Quatre méthodes de construction du support N de la densité de courant source ont été présentée dans ce chapitre. La méthode la plus courante consiste à approxi-mer l’inducteur en un ensemble de formes canoniques pour lesquelles le champ analytique est connu (section 1.1). Cette méthode présente l’avantage d’être très rapide mais l’approximation de l’inducteur réel n’est pas possible dans tous les cas. Si la décomposition n’est pas possible, il faut alors utiliser une méthode plus générale telle qu’une résolution électrocinétique, la méthode des isopotentielles ou le calcul des intersections. La méthode électrocinétique a l’avantage d’être robuste,
1.5. CONCLUSION 91 mais représente mal les inducteurs bobinés si ceux-ci présentent un fort rayon de courbure. Une variante, la méthode des isopotentielles, consiste à garder la direc-tion du champ de vecteur et à en corriger la norme localement par la surface des isopotentielles passant par le point considéré. Cependant, nous avons observé que ces isopotentielles peuvent être très déformées si l’angle d’ouverture de l’inducteur est grand. La méthode donnant les meilleurs résultats est basée sur une approche géométrique. Un ensemble de sections optimales est déterminé tout le long de cet inducteur, une densité source est par la suite construit par interpolation à l’aide des directions, des aires et des tangentes au bord des sections. Le surcoût de calcul entraîné par cette dernière méthode est non rédhibitoire si les algorithmes adéquats sont utilisés.
À l’exception de la méthode électrocinétique, le champ résultant des algorithmes de construction n’est pas à divergence nulle et n’est donc pas directement utilisable dans les formulations électromagnétiques. Le chapitre suivant présente diverses méthodes permettant de corriger les champs ainsi construits pour en annuler la divergence.
Chapitre 2
Annulation de la divergence de la
densité de courant source
Sommaire
2.1 Méthode d’arbre . . . 95 2.2 À l’aide d’un potentiel vecteur . . . 99 2.2.1 Méthode utilisée . . . 99 2.2.2 Application au cas de la bobine étroite . . . 100 2.2.3 Remarques . . . 102 2.3 Moindres carrés sous contraintes . . . 102 2.3.1 Principe de la méthode . . . 102 2.3.2 Application aux changements de section . . . 106 2.4 Remarques générales . . . 108
94 CHAPITRE 2. ANNULATION DE LA DIVERGENCE Les domaines à courant imposé étant considérés comme non conducteurs, les formulations utilisées sont celles de la magnétostatique en potentiel vecteur ma-gnétique (2.1a) ou en potentiel scalaire mama-gnétique (2.1b) :
rot νrot A = Js, (2.1a)
div µgrad Ω = div µHs, rot Hs = Js. (2.1b)
Dans les deux cas, le terme source Js est au second membre de l’opérateur rota-tionnel et doit donc appartenir à l’image de celui-ci pour que l’équation ait une solution. Cependant même si la densité de courant source est connue et initiale-ment à divergence nulle, le champ discret peut ne pas être à divergence nulle pour les raisons suivantes :
– les surfaces de l’inducteur, hors zones d’injection de courant, portent la condi-tion aux limites Js· n = 0. Dans le domaine discret, cette condition aux li-mites se traduit par des DdL nuls pour les faces latérales des inducteurs. Cependant, les erreurs géométriques dues à la discrétisation peuvent entraî-ner une mise à zero du flux pour les faces latérales, ce qui peut représenter une approximation par rapport au cas réel ;
– les DdL associés aux faces sont calculés à partir d’une quadrature numérique. La densité de courant source initial peut présenter une variation non polyno-miale ou d’ordre élevé sur la surface de la face considérée, la quadrature ne permet donc généralement pas de calculer la valeur exacte du DdL.
Ces approximations étant quelconques, il n’y a pas de raison pour que la divergence globale de la densité de courant discrète soit nulle.
Outre ces raisons, il se peut que le courant associé à des inducteurs homogénéisés ne soit pas, par définition, à divergence nulle. C’est en particulier le cas pour les champs issus de la méthode des isopotentielles ou du calcul des sections lorsqu’une variation de section est présente. Il faut donc ajouter une procédure d’annulation de la divergence dans tous les cas, pouvant fortement modifier la densité de courant source. Ce chapitre présente trois techniques d’annulation de la divergence testées dans le cadre de la modélisation des alternateurs de forte puissance : la méthode d’arbre, une méthode utilisant un potentiel vecteur et la méthode des moindres carrés sous contraintes.
2.1. MÉTHODE D’ARBRE 95
2.1 Méthode d’arbre
L’annulation globale de la divergence implique que la divergence soit nulle sur chaque élément. Ainsi pour un élément K cette condition se traduit par :
Z
∂K
J· n = 0, (2.2)
où n est la normale sortante à l’élément (figure 2.1).
x y z b b b b 1 2 4 3
Figure 2.1 – Exemple de découpe d’éléments pour un tétraèdre.
Par définition, le DdL df
i associé à la fonction u et à la face Fi est : dfi =
Z
Fi
u· n. (2.3)
La condition discrète d’annulation de la divergence se traduit ainsi sur chaque élément (voir figure 2.1) :
nXf aces
i=1
dfi = 0. (2.4)
Cette méthode est basée sur le principe que (nf aces− 1) DdL sont connus pour un élément, ainsi le dernier DdL est déduit par l’opposé de la somme des (nf aces− 1) autres (Albanese et Rubinacci 1990 ; Le Menach 1999). Un arbre couvrant maximal est déterminé : un nombre maximal de faces, ne faisant pas de boucle, est sélectionné. Par défaut les faces externes sont sélectionnées (leur flux est connu, non nul sur les surfaces d’injection et nul sur les autres faces). Par parcours inverse
96 CHAPITRE 2. ANNULATION DE LA DIVERGENCE du co-arbre, les éléments ayant un seul DdL inconnu sont déterminés, permettant par la suite de traiter ceux ayant deux DdL inconnus et ainsi de suite. Un exemple d’arbre et d’ordre de calcul est présenté sur la figure 2.2.
1 2 3 4 5 6 7 8 10 9 11 12
Figure 2.2 – Exemple équivalent d’un arbre de facettes pour un maillage 2D tiangulaire. Le DdL de la face 1 peut être déduit des DdL du bord du domaine, puis par calculs successifs les DdL des faces 2, 3, 4, 5 et 6 sont également déterminés. La même méthode est appliquée aux faces 7, 9, 10 et 11 permettant ainsi de déduire 8 puis finalement 12.
Cet algorithme, applicable à des champs dont la divergence est proche de zéro, est très efficace (exécution rapide et faible correction apportée au champ). Cepen-dant de part sa structure, les erreurs d’approximations sont propagées de proche en proche et peuvent aboutir à une forte modification de la densité source si la divergence initiale n’est pas proche de zéro.
Exemples numériques : Le cas test d’une bobine de faible rayon et de grande hauteur permet d’illustrer les problèmes liés à l’arbre de facettes. Le faible rayon permet, à maillage donné, de maximiser les erreurs de facétisations. De plus la variation de la densité de courant analytique, pour une face donnée, est plus im-portante, réduisant de fait la qualité de la quadrature. Une illustration de la géo-métrie est présentée sur la figure 2.3. La figure 2.4 est une vue partielle du champ source au sein de la bobine. La figure 2.5 présente cette même densité source après application de la méthode d’arbre : pour ce cas défavorable, les valeurs du champ sont largement modifiées. On observe une propagation des erreurs le long de la
2.1. MÉTHODE D’ARBRE 97 « ligne principale » du co-arbre (flèches rouges sur la figure 2.5).
La figure 2.6 présente un second cas pour lequel il n’y a ni approximation géométrique ni erreur sur le calcul de quadratures. Cependant la densité source analytique n’est pas exactement à divergence nulle du fait du changement de sec-tion, entraînant ainsi un mauvais comportement de la méthode d’arbre.
Figure 2.3 – Premier cas test pour l’annulation de la divergence : bobine circulaire de grand rapport hauteur / rayon. Cette structure concentre les erreurs de discrétisation géométrique et de calcul de quadratures.
Figure 2.4 – Premier cas test : visualisation d’une partie du champ
98 CHAPITRE 2. ANNULATION DE LA DIVERGENCE
Figure 2.5 – Premier cas test : résultat après minimisation de la
di-vergence. Sur les faces du co-arbre, la densité est fortement modifiée par accumulation des erreurs.
Figure 2.6 – Résultat après annulation de la divergence pour le second
cas test : sur les faces du co-arbre, la densité est fortement modifiée par
accumulation des erreurs. Gauche : Densité de courant source. Droite :
2.2. À L’AIDE D’UN POTENTIEL VECTEUR 99