Un inducteur de développante est formé de deux branches, chacune constituée d’une partie droite, de deux coudes, d’une section de développante de cône et d’une partie droite. Ces deux branches, de sections différentes, sont reliées par le coude supérieur tel que décrit au paragraphe 1.1. La figure 3.4 donne un aperçu de la géométrie globale et des résultats pouvant être obtenus par la méthode d’arbre et de minimisation. On constate que la méthode de minimisation semble la plus adaptée à ce problème.
Figure 3.4 – Gauche : géométrie d”une développante. Milieu : résultat
produit pour l’annulation de la divergence à l’aide d’une méthode d’arbre. Droite : résultat obtenu avec la méthode de minimisation.
Les modèles de développantes présentés dans la littérature font parfois appel à des résolutions électrocinétiques. La figure 1.4 présentée au chapitre 1 est en réa-lité un agrandissement du champ source obtenu, au sein de cette géométrie, par
3.2. APPLICATION À UN INDUCTEUR COMPLET DE TÊTE DE BOBINE113 résolution électrocinétique.
Une application avec comparaison sur les contraintes mécaniques est présentée en annexe A.
Conclusion
Ce chapitre a été dédié à la présentation des différentes techniques utilisées pour la prise en compte des inducteurs bobinés. Code_Carmel3D utilise tradition-nellement une méthode basée sur la définition d’inducteurs droits et circulaires, associée à une technique d’arbre pour l’annulation de la divergence. La modélisa-tion des cages de développantes nécessite la définimodélisa-tion de nouveaux types d’induc-teurs permettant de représenter la structure particulière de ceux utilisés dans les cages de développante. De plus, les méthodes d’annulation de la divergence ont dû être adaptées, la méthode d’arbre s’étant avérée peu adaptée aux nouveaux types d’inducteurs modélisés.
La construction du champ en lui-même a été abordée en deux étapes. De nou-veaux inducteurs canoniques ont été ajoutés permettant de se rapprocher de la structure réelle. Nous avons ensuite testé les méthodes de la littérature existantes (résolution électrocinétique et méthode des isopotentielles). Cependant, ces mé-thodes n’ayant pas donné entière satisfaction, une méthode purement géométrique basée sur la construction des sections a été développée.
La méthode d’arbre permettant l’annulation de la divergence a dû être adaptée. Basée sur les travaux de Pierquin et al. (2012), cette méthode permet de trouver, au sens des moindre carrés et sous contrainte forte de nullité de la divergence, le champ le plus proche de celui donné par les algorithmes de construction cités précédemment. Cette méthode dite « des moindres carrés » permet la prise en compte d’inducteurs quelconques.
Troisième partie
Calcul de forces en
Introduction
Dans les parties frontales des alternateurs, la présence de champ magnétique et de courant engendre l’apparition de forces électromagnétiques responsables de contraintes et de déformations de la structure. Les problèmes liés à ces forces sur les machines de grande puissance ne peuvent être étudiés que par des modèles cou-plant magnétisme et mécanique. Ainsi la précision du calcul des forces magnétiques influera directement sur la précision avec laquelle sont déterminées les grandeurs mécaniques. Cependant la question du calcul des forces macroscopiques en élec-tromagnétisme a suscité débat (Kabashima et al. 1988 ; Medeiros et al. 1998 ; Bossavit2011). L’objectif du calcul est de déterminer les déformations locales de la structure, ce qui requiert la détermination des forces locales.
Les forces en électromagnétisme sont dues à des phénomènes d’intéraction entre les charges et la structure cristalline du matériau considéré. Les capacités même de la modélisation nous permettent, au mieux, de considérer une partie aussi petite qu’une cellule du pavage. Nous devrons donc nous contenter de lois dites « moyen-nées » qui rendent compte de l’intéraction globale de tous les phénomènes micro-scopiques présents dans la cellule. Le terme « force locale » fait ici référence à une force moyenne sur une cellule, et « force globale » fait référence à une force pour une pièce entière.
L’étude des forces dans les conducteurs de machines demande, en général, de déterminer les forces locales au sein de matériaux de perméabilité relative unitaire. Cependant, la présence du circuit magnétique ainsi que d’une structure de serrage suppose que la méthode finale doit pouvoir prendre en considération des pièces de perméabilité multiple.
En ce qui concerne les forces locales, les méthodes de calcul sont soient basées sur le modèle des forces de Lorentz avec utilisation de courants et charges au niveau macroscopique, soient basées sur des méthodes dites énergétiques. Il sera porté une
120
grande importance à la distinction entre ce qui peut être calculé en fonction des modèles considérés et les efforts réels. La détermination des forces locales pour les différents calculs peut donner des résultats différents, voire non interprétables.
Nous n’avons pas la prétention de présenter un modèle innovant, l’objectif de cette partie est de présenter ces méthodes afin de mieux comprendre leurs capacités, leurs liens et leurs limites. Leur efficacité dépendra du problème étudié. Une brève extension aux aimants est présentée. Les résultats des tests comparatifs, appliqués à des cas analytiques, sont donnés en fin de partie.
Chapitre 1
Origine et calcul des énergies
Sommaire
1.1 Introduction . . . 122 1.2 Principes énergétiques . . . 122 1.2.1 Fonctions convexes en dualité . . . 123 1.2.2 Lien entre énergie et loi de comportement . . . 123 1.2.3 Bilan de puissance, expression des forces . . . 125 1.2.4 Expression énergétique de la force, lien avec d’autres
mé-thodes . . . 127
122 CHAPITRE 1. ORIGINE ET CALCUL DES ÉNERGIES
1.1 Introduction
Les seules forces considérées ayant un sens physique sont les forces d’origines électrique (Coulomb) et magnétique (action élémentaire de Laplace). Elles s’ap-pliquent à une particule chargée, assez petite pour ne pas perturber le champ environnant, et peuvent s’écrire :
q(E + v× B), (1.1)
où q est la charge élémentaire, E et B les champs électrique et magnétique et v la vitesse (Robinson 1973).
Dans le cadre de la modélisation numérique des machines, il est impossible de produire un modèle permettant de suivre chaque particule chargée indépendam-ment. On s’intéresse généralement aux valeurs moyennées sur un volume : la charge et le courant sont intégrés sur un volume dτ entourant x suffisament grand pour pouvoir représenter les particules comme des densités, mais pour lequel les champs macroscopiques ont une variation faible. Cette opération, en apparence simple, est en réalité délicate car elle fait intervenir le comportement des matériaux soumis à des champs électriques ou magnétiques macroscopiques. Les méthodes locales de calcul de forces ne peuvent donc être que de deux types : basée sur un modèle mi-croscopique simplifié (force de Laplace, modèles des courants ampériens ou charges coulombiennes), ou utilisant la variation locale d’énergie magnétique (par exemple la méthode des travaux virtuels).
Ces méthodes sont nombreuses (J.-L Coulomb 1983 ; J.-L. Coulomb et Meu-nier1984 ; Aronson et Brauer 1989 ; Wignall et al. 1988 ; Hamdi et al. 1993 ;
Ren1994 ; Vandevelde et Melkebeek 2001), et leur présentation est abondante
dans la littérature. Il est couramment admis que, pour les milieux de perméabilité homogène, la méthode des forces de Laplace est efficace. Dans le cas contraire, la méthode des travaux virtuels est efficace. Nous ne considèrerons dans ce qui suit que ces deux méthodes.