1.4 Projection Conservative
1.4.2 Cas des arêtes et des faces
min 1,max us|Ki qij − ui si qij− ui > 0, min 1,min us| Ki qij− ui si qij− ui < 0, 1 si qij− ui = 0. (1.20)
4. Pour chaque nœud, le DdL global (di) est premièrement donné par la somme des valeurs élémentaires qij pondérée par les volumes des éléments Kj :
di = P {Kj} qij|Kj| P {Kj}|Kj| , (1.21)
où {Kj} représente l’ensemble des éléments partageant le ième nœud et |Kj| est le volume du jème élément.
1.4.2 Cas des arêtes et des faces
Étapes du calcul
1. Pour un élément donné Kci du maillage cible Tc, calcul de la matrice des DdL locaux Ssj. Dans le cas des arêtes :
Ssj = Z Ki us· nd=j pour j = 1 . . . 3, (1.22a) = Z Ki curl us· nd=j−3 pour j = 4 . . . 6. (1.22b)
nd représente les directions successives de l’espace. Si des éléments de faces sont considérés, curl us doit être remplacé par div us, et la matrice 6×6 de-vient une matrice 4×4. Cette opération permet de déterminer l’ensemble des
162 CHAPITRE 1. MÉTHODES DE TRANSFERTS DdL permettant d’obtenir, élément par élément, un champ pour lequel les intégrales sont égales (aspect localement conservatif).
2. Détermination de la matrice [Q] des DdL locaux de l’élément pour lesquels les intégrales sont satisfaites. Le système linéaire suivant est résolu :
[Sw][Q] = [Ss], (1.23)
où [Ss] est le vecteur des intégrales de la fonction source sur l’élément wi, et les valeurs de la matrice [Sw] sont les intégrales de chacune des fonctions de base sur cet élément. Ces intégrales, dans le cas des arêtes, sont définies par :
Swj,k = Z Ki wk· nd=j pour j = 1 . . . 3, (1.24a) = Z Ki curl wk· nd=j−3 pour j = 4 . . . 6, (1.24b)
3. Pour chaque élément fini considéré, le DdL global est donné par la somme des contributions des éléments auxquels il est associé, pondérée par le volume correspondant : qi = P {Kj} Qj|Kj| P {Kj}|Kj| . (1.25)
{Kj} représente l’ensemble des éléments contenus dans le support du ième
élément fini (ième arête, ième face,. . .). |Kj| est le volume du jème élément. Bien que la méthode de projection conservative n’utilise que des valeurs locales, elle satisfait les propriétés d’une projection (conservation, minimisation de la dis-tance Clement 1975). Ses principaux atouts sont la conservation de l’intégrale de la fonction sur chaque tétraèdre cible et la vérification du principe du maximum. Plus précisément, la valeur totale de l’intégrale est conservée lors du transfert entre maillage (ce qui peut être utile par exemple pour conserver une puissance totale) et l’apparition de valeurs locales non physiques est évitée. La méthode conservative se situe donc comme un compromis entre bonne « interpolation » de la solution (voir méthode d’interpolation, paragraphe 1.2) et minimisation globale de l’erreur (voir projection orthogonale, paragraphe 1.3).
Chapitre 2
Comparaison des méthodes de
transfert
Sommaire
2.1 Précision de la transmission de champ . . . 164 2.1.1 Méthode utilisée . . . 164 2.1.2 Éléments finis nodaux (éléments de Lagrange) . . . 168 2.1.3 Éléments finis d’arêtes (éléments de Nédélec) . . . 171 2.1.4 Éléments finis de faces (éléments de Raviart–Thomas) . 174 2.1.5 Éléments finis de volume . . . 176 2.1.6 Conclusion . . . 178 2.2 Étude de convergence en finesse de maillage . . . 178 2.2.1 Raffinement uniforme des deux maillages . . . 179 2.2.2 Variations simultanées des deux maillages . . . 182
164 CHAPITRE 2. COMPARAISON DES MÉTHODES DE TRANSFERT Indépendamment de la modélisation des phénomènes de couplages, nous avons réalisé différents tests de précision pour chacune des trois méthodes de transfert présentées au chapitre précédent (interpolation, projections conservative et ortho-gonale). Pour chaque type d’éléments finis (nœud, arête, face, volume), une fonction analytique est choisie et sert de référence pour la génération d’un champ discrétisé source. Cette opération permet de séparer l’erreur de discrétisation de l’erreur de transfert, tout en gardant le contrôle sur le profil du champ lui-même. Une pre-mière partie s’intéresse à l’aspect diffusif et conservatif des méthodes. On étudie pour celà des transferts itératifs de champs entre deux maillages. Une deuxième partie teste le comportement des méthodes en fonction de la finesse des maillages.
2.1 Précision de la transmission de champ
2.1.1 Méthode utilisée
Boucle de calcul
La précision sur la transmission de champ pour chacune des méthodes de trans-fert est évaluée au moyen d’une boucle de calcul présentée en figure 2.1.
u analytique Maillage 1 Maillage 2 Discrétisation [U] Transfert 1→2 [Uc] Transfert 1←2 [Us] ǫ%discr. ǫ% transf.c ǫ% transf.s
Figure 2.1 – Détail de l’étape de discrétisation, du transfert direct et du transfert inverse.
Le vecteur de référence [U] doit être comparé à la fonction analytique u tan-dis que les résultats des transferts [Us] et [Uc] (respectivement vers les fonctions source et cible) sont à comparer au vecteur [U]. Afin de s’affranchir des erreurs de
2.1. PRÉCISION DE LA TRANSMISSION DE CHAMP 165 discrétisation, le test est séparé en deux parties : une étape de discrétisation et des étapes de transfert.
Étapes du calcul
1. L’étape de discrétisation permet de calculer un vecteur de DdL sources [Ua] par projection L2 de la fonction analytique ua sur le maillage :
[M][Ua] = [S], (2.1)
où les termes élémentaires sont ainsi définis : Mi,j = Z Dp wi· wj, (2.2a) Si = Z Dp wi· ua. (2.2b)
Le vecteur [Ua] initialise les valeurs de [Us], le vecteur des DdL du maillage 1.
2. L’étape de transfert détermine les valeurs de [Uc] de la solution uc à partir de la donnée de [Us] représentant la fonction us. Ce transfert est nommé « transfert direct »1. Lors des tests que nous avons effectués, le maillage 1 a été choisi plus fin que le maillage 2, les deux maillages n’ayant a priori aucun lien de parenté. Ce choix, arbitraire, est le cas le plus souvent rencontré dans la modélisation des systèmes multi-physiques.
3. Calcul de l’erreur entre la fonction uc (donnée sur le second maillage) et la fonction discrétisée de référence u (donnée sur le premier maillage). Cette étape comporte donc une étape de localisation des valeurs de ucsur le premier maillage.
4. Détermination des nouvelles valeurs de us par transfert inverse des valeurs de uc sur le premier maillage.
5. Comparaison entre les valeurs de uset celles de u. Les deux fonctions discrètes appartiennent au même maillage.
50 paires de transfert ont été réalisées pour chacune des trois méthodes afin d’observer leurs comportements lors de transferts successifs. Les fonctions analy-tiques ont été choisies continues sur le domaine [0, 1]3 et à gradient, rotationnel
166 CHAPITRE 2. COMPARAISON DES MÉTHODES DE TRANSFERT ou divergence non nul. Les expressions utilisées sont volontairement complexifiées pour éviter toute symétrie ou uniformité. La constante de Sobolev est arbitraire-ment fixée à 0, 1.
Mesure de l’erreur
De par la discrétisation utilisée (partie I, chapitre 2), les fonctions appartiennent respectivement aux espaces Hgrad, Hrot et Hdiv. Ce sont des sous-espaces de L2, il est donc légitime de mesurer l’erreur de transfert en norme L2 et en norme Hx. Selon le produit scalaire utilisé, l’erreur optimale sera donnée par la norme adéquate. L’erreur relative globale sera calculée ainsi :
ǫ%Xglob = kup− ukX
kukX
, (2.3)
où X représente un des espaces précédents. u est la fonction discrétisée de référence et up est la fonction projetée (us ou uc).
Selon les méthodes de transfert, le comportement local et le comportement global peuvent fortement varier. Une deuxième mesure de l’erreur est introduite pour mesurer la performance locale des différentes méthodes. La valeur maximale de l’intégrale de la norme du résidu est recherchée sur l’ensemble des éléments :
ǫ%L2 elem = max Ki∈{K} R Ki (up− u)2 R Ki u2 1/2 , (2.4)
avec les mêmes notations que précédemment, et où {K} représente l’ensemble des éléments de Dc. L’erreur locale est calculée de la même manière pour les espaces Hgrad, Hrotet Hdiv, seul change l’ajout du terme en grad · grad , rot · rot et div div dans les intégrales. Cette expression peut être problématique pour les éléments pour lesquels la fonction source est proche de zéro. Dans ce cas, on utilisera une expression faisant intervenir la valeur maximale du résidu :
xi t.q. kup(xi)− u(xi)k = sup Dp kup− uk, ǫ% L2 loc := kup(xi)− u(xi)k ku(xi)k , (2.5)
numériquement évaluée à chaque point de Gauss des éléments de Dp. Cette
ex-pression est particulièrement utile, à fonctions up et u données, pour déterminer l’erreur locale introduite par une méthode de projection.
2.1. PRÉCISION DE LA TRANSMISSION DE CHAMP 167 L’aspect conservatif de chaque méthode est donné par la modification de la valeur sur Dc de la norme de la fonction. On notera ǫ%
consv. l’erreur relative ainsi calculée :
ǫ%consv. = |kupkX − kukX| kukX
. (2.6)
La valeur de ǫ%
consv.est particulièrement importante si une grandeur globale doit être conservée lors du processus de couplage, par exemple une puissance, une énergie ou un déplacement.
La finesse des maillages est représentée par leur taille caractérisque. On note par hs et hc la longueur moyenne des arêtes des maillages source et cible, respec-tivement.
Maillages
L’étude porte sur un cube d’arête de longueur unitaire supportant deux maillages différents (figure 2.2). Le premier maillage, représenté sur la partie gauche de la figure 2.2, se compose de 200 000 tétraèdres (hs= 0, 06) et supporte des fonctions
Figure2.2 – Représentation schématique des deux maillages utilisés pour les tests de transferts. La fonction analytique est initialement discrétisée sur le maillage fin (à gauche) et transférée sur le maillage épars (à droite). La partie centrale de la figure montre la superposition des deux maillages.
168 CHAPITRE 2. COMPARAISON DES MÉTHODES DE TRANSFERT de formes linéaires. Le second maillage, visible sur la partie droite de la figure 2.2, est constitué de 22 000 tétraèdres (hc = 0, 1). Ce second maillage peut éventuelle-ment supporter des fonctions de formes nodales quadratiques, les élééventuelle-ments d’arêtes et de faces restant linéaires.