dyck et Webb (2004) ont montré qu’une manière d’obtenir
une densité de courant source compatible avec les formulations de l’électromagné-tisme était de chercher ce champ dans l’image de l’opérateur rotationnel. Le champ ainsi déterminé est donc intrinsèquement à divergence nulle. Soit K un potentiel intermédiaire, discrétisé à l’aide d’éléments de Nédélec, définit dans un domaine contractile Dboi et à composante tangentielle nulle sur ∂Dboi. Dboi peut être défini comme une boîte simplement connexe, à frontière connexe, support de K et entou-rant entièrement l’inducteur. L’idée est de minimiser la distance entre la densité source analytique Na et le rotationnel de K, le minimum global étant donné par la résolution de la forme faible :
Z Dboi rot T⋆rot K0 = Z DK rot T⋆Na, (2.5)
où rot T⋆ est une fonction test et Na est la distribution source donnée par un des algorithmes de construction définis au chapitre 1. Le domaine Dboi est une boîte dans laquelle est défini le champ source K et qui, pour des raisons de coût de calcul, peut être choisie comme une sous-partie du domaine d’étude D. La solution de cette équation n’est pas unique et il convient de la jauger à l’aide, par exemple, d’une technique d’arbre d’arêtes. On peut aussi se contenter de résoudre le système non jaugé à l’aide d’un solveur itératif. Il suffit ensuite de choisir la densité de courant discrète, à divergence nulle, définie comme :
100 CHAPITRE 2. ANNULATION DE LA DIVERGENCE On rappelle que N est un champ à flux unitaire (divergence annulée) et que la distribution réelle du courant source est Js = niI N . Ainsi il est aussi possible d’utiliser le champ K comme source de la formulation magnétique en potentiel Ω. Dans ce cas Hs = niI K. Pour la formulation électrique, il est possible d’utiliser Js= niI rot K, mais la convergence sera meilleure (Ren 1996) si le second membre de la formulation en A est intégré par partie :
Z D ν rot A⋆· rot A = Z D A⋆· Ja = niI Z D A⋆· rot Ka = Z D rot A⋆· Ka− Z ∂D Ka× n. (2.7)
Le terme en K × n sera toujours nul car K est soit supposé nul aux bords du do-maine, soit supposé à composante tangentielle nulle (dans le cas où les bords de Dboi
et de D sont en contact). Cette dernière équation est différente de la précédente et suppose la détermination d’un champ Ka mais supposant la divergence de Janulle.
Cette technique a le double avantage, par rapport à la méthode d’arbre, de produire un potentiel source Hsutilisable dans la formulation électrique mais aussi de minimiser globalement la distance entre le champ souhaité Naet son homologue à divergence nulle N, évitant ainsi les fortes corrections dues à la propagation d’er-reurs. Si l’équation analytique de Na est à divergence nulle, les meilleurs résultats sont obtenus si l’expression analytique de Na est utilisée lors de la quadrature utilisée pour l’assemblage du termeR
rot T⋆Na. Sinon, l’equation 2.5 n’est pas for-cément compatible, la résolution itérative (même faiblement convergée) permet d’obtenir un champ rot Ka proche de Na et à divergence nulle.
2.2.2 Application au cas de la bobine étroite
Cette méthode est appliquée à une bobine étroite présentée sur la figure 2.3. La figure 2.7 présente le champ N = rot K, issu de la résolution du système 2.5, et la figure 2.8 donne un aperçu du potentiel associé (K). Le champ ainsi obtenu est très proche de celui initialement défini (Na), et présenté sur la figure 2.4.
2.2. À L’AIDE D’UN POTENTIEL VECTEUR 101
Figure 2.7 – Résultat après minimisation de la divergence : la densité
source N est très peu modifiée par rapport à Na.
Figure 2.8 – Potentiel intermédiaire utilisé pour l’annulation de la di-vergence. L’équations utilisée a la même structure que celle utilisée pour la résolution magnétostatique, le champ source peut être assimilé à celui produit par la bobine dans la boîte Dboi.
102 CHAPITRE 2. ANNULATION DE LA DIVERGENCE
2.2.3 Remarques
Chercher une distribution source N dans l’image du rotationnel suppose que le champ Na est initialement à divergence proche de zéro. Le système linéaire issu de l’équation 2.5 a en réalité beacoup de mal à converger si la divergence de
Na est trop importante. Cette méthode n’est donc généralement pas applicable
aux changements de section ni aux champs issus de la méthode des isopotentielles ou de la recherche des sections. Pour des développantes à section changeante, la méthode s’est avérée peu efficace (mauvaise convergence du solveur itératif), de plus la correction apportée est moins répartie que ce qui peut être prévu.
2.3 Méthode des moindres carrés sous contraintes
Une idée simple consiste à chercher le champ à divergence nulle le plus proche en norme de celui donné par les algorithmes de construction. Cette procédure apparement simple est en réalité peu utilisée car elle fait appel à des algorithmes de minimisation sous contraintes parfois coûteux. Nous détaillons dans ce qui suit les choix permettant d’annuler à moindres coûts la divergence du champ tout en minimisant les modifications apportées.
2.3.1 Principe de la méthode
Nous avons vu au paragraphe 2.1 que le critère de divergence nulle conduit à une relation entre les différents DdL d’un élément. Badics et Cendes (2007) ont présenté une méthode de moindres carrés visant à minimiser la distance globale entre le champ initial et celui à divergence nulle en ne cherchant la solution que parmi les DdL effectivement libres. Soit un inducteur de domaine Dind formé de Ne éléments et Nf faces, les champs sources N et Na sont discrétisés à l’aide
d’éléments de Raviart-Thomas et possèdent donc a priori Nf DdL. Il existe en
outre Ne relations issues de la condition de nullité de la divergence. Il est donc nécessaire de ne « faire varier » qu’un nombre égal à Nf − Ne DdL pour déterminer le champ final N. On cherche cependant à minimiser la distance kN − NakL2 par rapport à l’ensemble des DdL.
2.3. MOINDRES CARRÉS SOUS CONTRAINTES 103